中学数学变式数学教学心得体会（精选多篇）

推荐第1篇：中学数学中变式教学的设计

中学数学中变式教学的设计

姓名：郑丽朋

江泽民主席指出:“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力，一个民族缺乏独创能力，就难以屹立于世界民族之林” 。人才的培养，已成为民族振兴的关键。学校教育是以课堂教学为主，教学过程既是学生在教师指导下的认知过程，也是学生自我获得发展的过程，同时它还是培养学生创造力的过程。因此，教师如何通过课堂教学，渗透创新教育思想，激发学生的创造欲望，培养学生创造思维能力就成了教学的一个关键。数学正是一门培养创造思维能力的基础课，在数学教学中培养学生的创造思维能力，发展创造力是时代对我们教育提出的要求。为实现这个目标，必须在教学过程中，进行变式教学，让学生从不同的角度，多方位，多层次，去观察、去分析、探索。

所谓变式教学，即教学中变换问题的条件和结论、变换问题的形式，而不换问题的本质，并使本质的东西更全面，使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题。另一方面，在平时的教学中，教师过分强调程式化和模式化，例题教学中给学生归纳了各种类型，并要求按部就班地解题，不许越雷池一步，要求学生解答大量重要性练习題，减少了学生自己思考和探索的机会。这种灌输式的教学使学生的思维缺乏应变能力，表现出思维僵化及思维的惰性，变式教学可使学生注意从事物之间的联系和矛盾上来看问题，在一定程度上可克服和减少这一现象。

现从以下几种方法阐述，本人在教学过程中如何利用变式教学，培养学生思维的灵活性。

(一)一图多变

例：如图，在以AB为直径的半园内有一点P，AP、BP的延长线交半园于C、D，求证：AP•AC＋BP•BD为定值。

分析：过P作PM⊥AB， P、D、A、M及P、C、M、B共圆 据割线定理知：

AP•AC＝AM•AB，BP•BD＝BM•BA 两式相加得：

AP•AC＋BP•BD＝AM•AB＋BM•AB＝AB(AM＋MB)＝AB2(定值) 变題1：当P点落在半园上，原结论是否成立？

分析：由于AP与AC重合，BP与BD重合，故原结论成立。

变题2：当P点落在半圓外，且夹在过A点，B点的切线内，原结论是否成立？

分析：由C、M、B、P共圓知 AP•AC＝AM•AB„„(1) 由A、M、D、P共圓知 BP•BD＝BM•AB„„(2) 由(1)＋(2)得AP•AC＋BP•BD＝AB2(AM＋BM)＝AB2定值 变题3：如右图，当P点落在半圆外，且在过A或B的半圆切线上，原结论是否成立？

分析：如右图，显然有AB⊥BP、BC⊥AP易证AC•AP＝AB2。 变題4：当P点落在半圓外，且在过点A点B的两切线之外时，原结论是否成立？

分析：这时BP的延长线在以AB为直径的另一个半圓上连

1 结BC、AD且过P作PM⊥AB 由P、C、B、M及P、A、D、M两个四点共圓，这时有 AP•AC＝AM•AB，BP•BD＝BA•BM ∴AP•AC＋BP•BD＝AM•AB＋BA•BM＝AB(AM＋BM)≠AB2不成立，但若把式子改为： AP•AC－BP•BD＝AM•AB－BA•BM＝AB(AM－BM)≠AB2，(定值仍为AB2) 从本題的延伸过程中，使学生看到某些因素的不断变化，从而产生一个个新的图形，从这些图形的演变过程中，学生可以找出他们之间的联系与区别，特殊与一般的关系，从而可以使学生收到触类旁通的效果，

(二)一题多解

一题多解，实质上是发散性思维，也是一种创造性思维，教师若能在授课中引导学生多角度、多途径思考，纵横联想所学知识，以沟通不同部分的数学知识和方法，对提高学生思维能力和探索能力大有好处，防止学生的思维惰性。

例：设a、b、c为△ABC的三条边，求证：a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca) 除教学参考书中介绍的一种证法外，我们可以引导学生用以下几种方法。 证法1：∵a、b、c为△ABC的三条边 ∴a＜b＋c b＜a＋c c＜a＋b

∴a2＋b2＋c2＜a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(b＋a) 即a2＋b2＋c2＜2(a b＋b c＋c a) 证法2：∵ a、b、c为△ABC的三条边 ∴∣a－b∣＜c a2－2ab＋b2＜c2

同理b2－2bc＋c2＜a2 c2－2ca＋a2＜b2 以上三式相加得

2(a2＋b2＋c2) －2(ab＋bc＋ca)＜a2＋b2＋c2 即a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca) 证法3：据余弦定理：

∴a2＋b2－c2＜2ab

同理a2＋b2－c2＜2bc a2＋b2－c2＜2ca 以上三式相加得：

a 2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca) 方法4：构造以a＋b＋c为边长的正方形，在此大正方形内分别作边长为a、b、c的小正方形各两个(右图中阴影部分) 显然大正方形面积大于６个小正方形的面积和 即(a＋b＋c) 2＞2(a2＋b2＋c2) 即∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＞2a2＋2b2＋2c2 ∴a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca) 通过一题多解的训练，不仅能开阔学生的视野，拓宽思路，而且可以加强了知识的纵向发展和横向联系，可以沟通代数、几何、三角各个方面的知识，克服学生单向思维的定势，使学生感受到数学美的存在，真正体验到“题小天地大，勤思办法多”的乐趣，从而培养了学生创新思维的能力。

(三)一题多变

2 “变题” 即改变原来例题中的某些条件或结论，使之成为一个新例题．这种新例题是由原来例题改编而来的，称之为“变题”． “变题”已经成为中学数学教学中的热点，每年的“高考”试题中都有一些“似曾相识题”，这种“似曾相识题”实际上就是“变题”

例：已知双曲线两个焦点的坐标为F1(－5，0)F2(5，0)双曲线上一点P到F

1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

解：因为双曲线的焦点在X轴上，所以设它的标准方程为 b2x2－a2y2＝a2b2(a＞0，b＞0) ∵a＝3，c＝5 ∴b2＝52－32＝16 所以所求的双曲线的标准方程为16x2－9y2＝144 本题是在已知坐标系下，根据双曲线的定义解决的，而双曲线上任意一点，(顶点除外)与两焦点連线均形成一个三角形，因而我们可将问题与三角形联系起来，把题设条件作如下改变。

变题1：在△ABC中，已知│BC│＝10且∣AB∣－∣AC∣的绝对值等于6，求顶点A的轨迹方程

解:以BC所在直线为X轴,BC的中垂线为Y轴,建立直角坐标系 设A点坐标为(x,y)(y≠0),则

││AB│-│AC││=6 a=3 c=5 则b2 =c2-a2 =16 故所求的双曲线方程为16x2 –9y2＝144(y≠0) 在变题1的基础上,再将题设条件与方程有关知识联系起来,可以得到相应的变式如下： 变题2：在△ABC中,a.b.c是角A.B.C所对的边,a=10,且方程x2 –(b-c)x=9=0有两个相等的实数根,求△ABC的顶点A的轨迹方程。

变题3：在△ABC中,a.b.c是角A.B.C所对的边,a=10, 且│Sin B-SinC│=3/5SinA 求顶点A的轨迹方程

上面几种变式是将双曲线的定义与三角形、二次方程的知识有机结合而形成的，如将其与平面几何知识结合，则又有相应的变式：

变题4 ：已知动圆P与定圆F1：x2 +y2+10x+16=0 F2：x2 +y2-10x-56=0都内切，且圆F

1、圆F2都在圆P内，求点P的轨迹方程。

解：已知定圆F1：x2 +y2+10x+16=0 圆心F1(-5,0),半径 r1=3 定圆F2：x2 +y2-10x-56=0 圆心F2(5,0),半径 r2=9 则│F1 F2│=10 设动圆P与圆F1、F2都分别相切于A.B，则

│PF1 │-│PF2 │=(│PA│-│F1 A│)- (│PB│-│F2 B│)= │F2 B│ -│ F1 A│ =9-3 =6

∴点P的轨迹是以F1 F2为焦点的双曲线的右支 ∵2a=6,2c=10, b2 =c2-a2 =16 ∴点P的轨迹方程为16x2 –9y2＝144(x≥3) 将此题与2001年高考题第14题：双曲线16x2 –9y2＝144的两个焦点F1、F2点，点P在双曲线上，若P F1⊥PF2则点P到X轴的距离为＿＿＿＿，进行组合可得一个综合性问题：

22变题5：已知双曲线16x –9y＝144的右支上有一点P，F1、F2分别为左、右两焦点，∠F1PF2＝θ，S△F1PF2＝S (1)若已知∣PF1∣·∣PF2∣＝32试求θ (2)S＝16试求θ

(3)设△F1PF2为钝角三角形，求S的取值范围

由上述例题可见，一题多变，由浅而深，由易入难，学生们的课堂气氛紧张而又活跃。在平时的教学中，可以说有较多的题型都可以创改，如条件的改变、结论的延伸、语言的变化等等。若能充分挖掘例、习题的潜在功能，定能提高学生综合应用知识能力及解题的技巧和能力，培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性，减轻学生学习负担。

3 (四)多题一解：

平时常碰到一些题目，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同，因而它们可用同一种方法去解答。让学生训练这样的题组，可使他们不迷恋表面现象，而是透表求里，自觉地注意到从本质上看问题，必然导致思维向深刻性发展。 题1：已知是等腰三角形BCD的底边CD的延长线上一点，求证 ：AC·AD＝AB2－BC2

分析：在△ABC和△ABD中由余弦定理 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA ∵BC＝BD ∴AC、AD是方程x2－(2AB·cosA )＋AB2－BC2＝0的两个根，据韦达定理知AC·AD＝AB2－BC2

题二：设P是正△ABC外接圆弧上

任意一点

求证：PB＋PC＝PA PBPC＝PA2－PB2 分析：∵∠BPA＝∠APC＝60º 在△ABP和△APC中，由余弦定理知

AB2＝PA2＋PB2－2PA·PB·cos60º AC2＝PA2＋PC2－2PA·PC·cos60º

∵AB＝AC∴知PB、PC是方程x2－PA·x＋PA2－PB2＝0的两根椐韦达定理PB＋PC＝PA PB－PC＝PA2－PB2 题三：设P为定角∠BAC的平分线上一点，过A、P两点任作一圆交AB、AC于M、N，求证AM＋AN为定值

