应用变式教学提高数学课堂有效性

应用变式教学提高数学课堂有效性

东莞 蔡瑞卿

【摘 要】在数学教学中，恰当合理的变式能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，能开拓学生的视野，激发学生的思维，有助于培养学生的探索精神与创新意识。文章探讨了变式教学的含义及作用，并介绍了如何应用变式教学提高数学课堂效率及在应用变式教学时需注意的问题。

【关键词】变式教学 提高 有效性 实践

著名心理学家和教育学家布卢姆说：“有效的教学始于准确地知道需要达到的目标是什么。”因此教学目标是课堂教学的灵魂。变式教学符合学生的认知规律，通过对变式教学，使得课堂教学始终围绕着教学目标有层次的推进，为学生提供一个求异、思变的空间，让学生把学到的概念、公式、定理、法则等运用到各种情况中去，使基础知识、基本技能、基本方法和基本思想，在题组中重复出现，又向提高和深化推进，使学生灵活多变的思维品质，数学素养得到有效培养。

1 变式与数学变式教学

1.1 对变式教学的理解

“变式”，《中国教育百科全书》中说：“变式”--掌握概念的方法之一；是从各个不同的角度抓住事物的主要特殊属性，概括出事物的一般属性的思维方式。那么什么是变式教学？在教学中，变式教学指从一道题目出发，通过改变题目的条件、问题或改变题目设计的情景，重新进行讨论的一种教学方法；也可以是指对例习题进行变通推广，重新认识。

1.2 数学变式教学

所谓数学变式教学就是将数学中各种知识点有效地结合起来，从最简单的命题入手，不断交换问题的条件和结论，层层推进，从不断的变化中寻找数学的规律和本质。数学变式教学可以充分调动和展示学生的思维过程，让学生积极大胆地参加教学的全过程，通过对数学问题多角度、多层次、多方位的讨论和思考，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索出“变”的规律，从而培养学生大胆参与、勇于探索、敢于创新的精神。

2 变式教学的理论基础

2.1 马登变异理论

学习就是鉴别，鉴别依赖于对差异的认识，教师应当通过变异维数的扩展引导学生去认识对象的各个方面。变式教学是利用变式的方式进行教学，这一系列的变式就构成了一个变异空间，引导学生积极思考，主动探索，体会变式所要反映的实质意义，这就产生了学习。通过变式教学，在教学过程中指导学生体验和辨别学习对象的关键方面，构建适当的变异空间，这对学生的学习是至关重要的。

2.2 建构主义的学习理论

建构主义认为知识不是通过教师传授得到，而是学生主动建构获得的。学生以自己原有的知识经验为基础，对外部信息进行主动地选择、加工和处理，建构自己的理解。教师通过变式教学引导学生建构事物的本质属性，成为主动的信息加工者。通过变式教学，提供一定的学习情境，提出能激发学生思考的问题，创设平等自由的学习气氛，开展师生、生生之间的交流与合作学习；通过变式教学，指导学生不断思考，不断对各种信息进行加工和转换，进行归纳总结，发现各种变式的实质联系，培养学生的观察、分析和概括的能力；通过变式教学，一题多解，一法多用，鼓励学生自己变题，在问题解决的过程中使学生对概念、原理形成深刻理解，建立良好的知识结构。

2.3 脚手架理论

在教育活动中，学生可以凭借由父母、教师、同伴以及他人提供的辅助物完成原本自己无法独立完成的任务。随着学生的能力逐步提升，一旦学生能独立完成任务，这种辅助物“脚手架”就会被逐渐撤离。设置脚手架的目的是为了促进儿童智力的发展、思维能力的发展、创造力及批判精神的发展，最终使儿童成为有创造性思维的开拓者、探索者和学习者，而不仅仅是掌握和储备现成知识。在变式教学的角度看，在学生的最近发展区域中以学生熟悉的问题或背景为起点、以需要解决的问题为指向设置“脚手架”，帮助学生从已有水平向潜在水平跨越，在问题解决的过程中不断积累经验，推动学生智力的发展。

3 变式教学是提高数学课堂教学效果的有效途径

3.1 巧用变式教学让学生掌握概念的本质

数学概念是数学知识的载体。理解和应用数学概念要求对概念内容有较深刻的理性认识，能够解释、举例、变形、推断、否定并能利用概念解决相应问题。而变式兼具解释、举例、变形、推断等多种功能。利用变式教学能有效地让学生掌握概念的本质。比如在学习奇偶函数的定义后，可以如下变式，加以理解。