证明：设∠PAM＝∠PAN＝a 在△AMP和△ANP中，由余弦定理 PM2＝AM2＋PA2－2AM·PA·cosa PN2＝AN2＋PA2－2AN·PA·cosa 由于PM＝PN 所以AM、AN是方程x2－(2PA·cosa )x＋PA2－PM2＝0的两根,由违达定理得: AM＋AN＝2PA•COSa(定值) 以上三例是用同一种解法，从 实践了从事物之间同与异矛盾的统一中认识事物的本质，因而培养了学生思维的深刻性。

(五)一题多问

在立体几何的教学中，对正方体A B C D－A′B′C′D′提问题，可以有以下九个问题： ① Ａ到ＣＢ的距离。

② Ｂ与平面AB′C间的距离。 ③ A′D到B′C的距离。 ④ A′B′与AC′间的距离。 ⑤ AB与平面A′CD之间的距离。 ⑥ AC与A′D所成角的大小。

⑦ AB与平面AB′C所成角的大小。

⑧ 截面A C C′A′与B D D′B′所成角的大小。 ⑨ 面AB′C与平面A′B′C所成角的大小。

结果，引起学生热烈的讨论，课堂气氛活跃。象这样的变式训练，符合学生的认识规律，

4 既可以培养学生思维的灵活性、深刻性，又提高了课堂教学效率，增大了课堂教学容量。 教学实践表明，利用以上方法，进行多变、多问、多解、多用相结合的教学方法，符合学生的认识规律，可以提高学生的学习热情，激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性和主动性。变式训练，避免学生死记硬背，培养举一反三的能力，帮助学生走出题海战术，减轻学生的负担。更重要的是，长期的变式训练，可以提高学生的数学思维品质，提高学生理解、探索和应用的能力，对学生今后独立工作习惯的形成有很大的益处。

推荐第2篇：浅谈数学变式教学

浅谈数学变式教学

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段。所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。在学校做了几年的数学教师，下面我结合自己的教学对数学变式教学谈几点看法。

一、变式教学的原则

1.1 针对性原则： 数学课通常有新授课、习题课和复习课，数学变式教学中遇到最多的是概念变式和习题变式。对于不同的授课，变式教学服务的对象也应不同。例如，新授课的习题或概念变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系。

1、2可行性原则：选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题会让学生认为是简单的“重复劳动”，影响学生思维的质量；难度“变”大的变式习题易挫伤学

生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失自信心，因此，在选择课本习题进行变式时要变得有“度”。

1.3 参与性原则：在变式教学中，教师不能总是自己变题，然后让学生练，要鼓励学生主动参与变题，然后再练习，这样能更好锻炼学生的思维能力。

二、变式教学的方法

2、1一题多变，培养思维的灵活性

一题多变，是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换等等。

2、2一题多解，培养思维的发散性：一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、不同方位思考问题，探求不同的解答方案，从而拓广思路，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。

例：正方形ABCD中，M为CD中点，E为MC中点。

求证：∠BAE=2∠DAM

证法1：如图1：取BC中N，延长AN、DC交于F，易证：∠1=∠DAM=∠F，CF=BA 设正方形边长为4，则AD=CF=4，DE=3，EC=1 ∴EF=5 根据勾股定理，AE=■=5=EF 得∠2=∠F ∠1=∠2=∠DAM ，即：∠BAE=2∠DAM

证法2：如图1，再连NE，易证：∠1=∠F=∠DAM，AN=FN∵EC/NC=NC/FC=1/2，易证：△NEC∽△FNC，得∠3=∠F ∵∠F+∠CNF=90∴∠3+∠CNF=90°EN⊥AF ∴∠2=∠F即

证

证法3：如图2，取BC中点N，连AN，延长EN、AB交于F 易证：∠1=∠DAM，BF=EC 同证法1，一样根据勾股定理AE=5，AF=5∴△FAN≌△EAN 即证：∠BAE=2∠DAM

2、3多题一法，培养思维的深刻性

数学有很多问题，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同的，因而它们可用同一种方法去解答，让学生演作这样的题组并作比较，可使学生透表求里，自觉地从本质上看问题，从而培养思维的深刻性。

1、当m取何值时，一元二次方程2x2-（m+1）x-4=0的两根中，一根大于1，另一根小于1？

2、如果二次函数 y=2x2-（m+1）x-4的图像与x轴的两个交点分别在点（1，0）的两侧，试求m的取值范围。

以上两题表面上一个是一元二次方程的内容，另一个是二次函数的问题。但它们的分析和解答过程完全一样，即m的取值范围均需满足：

教师应请注意引导学生进行对比、消化，促使学生对相通的知识归纳成体系。避免“只见树木不见森林”的现象。

三、变式教学在数学教学中的作用

3.1 运用变式教学能促进学生学习的主动性。课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就首先要求学生有学习的主动性，有了学习主动性才能积极参与学习。增强学生在课堂中

的主动学习意识，使学生真正成为课堂的主人，是现代数学教学的趋势。变式教学使一题多用，多题重组，给人一种新鲜、生动的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与学习的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情

3.2 运用变式教学能培养学生的创新精神。创新，即通过旧的知识，新的组合，得出新的结果的过程。“新”可以是与别人不一样的，也可以是自己新的提高，它突出与众不同。创新学习的关键是培养学生的“问题’意识，学生有疑问，才会去思考，才能有所创新。在课堂中运用变式教学可以引导学生多侧面，多角度，多渠道地思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效地训练学生思维创造性，大大地激发了学生的兴趣，从而培养了学生的创新能力。

3.3 运用变式教学能培养学生思维的深刻性。变式教学变换问题的条件和结论，变换问题的形式，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面。使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，同时学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容。

变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无

穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。总之，在新课标下的教师要不断更新观念，因材施教，继续完善好“变式”教学模式，最终达到提高教学质量的目的，并为学生学好数学、用好数学打下良好的基础。

四、习题变式教学应注意的问题

4、1源于课本，高于课本

在中学数学习题变式教学中，所选用的“源题”应以课本的习题为主，课本习题均是经过专家学者多次筛选后的题目的精品，我们没有理由放弃它。在教学中我们要精心设计和挖掘课本的习题，编制一题多变、一题多解、一题多用和多题一解以提高学生灵活运用知识的能力。

4、2循序渐进，有的放矢

在中学数学习题变式教学中，对习题的变式要循序渐进，有的放矢。

4、3纵向联系,温故知新

在中学数学习题变式教学中，对习题的变式要注意纵向联系，要紧密联系以前所学知识，让学生在学习新知识的同时对旧知识也得到复习、巩固和提高，从而提高学习效率，让学生明白“任何事物都是相互联系的”这一哲学道理。

4、4横向联系，开阔视野

数学学科不是独立的学科，它跟很多其它学科是紧密相联系的；在中学数学习题变式教学中，要注意跟其它学科的联系，注

意培养学生的发散思维，让学生的思维得到迁移，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

4、5紧扣《考试说明》，万变不离其宗

在中学数学习题变式教学中，习题的变式要紧扣《考试说明》，要以考纲为“纲”进行“变”；不要“变”出一些偏离考纲的“繁、难、杂”题目来浪费学生的宝贵的学习时间和挫伤学生学习数学的兴趣。

总之，在课堂教学中，通过种种训练引导学生多侧面，多角度，多渠道地思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效地训练学生思维的完备性、深刻性和创造性，大大地激发了学生的兴趣，从而培养了学生的创新能力。创新是一个民族的灵魂，是国家兴旺发达不竭的动力。21世纪是知识经济时代，需要创新知识和创新性的人才，自然也需要创新教育。作为灵魂工程师的我们背负着重大的责任。“尺水可以兴波”，三尺讲台就是创造的天地。我们应在理论和实践中努力地探索，勇于进取，努力使创新教育不断走向深入，走向成功。

推荐第3篇：数学变式教学(讲座)

数学变式训练对学生的长远影响

教师：李芳芳

时间过得真快，转眼一学期又要结束了。这学期我们九年级数学重点是通过变式练习的教学提高课堂教学质量。通过听三位教师的公开课及自已上公开课，从理论到实践再到理论，经过这样的过程，感触很大也很受用。最值得学习的是培养了学生的各种基本知识和基本技能。下面我从学生的收获谈一谈自己的看法。

一、变式训练课激活了学生的思维。

变式训练激活学生的思维，尤其是发散思维的能力、化归、迁移思维能力和思维的灵活性。运用变式训练可以提高数学题目的利用率，抽高数学的有效性，培养学生的综合思维能力。比如邹琪教师的这节课重点是讲解绝对值的性质运用，通过变式抓住绝对值班的本质规律，通过训练，主要通过呈现性质的外延和一些易错难辨的分类考虑情况，让学生加深理解很好的掌握绝对值。姚老师的这节几何课把各种全等变形通过具体的变换演示让学生思维一下活跃，学生能很快建立空间形象概念，通过变式帮助学生多方位灵活理解，再复杂的图形都是是由几种基本全等变换得到的，可以从复杂的图中抽象出本质的思维方法。另外，姚老师在处理质疑导学中的例题时，化整为零各个击破 ，用一个二次函数综合问题激活学生思维的深度和广度，一个问题比一个问题难并且综合了轴对称及两点之间线段更短等知识，尤其是面积的问题，一题多解培养了学生变通和举一反三的能力，收到了少而胜多的效果。

二、激活了学生的兴趣，这三节课的变式变得好，不是机械的重复的训练是让学生感兴趣的变式，学生身心都投入，课堂成了学生是主人，教师只起到了主导作用，通过有效的分组和变式，学生有持续的热情参与，并且学生的参与面大，学生真正学得轻松有趣。

三、提高学习效率

通过式训练丰富了课堂气氛，使学生思路宽广更节约教学时间抽高了课堂效率。这三节大容量有一定难度的变式练习课，学生掌握的好，学生主观能和积极性最大开放，提高课堂效率，轻松了老师，老师和学生思维相吻合和谐地展示了高效课堂。

总之，我在今后的教学中一定要多尝试运用变式训练，尤其在下学期上九年级的中考复习上用，努力提高课堂效率，努力提高中考复习效率。

2018年6月 20日

推荐第4篇：变式教学

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怎样进行变式教学

变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究 “变”的规律的一种教学方式。数学变式教学是通过一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，对引导学生主动学习，掌握数学“双基”，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，提高数学学习的能力都具有很好的积极作用。

一、类比变式，帮助学生理解数学知识的含义

初中数学具有一定的抽象性，许多数学概念概括性比较强，学生理解非常困难；有些知识包含了隐性内容，有仅仅依靠老师的情景创设和知识讲解学生可能无法全面理解数学的内涵的，所以需要运用更加丰富的教学手段帮助学生理解数学知识。

例如在学习“分式的意义”时，一个分式的值为零是包含两层含义：(1)分式的分子为零(2)分母不为零。因此，如果仅有“当x为何值时分式 的值为零”，此类简单模仿性的问题，学生对“分子为零且分母不为零”这个条件还是很不清晰的，考虑“分母不为零” 意识还不会很强。但如果以下的变形训练，教学效果会大不相同：

变形1：当x______时，分式 的值为零？

变形2：当x______时，分式 的值为零？

变形3：当x______时，分式 的值为零？ 通过以上的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此，数学变式教学有助于养成学生深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系。

二、模仿变式，更快熟悉数学的基本方法

数学方法是数学学习的一个重要内容，而这些数学方法的掌握往往需要通过适当改变问题的背景或者提问方式，通过模仿训练来熟悉。所以，在教学中通过精心设计变式问题，或挖掘教材自身的资源可以更快地帮助学生熟悉数学的基本方法。

例如人教版课标教材八年级《数学》（上）中，为了使学生更好地掌握三角形全等的判定的“SSS”方法的运用，就很好地采用了变式教学的设计形式。

（1）如图(1)，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A和BC的中点D的支架，求证：△ABD≌△ACD；（例题1）

（2）如图(2)，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC全等吗？(习题13.2中的复习巩固) （3）如图(3)，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE，求证△ACD≌△CBE；(习题13.2中的复习巩固) （4）如图(4)，B、E、C、F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证∠A＝∠D.(习题13.2中的综合运用) 教材中为了让学生掌握“SSS”方法，首先安排了（1）中的简单训练，其中全等的两个三角形有公共边的三角形，相等关系较为直接，只要验证全等的条件是否齐全、是否对应即可以；而（2）则是例1的图形略为变形，旨在增强学生针对图形变化应注意全等条件的验证意识；（3）、（4）中的两个三角形虽然已经一对边之间有直接关系，但其中一对边的相等关系需要经过简单的推理而得到，难度有所加强，对学生是否掌握“SSS”方法的要求更高。这样的变式训练，让学生通过模仿逐步掌握数学的基本方法，对初中学生有着更普遍的意义。

三、阶梯变式，训练中总结数学规律

初中数学内容的形式化趋势比较明显，而学生的对形式化的数学知识理解普遍感到困难，对某些规律的形式化的归纳往往更是无从下手，所以，适当地从学生的实际出发，设计变式教学环节，让学生从变式问题中“变化量”的相互关系中，帮助学生总结数学规律。

例如人教版课标教材九年级《数学》（下）关于二次函数y=ax2的图像的对称轴、顶点、开口等变化规律与a的取值的的关系时就是采用变式教学的形式，让学生通过类比推理总结出这类函数的性质的规律的。

首先，用描点法分别画出两个简单的二次函数“y= x2”和“ y=2x2”的图像，引导学生通过观察它们与“y=x2”的图像的不同点、共同点，发现如下结论：

（1）三个函数对称轴都是y轴； （2）三个函数的顶点都是原点； （3）开口均向上。

其次，进行变式后再尝试验证。同样用描点法别画出两个简单的二次函数“y=-x2”、“y=- x2”、“ y=-2x2”的图像引导学生通过观察它们与图像的不同点、共同点的系数的可以引导学生验证上述结论，发现（1）、（2）依然成立，而（3）有了不同的变化，就是抛物线的开口方向实际上与函数中系数的正负有关，当a＞0时，开口向上；当a＜0时开口向下。

这样，因为需要对图形的几何性质等规律性知识进行总结或验证时，从简单的一类问题开始进行变式，借助变式教学的方法可以很好地提高学生的学习效率，数学中其它规律的发现与验证都可以使用变式教学。。

四、拓展变式，有利于学生形成数学知识之间的联系

数学知识之间的联系往往不是十分明显，经常隐藏于例题或习题之中，教学中如果重视对课本例题和习题的“改装”或引申，进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题进行拓展，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于学生知识的建构。

 例如下面问题可以进行充分运用会有更加意想不到的效果：

如图

（一）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，点D是边BC上的一点，DE^AC，DF^AB，垂足分别是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，

求（1）SDABC。（2）AB上的高。

上题通过连接AD分割成两个以腰为底的三角形即可求解SDABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面积公式和第一题的结论，不难求的AB上的高为8cm。我在教学中并未把求得结论作为终极目标，而是继续问：3+5=8，在此题中是否是一个巧合？探究DE、DF、CH之间的内在联系，（引导学生猜想CH=DE+DF）。

引出变式题（1）如图

（二）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，点D是边BC上的任一点，DE^AC，DF^AB，CH^AB，垂足分别是E、F、H，求证：CH=DE+DF 在计算例题的基础上，学生已经具有了用面积的不同求法把各条垂线段联系起来的意识，此题的证明很容易解决。

在学生思维的积极性充分调动起来的此时，我又借机给出变式（2）如图

（三）在等边DABC中，P是形内任意一点，PD^AB于D，PE^BC于E，PF^AC于F，求证PD+PE+PF是一个定值。通过这组变式训练，面积法在几何计算和证明中的应用得到了很好的体现，同时这一组变式训练经历了一个特殊到一般的过程，有助于深化、巩固知识，学生猜想、归纳能力也有了进一步提高，更重要的是培养学生的问题意识和探究意识。

五、背景变式，强化学生数学思维的训练

在解题教学的思维训练中，通过改变问题背景进行变式训练是一种很有效的方法。通过从不同角度去改变题目，通过解题后的反思，归纳出同一类问题的解题思维的形成过程与方法的采用，通过改变条件，可以让学生对满足不同条件的情况作出正确的分析，通过改变结论等培养学生推理、探索的思维能力，使学生的思维更加灵活性和严密性。

例如：已知等腰三角形的腰长是5，底长为6，求周长。 我们可以将此例题进行一题多变。

变式1：已知等腰三角形一腰长为5，周长为16，求底边长。 变式2：已等腰三角形一边长为5；另一边长为

6，求周长。

变式3：已知等腰三角形的一边长为2，另一边长为16，求周长。

变式4：已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。

变式5：已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是16。请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。

变式1是在原问题的基础上训练学生的逆向思维能力，变式2与前两题相比需要改变思维策略，进行分类讨论，而变式3中的“5”显然只能为底的长，否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性，变式4与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0﹤y﹤2x的理解运用，是完成此问题的关键。通过问题的层层变式，学生对三边关系定理的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势，有利于培养思维的灵活性和严密性。

变式教学实际上是在教学中根据数学教学要求、授课对象、数学教材内容和教学环境形成的一种教学方法。变式教学是一种教学形式,要想它能取得较好的课堂教学效益，必须充分考虑上述教学因素；变式教学就是外因，学生的学习活动则是内因，变式教学能为学生提供更多的主动参与学习的时间、空间,促进学生学习的内化的机会。

推荐第5篇：数学变式思想

在数学教学的过程当中，我们教师认真备课，用心辅导学生做练习，一直以“熟能生巧”来告诫学生，但事实给我们以极大的反差：许多我们认为让学生练熟的知识，在一次次考试中，只要对问题的背景或数量关系稍作演变，有的学生就无所适从。许多实例也表明，大量单一的、重复的机械性练习，达到的不是“生巧”，而是“生厌”，它不仅对学生知识与技能的掌握无所裨益，而且还会使学生逐步丧失学习数学的兴趣，这正是“题海战术”的最大弊端。许多教师曾意识到此类问题，因此在课堂教学中频频提醒学生解题学习要触类旁通，懂一题会解一片。

问题变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学需要，遵循学生的认知规律而设计数学变式。其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧，完成“应用—理解—形成技能—培养能力”的认知过程。因此，数学变式设计要巧，要有一定的艺术性，要正确把握变式的“度”。一般地，设计数学变式，应注意以下几个问题：

1、差异性。设计数学问题变式，要强调一个“变”字，避免简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异。对每道题，要使学生既感到熟悉，又感到新鲜。从心理学角度看，新鲜的题目给学生的刺激性强，学生的神经兴奋度高，做题时注意力集中，积极性大，思维敏捷，使训练达到较好的效果。因此，设计数学变式，要努力做到变中求“活”，变中求“新”，变中求“异”，变中求“广”。

2、层次性。所谓的问题变式要有一定的难度，才能调动学生积极思考。但是，变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，充分激发学生的好奇心和求知欲。要让学生经过思考，能够跨过一个个“门坎”，既起到训练的作用，又可以培养学生的思维能力，发展学生的智力。

3、开阔性。一幅好画，境界开阔，就会令人回味无穷。同样，设计数学问题变式，一定要内涵丰富，境界开阔，给学生留下充足的思维空间，让学生感到内容充实。因此，所选范例必须具有典型性：一要注意知识的横向联系；二要具有延伸性，可进行一题多变；三要注意思维的创造性、深刻性。

4、灵活性。根据教学内容和学生的实际情况，数学问题变式训练的方式要灵活多样，力求使学生独立练习和教师启发引导下的半独立练习相结合。同时，根据数学内容，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，充分展现知识螺旋上升的方式。这种灵活的训练方式，不仅可以提高学生的兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果。

据学习目标和学生交流中所反馈的信息，教师精心选编题目，并通过变式得到变式训练题组，让学生在解答、变式、探索及题目编制过程中，深化对定理、公式的理解和运用，促进认知结构的内化过程。 在变式训练环节中，教师活动体现在：(1)设计针对性强又能进行变式探索的题目。题目设计要注意定理、公式的正用、逆用和变式应用。(2)引导学生解答题目并进行题目变式。(3)引导学生应用定理、公式及其变式进行“编题”训练。(4)适时进行定理、公式的应用要点和技巧的点拨和鼓励性评价。学生活动体现在：(1)灵活应用定理、公式及其变式解决问题，注重探求多解。(2)主动探索题目变式，得到变式题组，扩大解题成果。(3)主动参与编题，进行创新活动，探索问题的源头。(4)在解决问题的过程中，注意总结定理、公式的应用要点和技巧。

推荐第6篇：浅析初中数学变式教学

浅析初中数学变式教学之“习题变式”

上传: 刘永明

更新时间：2012-5-19 20:46:09 浅析初中数学变式教学之“习题变式”