例1：对于奇函数定义式：f(x)f(x)，有： 变式1: f(x)f(x)0; 变式2：f(x)f(x)1(f(x)0)。

对于偶函数变式：f(x)f(x)，也有： 变式1：f(x)f(x)0 变式2：f(x)f(x)1(f(x)0)

f(x)loga(xx1)的奇偶性十分方便。

2可以利用上述变式判断某些函数，判断函数例如又如周期性概念，概念本身并不难理解，判断正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性也比较简单，但如果进一步分析：具备哪些条件的函数具有周期性，它与函数的奇偶性、对称性又有何关系？这就让很多学生都会感到棘手。但若在讲函数的周期性时能逐层递进地利用变式条件，则这些难题就能迎刃而解，并且使学生进一步加深概念的理解和提高应用概念解题的能力。

例2：若f(x)是定义在R上的函数并且满足下列条件之一，则f(x)是否为周期函数：①f(xa)f(x)；②f(xa)1f(x)；③f(x2)[1f(x)]1f(x)；④f(x)是偶函数且

对称；⑥f(x)是奇函数且图象关于直线xa(a0)对称；⑦f(x)是偶函数且图象关于直线(a,0)(a0)对称；⑧f(x)是偶函数且图象关于直线xa(a0)对称；⑨偶函数f(x)对任意实数t，总有f(1t)f(1t)；⑩函数f(x)对任意正实数a，总有f(x)f(xa)f(xa)。 f(x4)f(x)f(2)；⑤f(x)是奇函数且图象关于点(a,0)(a0)3.2 善用变式教学培养学生的思维

在学习定理、公式的教学过程中，运用变式教学可以明确定理、公式的条件，结论和适用范围，注意事项等关键之处，让学生深入理解定理、公式的本质，从而培养学生严密的逻辑推理能力和正确演算能力。例如针对均值不等式的应用条件，讲述均值不等式定理时，我们可以设置如下题组： 例3：1.求函数yx4x(x0)的最值，并求此时x的值。

2.求函数y3.求函数y4.已知05.已知0sinx44sinx(0x)的最值，并求此时x的值。

xx2(x2)的最值，并求此时x的值。

的值。 x1，求函数yx(1x)的最值，并求此时xx12，求函数yx(12x)的最值，并求此时x的值。

xy3，求xy4y1，求xy6.已知正实数x,y满足条件xy7.已知正实数x,y满足条件

1x的取值范围。

的取值范围。

以上设置的题组充分体现了均值不等式“一正二定三相等”的条件，通过正反两个方面帮助学生理解条件的重要性：没条件的怎样创造条件?为什么只做了细微的改变却不能再用定理了？在强烈的对比中学生增进了对应用条件的认识，而且此过程也让他们感到轻松和愉悦。

又如在学习函数的图象与性质时，可以通过教材中的例题或练习设计如下变式题组。例4：画出函数yx5x62的图象，并根据图象说出函数yf(x)的单调区间，指出在各单调区间上函数

（高中《数学（人教版）》新教材（必修1）39页习题1.3A组第1题）。 yf(x)是增函数还是减函数。变式1：画出函数y|x5x6|2的图象，并根据图象说出函数yf(x)的单调区间，判断在各单调区间上函数yf(x)是增函数还是减函数。

变式2：画出函数yx5|x|6的图象，并根据图象说出函数yf(x)的单调区间，判断在各

2单调区间上函数yf(x)是增函数还是减函数。

变式3：求函数y变式4：求函数yx5|x|6在区间[3,5]上的最值。 2log2(x5x6)单调区间。

2以上变式题组体现了由易到难的层次性，方法上体现了数形结合和化归的数学思想，可以起到“举一反三”、“多题一解”的效果，可以提高学生的学习兴趣和思维能力。

3.3 利用变式教学使学生掌握解题方法的多样性和灵活性

对于解题方法而言，当从某角度难以入手时，换一个角度常常会有新的发现。角度的灵活多变，各种不同思路，不同方法的分析比较，是形成创新能力和创新意识的源泉。在学习过程中，学生容易形成思维定势，套用固定的解题模式，在解答问题中常感到“无处下手”。因此，在数学教学中要精选那些可用多种思路完成的典型题，便于学生不拘常规，勇于创新，找到更多“思维点”，寻求更多解决问题的办法和途径以此来充分挖掘学生潜力。

例5：若直线Axayb1通过点M(cos,sin)，则（ ）

.1a2.a2b1 B2.a2b1 C2.