【摘要】：变式，即同一事物非本质特征的一种转换。这种转换使客观事物得以不同形式展现在人们面前，成为我们客观认识事物基本条件。数学教学中的变式教学可以体现新课程的教学理念，减轻学生负担，提高教学质量。现就变式教学中的习题变式谈个人观点，供其他教师在教学中借鉴。 【关键词】：习题变式 方法 思维

在新一轮课改教学中，如何减轻学生过重的学习负担已成为广大教育工作者关注的重点。要减轻学生过重负担，就必须更新教育观念，改革教学方法，努力提高课堂教学质量。数学教学有各种方法和手段，变式教学是其中的一种。尽管有时候人们不一定都认识变式教学的含义，人们却在自觉或不自觉地将它应用于教学之中。在数学教学中研究和运用变式，对教师有效地传授知识，突出本质特征，排除无关特征，让学生去伪存真，全面认识事物，提高数学教学质量有着现实的意义；把变式教学与主体性教育有机结合起来，可以充分挖掘学生的潜能，有效地培养学生的自学能力、探究能力和良好的学习习惯，进而培养学生的创新意识和创新能力，由此可见，变式教学较好地体现了新课程的教学理念，具有鲜明的时代性。笔者在本文结合教学体会谈谈对习题变式认识。

习题是训练学生的思维材料，是教者将自己的思想、方法以及分析问题和解决问题的技能技巧施达于学生的载体。要不被千变万化的表象所迷惑，抓住本质的东西，变式教学是一种有效的办法。通常可以利用习题变式训练学生的思维，使学生在多变的问题中受到磨练，举一反三，加深理解。如将练习中的条件或结论做等价性变换，变更练习的形式或内容，形成新的练习变式，可有助于学生对问题理解的逐步深化。如讲完例题“一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成？保留原题条件，可变换出下列几个逐级深化的题目让学生去思考：

变式1：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？

变式2：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3？

变式3：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的2/3？

变式4：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？

变式5：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？

变式6：一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。现在甲先单独做4小时，然后乙加入合做2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作？ 这一变式改变已知的几个条件中的某些条件;或改变结论中的某些部分的形式; 从而拓宽、加深学生的知识层面，也体现了教学的层次性和多样性，培养了学生创新能力和探究能力。

习题变式中除了改变题目中的条件或结论外，有时将问题由特殊形式变为一般形式也是常见的。比如： 在教学直线、线段、射线时有这样一个题：

1、当直线a上标出一个点时，可得到 条射线， 条线段

2、当直线a上标出二个点时，可得到 条射线， 条线段；

3、当直线a上标出三个点时，可得到 条射线， 条线段 变式

1、当直线a上标出十个点时，可得到 条射线， 条线段； 变式

2、当直线a上标出十个点时，可得到 条射线， 条线段；

通过这种变式，就把问题由特殊形式变为一般形式，学生通过探索交流得出答案，掌握了方法，从而尝试到成功的乐趣，并激发学生的学习热情。

以上是本人在习题变式上的一些体会和认识。变式教学在转换事物非本质特征的时候呈现了事物表象的多样性，使得我们可以动态地认识事物许多的鲜明特征，不为形式不同的表象所迷惑，形成理性认识，有助于扩展思维的宽度，培养思维的发散能力。教学实践证明，通过习题变式有利于克服“题海战术”的重复训练倾向，从而减轻学生的过重负担，真正把能力培养落到实处。习题变式是数学教学的方法之一，如能将它与其它教学手段方法结合运用，一定能收到更好的效果

推荐第7篇：浅谈乡村中学数学教学变式训练开题论证报告

《山区初中数学变式训练教学策略研究》

开题论证报告

曲江中学：陈松艳

一、研究问题的表述

《山区初中数学变式训练教学策略研究》，主要研究山区初中学生的学习行为和效果，研究山区初中数学的教法发现不足和缺憾，然后着力通过数学变式来培养学生创新能力来加以克服，观察克服的程度，再加以改进，总结经验，试图发现一种科学的教学体系来提高初中数学课堂教学效益。研究山区初中数学教学：不同的课型该用哪种模式体现“变式教学”的精神。既要大面积提高教学质量，又要满足学生个性差异，变式教学，变式设计适合不同学生的练习和作业，又不加重学生的课业负担。

二、问题的提出

1、对当前山区教育形式和“变式教育”的认识

新课程标准提出：“教育应该面向全体学生，让每个孩子都成为对社会有用的人才”。所以现代教育过程中根据学生个性差异因材施教，促进学生个性发展，尊重学生个性的独创性教育显得十分重要。教育者要为每一位学生提供同样的学习机会，也要帮助每一位学生充分发展。究其核心就是要尊重学生个性差异，运用各种方法、创造各种条件引导学生主动探究和创造学习。“有效的数学学习活动不能单纯地模仿和记忆”，“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”。数学教学是需要在学生形成初步知识和技能后加以应用的实践训练，即解题。以其来加深和巩固已获知识，那么怎样的问题训练可以既帮助学生提高数学素质和数学能力，而又不重蹈“题海”呢？“变式教学”是很好的载体，符合时代的要求。 有效教学追求的是学生对知识的内化，能够把所学的知识积极转化为自己的知识结构的一部分，数学课堂的“变式教学”，既让学生理解数学知识（概念系统）、数学思想与数学方法，又能深刻体会数学思想的核心作用，提高数学能力。“变式教学”围绕一两道数学问题中所需反映的数学实质进行一系列的问题变化，使学生得以掌握与提高，是培养学生举一反

三、灵活转换、独立思考能力，从而减轻学生学业负担，培养创新能力的有益途径之一。

2、对山区教学现状的考虑

从山区初中数学现状来看，“教师教，学生学；教师讲，学生听”仍是主导模式，基本上是 “狂轰乱炸”的“题海”战术“淹没”了生动活泼的数学思维过程，这种“重复低效”的数学课堂教学，使相当一部分学生“丧失”了数学学习的兴趣。思维变的狭窄，对所学知识往往只注重数学表象，而忽视了数学知识的核心——数学思想。这些促使我们思考：实施怎样的数学课堂教学，既能让学生理解数学知识（概念系统）、数学思想与数学方法，又能深刻体会数学思想的核心作用，提高数学能力呢？

为此，我们提出“尝试变式教育，促进学生和谐发展的实践与研究”这一课题。 希望探索构建和谐课堂教学的策略及机制，促进学生素质的和谐发展。

三、本课题研究的基本内容

本课题主要是研究在初中数学课堂教学过程中，探讨如何通过教师合理安排变式教学，呈现数学教学的本质内涵，达到学生高效的学习目的，逐步探索提高初中数学教与学的有效程度的途径与方法。

四、研究的重点

1、研究学生：着力通过数学变式来培养学生创新能力来加以克服，试图发现一种科学的教学体系来提高初中数学课堂教学效益。

2、研究教法：给出不同条件时如何引导学生联系旧知解决新问题，培养学生能以不变应万变，把握数学知识的核心部分，提高思考问题、解决问题能力。

3、研究教学：不同的课型该用哪种模式体现“变式教学”的精神。

五、研究的难点

1、通过变式教学，对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，帮助学生打通关节，建构有价值的变式探索研究，展示数学知识发生、发展和应用的过程，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通，使思维在所学知识中游刃有余、顺畅飞翔。

2、通过变式教学，解决如何优化学生思维素质的问题，以及如何使学生贯通教学思想的问题。

3、通过变式教学，有效地帮助学生理解学习对象的本质属性以及建立学习对象与已有知识的内在合理联系。锻炼学生的逻辑思维，提高课堂教学的有效性，也就是提高学生自我学习、自我发现、自我反思、自我发展、自我完善的能力，从而全面减轻学生过重的课业负担，真正达到“轻负高质”。

六、国内国外同类课题的研究现状

关于变式教学，国内外专家学者都进行了大量的研究，发表了许多相关文章，不同的学者从不同的角度提出了各自的看法，其中比较有代表性的可以分为以下几个方面：

（一）一些专著关于变式教学的研究

1、由青浦县数学教改实验小组主编的《学会教学》一书中，顾泠沅教授对变式教学有了探讨和研究，他当时提出的“概念变式”、“空间变式”、“背景变式”、“变异维度”等有关变式教学的一系列理论和方法，很好的联系实际教学，为实际教学提供了变式教学的模式和理论依据，能够很好的应用到实际教学中。曹才翰先生总结青浦经验时曾说：变式教学摆脱了“教师示范例题、学生模仿例题”的模式，给开发教学提供了条件。

2、刘长春、张文娣在《中学数学变式教学与能力培养》一书中系统地介绍了数学变式教学的教学原则、基本内容和理论指导，详细地论述了数学变式的方法以及数学变式的途径，并分别给出了概念课、定理课、习题课、复习课以及评价课的教学模式。

3、很多初中数学教师，对变式教学也有过很多的探讨和研究。

（二）一些期刊关于变式教学的研究

钟海平在“中学教学参考”中发表《搭建变式教学平台，培养学生数学思维》，该文章以实际教学中的案例为载体，采用分类的方法对变式教学的做法及其在学生思维的培养方面进行阐述。

陈迪军在“数学通报”上发表《变式教学诱发一题多解》，该文通过对变式题的探讨，进一步激发了学生的数学思维，锻炼了学生的随机应变能力。通过变式题目的练习启发学生从不同角度思考问题，加强各知识之间的纵横联系，起到举一反三，融会贯通的作用。

聂文喜在“数学通报”中发表《一道课本习题的变式教学》，该文以一道课本习题变式为例进行点评，旨在以此说明教师在教学过程中不能就题论题，教师应引导学生进一步挖掘题目的内在含义，使学生认识到教材的重要性，完善了学生的知识结构和认知结构。

鲍建生、黄荣金、易凌峰、顾泠沅在《变式教学研究》一文中从变式教学的角度，根据以往关于变式教学的理论，又根据学习对象的两重性，将数学变式分为概念变式和过程变式。

（三）一些学位论文关于变式教学的研究

陶贵斌在《数学变式题教学的实验与探究》一文中提到，中国的数学教育理论工作者和一线教师对“变式题教学”的理论研究较少，甚至还存在一些模糊和错误的理论认识。他在此文中从理论和实践的角度系统的对“变式题教学”进行剖析和反思，在已有研究的基础上，对“变式”的内涵特征、“变式题及变式题教学”的内涵及特征作了充分的补充，给出“变式题教学”的案例，概括了“变式题”的构造方法及教学功能，又从实践的层面提出了“变式题教学”应遵循的原则。

聂必凯在《数学变式教学的探索性研究》中系统的研究了已有变式教学的论述之后，又主要从基本图形的变式、导入情景的变式、教学事例的变式、教学活动的变式、外部表征的变式五个方面研究了过程性变式教学的实施形式与意义。

众所周知，西方学者比较重视理论与实践相结合，对变式教学的研究也不例外，他们提出许多理论，其中比较典型的有“马登理论”与“脚手架”理论。

七、本课题研究的理论意义和实践意义

众所周知，针对农村初中学生，数学的学习存在很多的不足，学习质量与城区学生存在差距，在农村初中，大多重视分数，放松了学生思维能力的培养，所以在数学的实际应用方面落后于发达地区的学生，为加强农村初中学生的思维能力，提升学生对数学的实际应用能力，先、现选取变式练习为课题入手进行研究，希望找到好的学习方法。长期以来，在“应试教育”的压迫，“掐头去尾抓中断”的“题海战术”严重困扰着我国的中学教学，导致好多学生讨厌数学，是限制学生在教学活动中的积极性、主动性和创造性的主要根源。综上所述在中学数学教学中变换习题形式有以下意义：

1、“一题多变”有利于培养学生的发散思维，提高学生分析问题和解决问题的能力。因此，通过对例题的灵活变化，引导学生灵活多变，触类旁通，寻求解决问题的办法，能很好的提起学生学习的积极性，从而能很好的变化出新颖的问题。让学生在变化中感受学习数学的乐趣。

2、“一题多解”有利于培养学生自主学习的能力和创新思维能力。自主学习能力并不是先天就有的，也不是每个人一开始就能做得特别好的，这种学习能力的培养和实现还需要在我们的实际课堂教学中慢慢的改进。所以在习题中能很好变化解法，从而活跃学生的思维能力，使学生能够更好的创新。

3、“一法多用”有利于减轻学生过重的学业负担，激发学生的数学学习兴趣。现阶段的数学教学仍然是在学习新知识的基础上，教师举例讲解，学生模仿练习，然后学生课后独立完成作业的传统教学方法。这样往往为了提高学生的数学成绩，师生容易走人“题海战术”的误区，从而增加了学生的学习负担。

综上所述，对该课题进行深入研究有较好的理论、实际意义的。

八、课题研究的有利条件

1、此课题的研究得到了学校的大力支持和帮助。

2、本课题组成员都达到了本科学历，并且许多成员从教多年，具有丰富的经验，课题组成员年龄结构合理，平均年龄较年轻，有充沛的精力完成课题研究。

3、我校这么多年宝贵的成功经验和良好的校风为该课题的研究提供了切实可行办法。

4、课题参与成员分布教育教学的各个层次并且有5位班主任，为课题的研究提供了稳定和不同层次的实验对象，有利于实验工作的开展和课题的顺利完成。

九、课题研究中可能遇到的问题及解决措施

1、我校教师编制紧张，研究时间受限，任务重。本课题组成员会进一步做好协调工作绝不影响课题研究的进度。

2、由于我校图书室藏书有限，资料搜集不全面及时，届时我们课题组会充分利用各种网络资源，各种渠道解决这一问题。

十、课题研究人的研究水平、组织能力和课题组成员的总体研究水平课题负责人陈松艳：本科学历，中学一级教师，有扎实的数学基本功，多年来教学成绩显著；有多篇论文在省、州、县级评审中获奖或发表，具有较强的组织能力和研究能力，能组织和承担此课题的研究。

沈文龙，专科学历，中学高级教师；朱仟任、刘海飞、李婷婷、何自钿、阿新明、卢志伟，本科学历，中学一级教师；王怡景、宋宣飞，本科学历，中学二级教师；课题组成员中基本上都是校级数学骨干教师，有丰富的教学经验，多年来教学成绩显著，有多篇论文在省、州、县评审中获奖或发表，有较强的研究能力。

十一、课题研究的方法及步骤

1、研究方法：调查法、比较分析法、文献资料法、行动研究法、经验总结法等，主要采用行动研究法。

2、研究步骤： （1）准备阶段

2015年3月 ——2015年4月。学习有关文献，设计制定课题研究方案，撰写开题论证报告。

（2）实施阶段

2015年5月 ——2015年6月，集数学学科组的力量研讨当前数学课堂教学效率不高的原因，探讨“变式训练教学法”在数学学科中将如何开展和运用，才能真正变数学课堂为高效课堂；调查学生学习数学的兴趣、以及课堂学习效率。 2015年7月 ——2015年10月，具体分块实施课题方案，撰写实验性报告和阶段总结报告，摄制课堂实录，收集相关资料。

2015年11月——2015年12月，分析课题实施情况，完善课题实施方案。 2016年1月——2016年3月，继续分块实施课题方案，撰写实验性报告和阶段性报告，摄制课堂实录，收集相关资料。

（3）总结阶段

2016年3月——2016年6月，进行资料整理和数据处理，汇编教学论文，制作课堂实录光盘，收集课件，撰写本课题结题报告，课题结题。

十二、课题组成员分工

1、课题组由组长陈松艳负责，主要统筹课题研究与实施工作，包括组织策划、制定课题实施计划和实施过程，开题论证报告，阶段性课题研究报告，结题报告等。

2、着力通过数学变式来培养学生创新能力来加以克服，试图发现一种科学的教学体系来提高初中数学课堂教学效益。由王怡景、宋宣飞、李婷婷负责。

3、给出不同条件时如何引导学生联系旧知解决新问题，培养学生能以不变应万变，把握数学知识的核心部分，提高思考问题、解决问题能力。由陈松艳、刘海飞、沈文龙、朱仟任负责。

4、不同的课型该用哪种模式体现“变式教学”的精神。由沈文龙、陈松艳、刘海飞、李婷婷等负责。

5、何自钿、卢志伟、阿新明负责收集、整理相关资料，包括公开课、课堂教学实录、课件制作等。

5、课题组各成员负责各自教学班级的教学，课件的制作，相关资料的汇集、分析撰写研究报告和相关论文。

推荐第8篇：聚焦数学变式教学绍兴二等奖

聚焦数学变式教学

【摘要】 课堂教学的教学方式和模式呈现多式多样化， 变式教学仅是提高数学课堂效率的有效途径之一.本文就理解数学概念、巩固运用公式、数学思想方法的切换及学生对开放性问题的自主探索、合作探索等方面加强变式教学，提升课堂学习有效性

【关键词】变式；变式教学；互动；有效性；开放性

教学研究和实践表明，在数学教学中，恰当合理的变式，可以优化学生的知识结构，提高学生分析解题能力，避免反复的机械训练．能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，开拓学生视野，激发学生的思维，有助于培养学生的探索精神与创新意识，进一步提升数学课堂的教学效果.

一、深化理解数学概念的变式

案例1 双曲线第一定义概念的教学

在双曲线概念教学中，对于第一定义：“平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线”，通过多媒体的演示，起到很好的直观效果，但对具体处理问题时，若对定义中出现的“绝对值”、“小于F1F2”、“常数”等关键词的理解不透，解题中将会出现思路受阻，漏洞百出．因此对定义的理解是非常重要的，教学中我设计了一系列变式：

变式1 将“小于F1F2”改成“等于F1F2”，其余条件不变，则点的轨迹是什么？（两条射线） 变式2 将“小于F1F2”改成“大于F1F2”，其余条件不变，则点的轨迹是什么？（无轨迹） 变式3 将“绝对值”去掉，其余条件不变，则点的轨迹是什么？（双曲线的其中一支）

变式4 令“常数”等于零，其余条件不变，点的轨迹是什么？（线段F1F2的中垂线）（让学生认识双曲线定义中的常数应大于零）

经过以上变式的讨论与探索，学生对双曲线第一定义的中的“绝对值”、“小于F1F2”、“常数”等条件的内涵有了更深刻的理解，利用这样的问题系列，点拨知识间联系与区别，有助于学生在新情境下进一步识辨问题的本质．

二、巩固运用定理公式的变式 在利用基本不等式“ab2ab(a0,b0)求最值”的问题教学中，公式的掌握和理解相对容易，但具体涉及运用，则需要对基本不等式本质的理解．从了解学生的认知心理出发，我设计了这一问题的阶梯式变式训练：

案例2 求函数yx4x0的最小值 x强化概念的运用，利用“一正二定三相等”求出最小值

x24x0的最小值 变式1 求函数yxx24x244x，变“生”学生先思考，教师再引导观察本题与例2结构上的异同：yxxxx为“熟”.x22x4x0的最小值 变式2 求函数yxx22x4x242x4x2以变式1为基础，解决变式2就变得容易多了，可变形为yxxxx求之，同时教师要求学生对变式1和变式2的解法进行小结归纳，从而再引申出变式3.x22x5x1的最小值 变式3 求函数yx1

- 1例如在复习《数列》中有关递推关系求通项问题，可以创设变式情境，让师生共同参与其中.案例4 已知数列an中，a11,an4an11,n2，写出数列的前5项.2先让大家思考回答这是数列中哪一类题型，并动手做完后教师提出：条件不变，如何求a2010？即 变式1 已知数列an中，a11,an4an11,n2，求a2010.2T: 这题能否像例4的方法，根据首项直接求出a2010？（学生开始七嘴八舌）

S1:(开玩笑似的说）只要给我充分的时间，能行.（引得全班同学哄堂大笑） T:这位同学话说的没错，学习数学也需要这份毅力和自信，但面对有限的时间，求出a2010不切实际;那一般的方法该怎么做呢？（促使学生思考通项an的求法），即

变式2 已知数列an中，a11,an4an11,n2，求an.2让学生独立思考，自主探究，完成后同学间相互交流，发表各自的意见和看法，用宽松和谐、平等交流、亲密合作、知无不言、言无不尽代替了往日的紧张、严峻、沉闷的氛围．从学生的解法中得到了好几种不同的构造解法，学生思维的火花在这种宽松的氛围中得到了绽放．

S2:老师，如果将递推关系式的常数“1”改成关于n的函数式，如何求通项an.老师给以热情的鼓励，同学们各抒己见给出了一系列的变式：

1,an4an1n1,n2，求an.21n变式4 已知数列an中，a1,an4an13,n2，求an.

21n变式5 已知数列an中，a1,an4an13n1,n2，求an.

2变式3 已知数列an中，a1„„„„„„

学生探讨解法，老师给予点评，视时间可以留给学生课后作业，这样的问题变式情境中，学生不怕冒尖，不怕说错，即便错的荒唐，也决无往日的尴尬和沮丧，使学生潜藏的智能可以发挥到极致，这样的课堂也大大拓宽了师生的知识空间、能力空间、思维空间和情感空间.