1a2x1b21D1b21

解：（1）（几何意义）由题意知直线直线的距离不大于圆的半径1，即1a2ayb1与单位圆xy1有公共点，于是圆心O(0,0)到

2211b21，将其变形得

1a21b21。

（2）（平面向量）由题意有

cosasinb1b21，设向量m(cos,sin)，n(cos,sin)，由

cossinmn|m||n|得1ab1a2，即

1a21b21 sinb)(cossin)(222（3）（柯西不等式）直接运用柯西不等式得11a2(cosa1a21b)

1b2

cosasinb1，两边平方可得（4）（先平方后配方）由题意知1sina1a2cosa22sinb222sincosab1

221cosbsina222sincosab)11

21

1b2(cosb（5）（先裂项后配方）因为点M(cos,sin)在函数(cosa1a2xayb1的图象上，所以

cosasinb1。

sinb)22cosa222sinb2222sincosab21

2221b2cossina22cossinb12cosa2sinb22sina22cosb22

cosasinb22sincosab

本题解题方法较多，思维量也较大，可从不同角度考查学生的知识掌握程度，能促进学生思维的灵活性。

3.4 通过题目的变式培养学生的探究和创新能力

题目变式包括对例题的条件增加，减少或变更的探究，对结论的探究和命题是否可以引申的探究。因此在对题目进行变式时要反复推敲，字斟句酌，要围绕教材重点、难点展开变式，防止脱离中心，要注意审时度势，因材而异，防止任意拔高乱加扩充。通过题目变式来使学生掌握一类题的解法，从而锻炼学生探究创新能力以及灵活多变的思维能力。例如在讲授函数的单调性之后，对于“求二次函数在闭区间上的最大(小)值”这一课题，可以进行下面的变式： 例6：(1)设(2)设(3)设(4)设f(x)x2x2,x[2,2]2，求f(x)的最大值和最小值。

f(x)x2x22，若f(x)在区间[2,t](t2)上的最大值记为g(t)，求g(t)的表达式。 ，若f(x)在区间[t,t1]上的最小值记为g(t)，求g(t)的表达式。 ，若f(x)在区间[2,1]上的最小值记为g(x)，求g(x)的表达式。 f(x)x2x222f(x)x2ax2这个题组是有关一元二次函数的最值问题。解决这类问题的关键是要让学生结合一元二次函数的图像，弄清楚函数的对称轴与给定区间之间的相对位置关系。第1题是一道具体的一元二次函数在确定区间上的最值问题，结合函数的图像，学生比较容易解决。第2题是一道“定对称轴、动区间(定一个端点，动一个端点)”的二次函数的最值问题，显然f(x)在区间[2,t]上的最小值与t有关，需讨论二次函数的图象在顶点处的横坐标x1与[2,t]区间的关系，分三种情形：①2t1；②1t4；③t4来讨论，从而求出的g(t)表达式。第3题是一道“定对称轴、动区间(两个端点都在变化，但

1区间长度是一个定值)”的二次函数的最值问题，需讨论二次函数的图象在顶点处的横坐标x

与区

间[t,t1]的关系，分三种情形：①t11；②t1t1；③t1来讨论，从而求出的g(t)表达式。第4题是一道“定区间、动对称轴”的二次函数的最值问题，要根据二次函数的图像在顶点处的横坐标xa与区间[2,1]的关系来求解，分三种情形：①a2；②2a1；③a1来讨论，从而求出的g(x)表达式。通过前面4个例题的讲授，让学生较全面地掌握如何求二次函数在闭区间上的最值问题。

4 数学变式教学应注意的问题 4.1 目的性

变式并不是因为“变”而变，而是基于一定的教学目的，要把什么变，怎么变，变了以后会有什么结果的问题要想清楚，让变式真正为教学服务，而不是形式上的热闹。数学变式教学的最终目的是多方面提高学生数学思维品质。因此，教师要思考变式的价值，在课堂教学中教师应该给学生提供更多的思考与合作交流的机会，创造有利于学生思考问题的宽松的课堂气氛，指导学生自己尝试着进行变式练习，鼓励学生大胆地质疑，尽可能把学习的主动权交给学生。

4.2 实践性

变式教学中教师不能包办代替，要让学生主动探索，让学生寻找结论，共同参与，并且还要鼓励学生自己大胆地“变”，培养学生创新意识和创新精神，让学生真正成为课堂中的主体。

4.3 层次性

变式要体现层次性，每一次的变式都是在原有基础上的提高，要让学生感到有一定的挑战性，能充分地激发学生的兴趣，调动学生的思维，体现知识的螺旋式上升，有助于培养学生的思维能力。

4.4 合理性

教学的成功并不取决于应用的数量，而在于应用是否具有典型性。我们提倡开展变式训练，并不是说所有的教学内容都要求进行变式，要特别注意把握好“度”，要克服单纯地为了变式而变式，要避免给学生造成过重的学习和心理负担。

4.5 要充分利用教材，精心选择课本上的例题、习题

变式教学的起点一般源于课本上的例题、习题，做到源于教材又高于教材，不脱离教材，不脱离学生的实际地进行挖掘，深、难度适中，否则将会加重学生的学习负担，产生厌学情绪，不利于成绩的提高。

【参考文献】

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