五、培养学生思维开放性的变式

将问题进行开放性变式，将变式教学与研究性学习有机地结合起来，让学生学会探索，并在探索中由“学会”变为“会学”.案例5 点Mx,y到两定点M1,M2的距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？（考虑m1和m1两种情形）

解答分析例5后，将该题改编成一道开放题：

变式 在ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c，其中边长c为定值，请你建立适当的直角坐标系，并添加适当条件，求出顶点C的轨迹方程.通过大家主动探求，大胆创新，所添加的条件丰富多彩，展示其中的一部分： 1） 添加条件：C是直角；

2） 添加条件：abmmc；

3） 添加条件：abm0mc；

4） 添加条件：顶点C和两定点A,B连线的斜率之积为定值kk0；

5） 添加条件：ABC的面积是定值mm0

这种开放性的变式课堂教学设计，一方面要使课堂教学为学生创设一个有利于群体交流的开放的活动环境，成为师生思维活动双向暴露过程，引发他们积极进取和自由探索；另一方面要在问题设计和讨论中保留开放状态，给学生创新思维提供更广阔的数学天地，使学生得到更充分的发展．真正做到课堂有效，学习高效.

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推荐第9篇：小学数学变式练习教学探究

小学数学变式练习教学探究

摘 要：所谓变式就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式，使非本质属性变化，本质属性恒在。变式在小学数学教学中运用十分广泛，可以在概念形成阶段提供，也可以在知识巩固深化阶段以练习的形式呈现。

关键词：变式；变换；解决问题

所谓变式就是使提供给学生的各种感性材料不断变换其表现形式，使非本质属性变化，本质属性恒在。变式在小学数学教学中运用十分广泛，可以在概念形成阶段提供，也可以在知识巩固深化阶段以练习的形式呈现。通过变式练习，能使学生排除非本质属性的干扰而看清本质，不仅能深化所学的知识，而且还能培养学生灵活运用所学的知识解决实际问题的能力。那么，教师怎样设计变式练习呢？笔者有以下几点浅见，愿与同仁共研。

一、变换叙述形式

基本题：24的约数有 。

变式题：（1）24能被 整除；（2） 能被24整除；（3）24是 的倍数。

这三道变式题变换了叙述形式，但其约数的本质“必须整除”始终恒在。通过解答，使学生不只习惯于解答标准叙述形式的题目（基本题），而且能灵活地排除变式的非本质属性的干扰，并能正确地解答题目，从而对约数的概念理解得更加深刻，同时也培养了学生灵活运用知识的能力。又如：

基本题：黄花有5朵，红花比黄花多3朵，红花有多少朵？

变式题：黄花有5朵，黄花比红花少3朵，红花有多少朵？

变式题中的“黄花比红花少3朵”也就是“红花比黄花多3朵”。叙述学生变了，但“求比一个数多几的数”这类应用题（即解决问题）的本质属性不变，其数量关系仍然是“较小数+差数=较大数”，因此用加法计算，这种变式题不仅能有效地克服学生“见多就加，见少就减”，防止学生片面地根据一些固定的词语来选择算法，而且能培养学生认真审题，提高解决问题的能力。

二、变换图形的位置或条件

这类变式题的设计在几何初步知识中经常出现和使用，变式题中多余的条件“7”的设计，可以帮助学生更好地理解三角形面积计算公式，能克服学生乱套公式的坏习惯。

三、变换已知条件的叙述顺序

基本题：红星小学少先队员种树，每排种6棵，种了4排，一共种了多少棵？

变式题：红星小学少先队员种了4排树，每排种6棵，一共种了多少棵？

变式题条件叙述顺序上的变化，使已知条件出现了的数据与列式次序不一致，会使学生错列成4×6=24（棵）或4×6=24（排）的错误，这就要求学生必须认真审题，仔细分析数量关系，只有在明确求“4个6是多少”以后，才会纠正其错误。又如，文字题：

基本题：25与20的和除以它们的差，商是多少？

变式题：25与20的差除它们的和，商是多少？

变式题变换了条件的叙述顺序，旨在考查学生对“除”和“除以”的理解和掌握。

四、变换题目中的已知条件

1.将题目中的某一已知条件隐藏

基本题：把90°角按1∶2分成两个锐角，这两个锐角各是多少度？

变式题：直角三角形两个锐角的度数比是1∶2，这两个锐角的度数各是多少度？

这样设计的变式解决问题，表面上看是只有一个已知条件，如果不认真分析思考，学生的思维就会受阻，错误地认为条件不够，无法进行解答，这样设计旨在使学生从某些词语的背后发现蕴含的另一个已知条件，提高学生解答问题的能力。

2.将题目中的直接条件变换为间接条件

基本题：育才小学三年级有90人，四年级的人数比三年级多6人，

三、四年级共有多少人？

变式题：（1）育才小学三年级有2个班，每班45人，四年级的人数比三年级多6人，

三、四年级共有多少人？（2）育才小学三年级有90人，比四年级的人数比少6人，

三、四年级共有多少人？

用这种方法设计的变式题，在解决问题的教学中经常运用，变式题（1）和（2）与基本题比较，虽然问题不变，但由于条件变换，将一步计算的解决问题扩展成

二、三步计算的解决问题，从而使学生能认清复合解决问题的结构特征。

五、变换所求问题

基本题：光明小学五年级有男生120人，女生100人，男生人数是女生人数的几分之几？在学生正确的解答后，教师变换问题：

（1）女生是男生的几分之几？（2）男生比女生多几分之几？（3）女生比男生少几分之几？（4）男、女生人数各占五年级人数的几分之几？

通过解答和比较改变问题的变式题，使学生对“求一个数是另一个数的几分之几”解决问题有较深的认识，从而加深对这类解决问题的理解，培养学生思维的深刻性。

六、变化已知条件和所求条件――问题

基本题：长方形的长6厘米，宽5厘米，它的面积是多少？

变式题：长方形的面积是30厘米，长6厘米，宽是多少？

这种变式题，其解答思维方向是逆向的，经常设计这种练习供学生解答，不仅能深化所学的数学知识，而且还能培养学生的逆向思维能力。

七、变换题目叙述事理

基本题：一项工程，甲独做要8小时完成，乙独做要10小时完成，甲、乙两人合做要多少小时完成？

变式题：从甲地到乙地，客车要8小时，货车要10小时，现两车从甲、乙两地相向而行，几小时相遇？

变式题的叙述事理虽然发生了变化，但其数量关系与基本题相同。通过解答，可以使学生对工程问题的数量关系获得更为广泛的概念和理解。

八、变换数据、运算符号或计算步骤

这种方法的设计常常用于四则混合运算的教学。

基本题：0.32+7-2-0.32

变式题：（1）0.32×7+2×0.32（变换运算符号）；（2）0.32×7+2×0.25（变换数据和运算符号）；（3）0.32×（7+2）×0.25

变式题1与基本题一样，都能运用运算定律进行简算。这时，小学生往往会产生“简便计算”的心理定势，对这些貌似能简算，但实际不能简算的题目，学生极易失误；变式题2的设计目的是排除学生多余成分的干扰，防止“7+2”先求和；变式题3添上括号变换了运算顺序，其目的除了与变式题2进行对比外，还要引导学生灵活地计算。教师设计此种“一题多变”的变式题既能避免试题形式单调，又能使学生在“一题多变”练习中排除各种干扰，自觉认真审题，不断提高学生的计算能力。

推荐第10篇：变式教学释义

变式教学释义

1引言

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段。所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。在学校做了几年的数学教师，下面我结合自己的教学对数学变式教学谈几点看法。

变式教学的原则

1.1 针对性原则 数学课通常有新授课、习题课和复习课，数学变式教学中遇到最多的是概念变式和习题变式。对于不同的授课，变式教学服务的对象也应不同。例如，新授课的习题或概念变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系。

1.2 适用性原则 选择课本内容进行变式，不能“变”得过于简单，过于简单的变式题对学生来说是重复劳动，学生思维的质量得不到很好的提高；也不能“变”得过于难，难度太大容易挫伤学生的学习积极性，起不到很好的教学效果。因此在选择课本习题进行变式时要根据教学目标和学生的学习现状，在适当的范围内变式。

1.3 参与性原则 在变式教学中，教师不能总是自己变题，然后让学生练，要鼓励学生主动参与变题，然后再练习，这样能更好锻炼学生的思维能力。

变式教学的方法

下面举一些具体的例子，谈谈变式教学的方法。

2.1 变换条件或结论 变换条件或结论是将原题的条件或结论进行变动或加深，但所用的知识不离开原题的范围。

在学习函数的单调性时，老师可以讲解这样的例题：判断函数在指定区间内的单调性。y=x2，x∈(0，+∞)。变式1：y=x2，x∈（-∞，0）可让学生练习。变式2：y=x2，将后面的条件都去掉，问学生此时函数的单调性，学生要认真思考，会发现此时这个函数不具备单调性。 又如在三角函数中，已知cosα=- ，

2.2 条件一般化 条件一般化是指将原题中特殊条件，改为具有普遍性的条件，使题目具有一般性，这是设计变式题经常考虑的一种方法。

已知抛物线的方程是y2=4x，在曲线上求一点M（x，y），使它到原点的距离最短。变式1：已知抛物线的方程是y2=4x，在曲线上求一点M（x，y），使它到点A（a，0）的距离最短。变式2：已知抛物线的方程是y2=2px，在曲线上求一点M（x，y），使它到原点的距离最短。

这种变式将特殊的条件变得更一般，符合由特殊到一般的认识规律，学生容易接受。

2.3 联系实际 联系实际是将数学问题与日常生活中常见的问题联系起来，这要求教师要有丰富的生活经验和数学应用意识，教师在教学过程中，要创设情景，引起或指引学生进行联想，让学生知道数学与生活是紧密联系，不可分割的，很多数学问题在生活中都能找到模型。通过联系实际的变式教学来提高学生应用数学的意识和学习数学的兴趣。

已知抛物线的焦点是F（0，8），准线方程是y=8，求抛物线的标准方程。这是完完全全的数学问题，可将这类题变式为：桥洞是抛物线拱形，当水面宽4米时，桥洞高2米，当水面下降1米后，水面的宽是多少？

这样与实际结合的变式练习，能提高学生学习数学的兴趣，从而更好的达到教学目的。

变式教学在数学教学中的作用

3.1 运用变式教学能促进学生学习的主动性。课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就首先要求学生有学习的主动性，有了学习主动性才能积极参与学习。增强学生在课堂中的主动学习意识，使学生真正成为课堂的主人，是现代数学教学的趋势。变式教学使一题多用，多题重组，给人一种新鲜、生动的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与学习的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情

3.2 运用变式教学能培养学生的创新精神。创新，即通过旧的知识，新的组合，得出新的结果的过程。“新”可以是与别人不一样的，也可以是自己新的提高，它突出与众不同。创新学习的关键是培养学生的“问题’意识，学生有疑问，才会去思考，才能有所创新。在课堂中运用变式教学可以引导学生多侧面，多角度，多渠道地思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效地训练学生思维创造性，大大地激发了学生的兴趣，从而培养了学生的创新能力。

3.3 运用变式教学能培养学生思维的深刻性。变式教学变换问题的条件和结论，变换问题的形式，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面。使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，同时学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容。

变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。总之，在新课标下的教师要不断更新观念，因材施教，继续完善好“变式”教学模式，最终达到提高教学质量的目的，并为学生学好数学、用好数学打下良好的基础。

第11篇：中学数学教学心得体会

中学数学教学心得体会

我作为一名新上任的初中数学教师，虽经验不足却对于教育教学有诸多热情，并视之为终身使命。平时一直关注新教育的改革，身为数学教师的我，力求使理论和实践相结合，使新教学理念落实到教学实践中。以下是我的一些教育教学体会。

一．数学学习需要构成最佳心态

学习心态是学生学习时的心理状态。数学活动不仅是数学认知活动，而且也应是在情感心态的参与下进行的传感活动。成功的数学活动往往是伴随着最佳心态产生的。那么怎样构成学生学习数学的最佳心态呢？我认为，要构成数学学习最佳心态，就必须使学生在学习过程中有一种轻松感、愉悦感、严谨感和成功感。

二．对数学概念的反思—学会数学的思考

对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界去了解世界。而对于数学教师来说，他还要从“教”的角度去看数学去挖掘数学，他不仅要能“做”、“会理解”，还应当能够教会别人去“做”、去“理解”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系、辨证等方面去展开。 教师在教学生时，不能把他们看作“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”，这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。

要想多“制造”一些供课后反思的数学学习素材，一个比较有效的方式就是在教学过程中尽可能多的把学生头脑中问题“挤”出来，使他们把解决问题的思维过程暴露出来。

三．多媒体走入课堂势在必行

课程改革是创新和继承并存的过程，课程理念的创新来自于实践，是对素质教育的深化，信息技术与新教材的整合更能体现信息技术的工具性，初中数学新教材简洁、实用，一改过去教材不注重培养学生学习数学的兴趣；“重结果轻过程”，对背景知识的关注和应用不够；不注重实践和应用。新教材中选取了与内容密切相关的、典型的和学生熟悉的教材，用生动的语言，创设能够体现数学的概念，结论及思想方法发生发展过程的学习情景，使学生感到数学是自然的，水到渠成的，引发学生“看个究竟”的冲动，从而兴趣盎然地投入学习。

信息技术应用在教学中效果会更好，利用多媒体现代教学手段，不仅优化了教学效果，扩充了课堂容量，减轻学生课业负担，全面提高学生综合能力。课程改革大力倡导知识的应用价值及活动理论上的教学新理念，呼唤教学理念的更新。而且，多媒体的应用还能使学生在学习过程中产生一种轻松感、愉悦感，增加了课堂的趣味性，一改老式数学教学的苦燥无谓。因此，多媒体走入课堂势在必行。

一份耕耘，一份收获。教学工作苦乐相伴。我将本着“勤学、善思、实干”的准则，一如既往，再接再厉，把工作搞得更 好。

第12篇：谈初中数学教学中的变式教学

谈初中数学教学中的变式教学

【摘要】随着时代的发展以及新课程改革的不断深入，初中数学教学课堂也面临着新的挑战，如何使数学课堂的教学质量得到有效提升就成了每一位初中数学教师需重点思考的问题。对于数学课堂而言，变式教学是一类具有科学性、合理性的教学方法。引导学生对多变的问题进行思考，发现其“不变”的本质，继而对变化规律进行探究的教学方法就称之为数学变式教学。本文结合实际情况对初中数学教学课堂中的变式教学进行了深入分析，并结合变式教学在数学课堂中的运用实例提出了自己的看法。

【关键词】数学课堂 变式教学 创新思维 独立思考

在中学数学课堂上，变式教学是一种常见的教学方法，已受到了广大数学教师的青睐。依靠一个问题的变式使一类问题得到解决就是数学变式教学的主要目的。运用变式教学，数学教师可为学生们提供一个思考、探索的空间，引导学生透过现象对问题的本质以及内在规律进行探索，并形成科学合理的思维体系。针对变式教学在初中数学课堂里的运用，笔者提出了自己浅薄的看法。

一、运用变式教学的意义

1.运用变式教学，可使学生学习的积极性得到提高。“兴趣是最好的老师”。为了让学生更好地学习数学，成为数学课堂的主体，教师就需采取科学合理的措施使学生们学习数学的热情得到激发。运用变式教学，可达到一题多用的目的，使数学知识更具创新性以及趣味性。这样一来，学生们的求知欲以及好奇心就可得到有效调动，他们也会更乐意对数学知识进行学习和思考。

2.运用变式教学，可对学生的思维进行培养。一般来说，发散思维的一大内在特点就是具有高度的广阔性。对于初中数学教师来说，如何对学生的发散性思维进行培养是极其重要的。运用变式教学，可达到一题多变的练习效果，使学生的思维得到扩大。在多次实题训练的过程中，学生不仅轻松地学到了更多的数学知识，他们的思维能力以及创新能力也得到了培养。另外，在数学教学过程中，针对教学难点，数学教师需从学生学习的实际情况出发对练习题进行精心设计，旨在使题目具有明确性和针对性。这样一来，学生的发散性思维就得到了有效培养，而经过一系列的拓展训练，他们的思维广度也得到了提升。由此可见，变式教学的合理运用可使学生的数学思维能力得到有效提升。

3.运用变式教学，使学生思维的深度得到培养。通过保持问题的本质，而对问题的条件和结论进行巧妙变化，最终使学生透过现象对问题的内在特点以及规律进行发掘就是变式教学运用的目的。在初中数学课堂上运用变式教学，可使学生从一个全面而独特的视觉去看待问题，进而掌握科学合理的分析方法。另外，巧妙地运用变式教学，可使学生养成独立思考的习惯，突破思维僵局，懂得从深层次去分析问题。

4.运用变式教学，可对学生的创新思维进行培养。在数学教学课堂上，针对一个难点，数学教师可积极对类比、特殊化、联想以及一般化等思维方法进行合理运用，对问题的发展情况进行深入探究，引导学生转换思维模式，对问题的内在本质做出发现。另外，数学教师还需引导学生对思维的心理定势进行克服和改变，在进中求通，最终获得创新思维能力。

二、变式类型

1.概念教学里的变式。在数学概念的形成阶段，相比于数学概念的定义，对其内在特征以及外延进行揭露的过程显得更为重要。在概念的形成期间，我们可采用科学合理的方法对变式教学进行运用，这其中主要包含了概念辨析变式、概念引入变式以及概念深化变式。依靠运用变式教学，我们可更好地对学生进行引导，让他们参与概念形成的全过程，并对数学概念有更深层次的认识和掌握。最后，老师可对问题情境进行巧妙创建，让学生主动去学习、去创造，最终获得创新能力以及高度的概括能力。

2.习题练习里的变式。对于数学教学质量的提升来说，习题变式训练是极其重要的一个环节。通过习题变式训练，可使学生学习数学的基本方法以及习惯得到形成。这样一来，学生就会在潜移默化中获得数学的认知体系，并懂得运用创新思维方式去思考问题、解决问题。

三、变式教学在数学教学过程中的运用

1.理论联系实际，使问题实际化。在数学教学课堂里运用变式教学，可引导学生在变化的过程中掌握到不变的规律，最终发现问题的本质。在数学知识的学习过程中，我们常常会遇到和日常生活紧密联系的问题，比方说电费问题、燃气费问题等。因此，在解决问题的过程中，数学教师就可对变式教学进行积极运用，将电费问题转换为出租车打的收费问题等，旨在让学生将学习的数学知识运用到实践中去。另外，巧妙地对变式教学进行运用，可使数学教学课堂的趣味性得到提升，进而调动学生们学习数学的积极性。老师可积极对学生进行指导，让他们从多角度、多方位去思考问题，并养成积极讨论的习惯，最终找到正确的解题方法。

2.加强习题的变式训练。对于数学知识的学习来说，习题练习环节是极为重要的，诸多数学思维方法都可在例题里面找到。依靠习题的变式训练，我们可引导学生对知识点进行深入掌握，并从众多的习题里面总结出解题思路。在所有习题里面，填空题是一类常见的题型，为了更好地对学生进行训练，我们可以选择题为例对变式教学进行合理运用。比方说，可先设置出这样的一个问题：从一米长的绳子中截去一半，然后将剩下的绳子再截去一半，如此下去，倘若要使最后所截的绳子不足一厘米，那么需要截多少次？针对这一问题，我们可运用变式法转换题目：一根木头长为a米，首先截取全长的1/2，第二次截去剩下的1/3，那么剩下的长度为多少？依靠这样的变式训练，学生的思维方式不仅得到了锻炼，他们也获得了解决问题的正确方法。

3.对正例变式和反例变式进行合理运用。在学习的过程中，例子原型及其变式为正例变式的主要体现模式，但是运用正例变式，学生们往往会将典型特征误当成本质特征，最终无法掌握到概念的本质属性。另外，在概念的例子中，概念的本质属性都是一样的，因此倘若要对其本质特征进行掌握，单单从原型的标准特征出发是完全不够的。因此，在初中数学的教学过程中，除了要对正例变式进行运用以外，还需积极对反例变式进行运用。比方说，针对“若a2 =b2，则a=b。”这一命题是否正确？如不正确请举例说明这一题目，老师可指导学生从a2与a的关系入手进行判断，进而对其本质特征和非本质特征进行区分和了解，然后就可举出反例了。

4.对对象的存在背景进行改变。一般而言，在数学教学过程中，对对象的存在背景进行改变可帮助学生对知识点有更深入的了解。此种方法主要表现在关键词以及相似情景的变换上。比方说，在对双曲线以及椭圆的相关概念进行学习时，老师可指导学生对概念的关键变化词进行捕捉，通过椭圆背景和圆的背景的替换让学生对知识点有更深层次的了解和掌握。

综上所述，在初中数学教学课堂中，对变式教学进行巧妙运用可使学生学习数学的积极性得到有效提升，不论是在理论层面，还是在实践层面，都是有积极意义的。运用变式教学，一方面可使学生思考问题的能力以及解决问题的能力得到提升，另一方面还可使他们拥有积极创新、勇于挑战的精神，而这，正是新课改背景下初中数学课堂的教学目标。

参考文献：

[1]严昌宝.变式教学在初中数学中的运用与思考[J].新课程学习（上）.2011（07）.

[2]蔡建华.变式教学在数学课堂中的运用[J].福建中学数学.2006.

第13篇：让变式教学贯穿数学课堂始终

让变式教学贯穿数学课堂始终

——“一元一次不等式组”教学例谈

周林祥 浙江省象山县丹城中学 邮编 315700

数学家波利亚说过：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目,还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面,在指导学生解题的过程中,提高他们的才智与推理能力.”波利亚的这一思想与我国的变式教学思想不谋而合.所谓变式教学是指在教学中用不同形式的直观材料或事物说明事物的本质属性,或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征.变式教学可以使学生对问题解决过程及问题本身的结构有一个清晰的认识,能使学生深刻理解概念、定理、公式的本质特征,也能有效地帮助学生积累解决问题的经验和提高解决问题的能力.因此变式教学是提高课堂效率的有效途径,是一种行之有效的教学方式.现以“一元一次不等式组”（第一课时）教学为例说明,谈谈在数学课堂教学中贯穿变式教学的一些做法,以供大家参考.

一、变式情景 引入新课

著名的教育心理学家奥苏泊尔说过：“假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，那么我将一言蔽之：影响学习的最重要的因素就是学生已经知道了什么,要探明这一点,并就此进行教学.”此语表明,学生已有的知识经验基础是教学的起点.为此,教师在引入新课时,要紧密联系学生的实际,从学生的生活经验和已有知识出发,创设有助于学生“再创造”的问题情景.通过问题情景的变式,把“少年‘拴’在你的思路上,引着他们通过一个个阶梯走向知识”（苏霍姆林斯基语），继而发展学生的能力.课前发给学生一张活动广告：《百万浙江人游象山》

师：刚才同学们看到的是象山县为积极应对全球经济危机,贯彻落实“国民休闲计划”,为了吸引更多的游客来象山旅游,象山县风景旅游管理局隆重推出“百万浙江人游象山”活动,其中一条活动细则是凭活动券购买门票可享受市价的3～8折优惠,我们看到松兰山度假区门票原价10元,现价5元.下面请大家看一个问题：

双休日,小明一家人来象山松兰山度假区旅游.小明爸爸给了小明40元去买门票,小明递上钱说：“阿姨,买票.”结果售票员阿姨点了一下小明一家人数说:“你

的钱不够”.你能确定小明一家人数的范围吗? 生:若设小明一家有x人,则可以列出不等式10x40,解不等式得x4,即小明一家人数超过4人.师：很好！同学们,其实,现实世界中存在着大量不等关系,不等式是刻画现实世界的有效模型.请大家看下一个问题: 当售票员阿姨说钱不够时,小明忽然想起他有活动券,马上递给售票员,阿姨说:“嗨,这下我要找给你钱啰！”同学们,你们能根据刚才及上面的对话,确定小明一家人数的范围吗？

生:若设小明一家有x人,则可以列出两个不等式10x40和5x40.师:对!根据题中的不等关系,我们可以列出关于x的两个不等式.

二、类比概念 形成新知

在概念的教学中,可以通过“举三反一”,让学生自己去“发现”、去“归纳”事物的本质特征,并类比已学过的某些方面相似的概念下定义,得出新概念.师:下面请大家来观察刚才得到的两个不等式,说说它们有什么特征呢？ 生1:它们都是一元一次不等式.生2:它们含有同一个未知数，未知数的次数是1.生3:x必须同时要满足两个不等式.师:很好！这两个是我们前面学过的一元一次不等式,这里的x必须同时满足两个不等式,那么在书写上如何来体现它们的相关性呢？

生:用大括号“”.师:很好!你是怎么想到的呢？

生:因为我们学过用大括号来表示两个二元一次方程的相关性,所以我想可以用大括号来表示两个一元一次不等式的相关性.师:对!我们可以运用类比思想方法来研究新问题.类似方程组,把这两个不等

10x40式合起来,就组成了一元一次不等式组,记作.这就是我们今天这节课所要

5x40学习的内容：一元一次不等式组（出示课题）

师:下面请你判断下列哪些是一元一次不等式组？

x10x2xx23x2a71① ②③ ④ x10⑤2x87x5

3a30y1x1x32x12（学生逐一判定,并说明理由,但学生对④⑤是不等式组认识不清,教师作出解释）

师:对于一元一次不等式组,它可以由一个未知数同时满足几个一元一次不等式组成的不等式组.（通过变式辨析使学生对概念有更加深刻的理解,让学生既知其然,又知其所以然）

三、变式方法 掌握解法

在问题的解决教学中,教师应积极地引导学生从各种途径,用多种方法思考问题,把握知识的内在联系,培养学生思维的广阔性与灵活性.师:大家知道什么是二元一次方程的解?什么是二元一次方程组的解? 生:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解；二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.师:很好!让我们回到刚才确定小明家人数范围问题,你们能求出不等式组10x40中每个一元一次不等式的解集吗? 5x40生:它们的解集分别是x4和x8.师:那么我们怎样来确定不等式组中x的可取值的范围呢? 生:我们可以类比方程组的解，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组中x可以取值的范围.因为既满足不等式x4,又要满足不等式x8，所以x可以取值的范围可以表示为4x8.师:大家同意他的观点吗? 生:同意!(齐声回答) 师:我也同意他的观点!类比思想是一种重要的数学思想方法,是同学们以后学习新知识中经常会遇到的,希望大家引起重视.但数学研究的对象是数和形,华罗庚先生说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微.” 那么我们还可以有什么方法来确定不等式组中两个不等式解集的公共部分呢？

生:利用数轴,把一元一次不等式的解集在数轴上表示出来.师:如果我们分别在两条数轴上表示这两个一元一次不等式的解集,你看怎么样?

生:不好确定，但可以把它们叠放在一起.师:(教师演示)那么我们能不能把这两个一元一次不等式的解集在一条数轴上表示呢？

生:能!（学生动手画数轴，并把两个一元一次不等式的解集表示在数轴上） 师:你们在数轴上能找出两个一元一次不等式的解集的公共部分吗？ 生:两线之间的那一段,不包括线段的两个端点. 048（教师借助多媒体,使这一线段闪烁,同时用阴影区域来凸现它们的公共部分）

师:如何用式子表示两个一元一次不等式的解集的公共部分呢？ 生:可以表示为4x8.师:这个不等式组中x的可取值范围表示为4x8.我们运用数形结合的思想,可以直观找出两个一元一次不等式的解集的公共部分.一般地,几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集.解不等式组就是求它的解集.师:现在让我们回到刚才问的题,可以确定小明一家人数范围吗? 生:小明一家人数多于4人少于8人.师:如果把问题改为小明一家来了几人呢? 生:因为人数是整数,又要满足上述条件,所以小明一家来了5人或6人或7人.师:这里第二个问题其实要求大家求不等式组的整数解,不等式组的整数解在实际应用中很广泛,希望引起大家重视.

四、变式题型 探究规律

在数学教学中,对一个数学问题进行推广、变式,可以得到一系列新的问题,甚至得到更一般的结论.积极开展各种变式,有助于学生应变能力的提高.

x4师:刚才我们利用数轴求出不等式组x8的解集是4x8,那么不等式组1xx2和2x3x2的解集又是什么呢？你从中能发现什么规律吗？

生:不等式组x2x3的解集是2x3；

-2311x不等式组2的解集是x2.

2x20122我发现两个不等式的解集分别是大于一个较小的数、小于一个较大的数,不等式组的解集是这两个数之间的数.

10x40师:很好！如果改变不等式组中不等号的方向,我们又可以得到几个新

5x40不等式组呢？

10x4010x40生:可以得到三个不等式组、5x405x4010x40、5x40.师:你能利用数轴求出不等式组10x405x40的解集吗？

（学生在数轴上表示出各不等式组的解集，再小组讨论确定解集）

10x40x4生:不等式组可化为, 5x40x8不等式组的解集为x8.师:若不等式组为x2x3048,则它的解集又是什么呢? 你又能发现什么规律吗? x2生:不等式组x3的解集是x3.我发现两个不等式的解集分别都大于某些数时,则不等式组的解集是大于较大的数.师:那么不等式组10x405x40、10x405x40的解集分别什么呢？

生:不等式组10x405x4010x405x40的解集是x4,

048不等式组中两个不等式的解集

048没有公共部分，不等式组无解.

我发现两个不等式的解集分别都小于某些数时,则不等式组的解集是小于较小的数；两个不等式的解集分别是大于某个较大数、小于某个较小数,则不等式组无解.师:从刚才探究过程中,你能归纳出一元一次不等式组的解集共有几种类型？你能把一元一次不等式组的解的规律总结成朗朗上口的口诀? （学生很快答出有四种类型,但总结的口诀五花八门,整个课堂充满了活跃的气氛） 最后教师总结“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”.师:刚才我们从具体的例子归纳出求不等式组的解集的口诀,那么现在老师来检验一下大家是否能运用这一口诀,请看题：如果 ab,则下列不等式组

①xaxb， ②xaxb，③xaxb，④xaxb的解集分别是什么呢？

生:①xb， ②xa，③axb，④无解.师:很好!其实这道题也是口诀（文字语言）的符号表示方法,即符号语言,而在数轴上表示,则是图形语言,相比之下图形语言比较直观形象.这道题与前面几题相比具有一般性,数学学习往往从特殊到一般,从具体到抽象.我们虽然发现了不等式组的解集确定的规律,但目前应习惯于用数轴来解题,这是解不等式组的基础.

五、变式例题 强化应用

在数学教学中,注重对例题进行变式教学,不但可以落实“双基”,还可以激发兴趣,培养学生的探究能力和创新意识.但若例题变式间潜在的距离太远,学生会“断了念头”；距离太近,又吊不起学生“胃口”.因此,在设计变式问题时,应立足于学生实际,把握好前后知识之间的潜在距离,通过富有层次性、探究性的问题系列,让学生真正能“跳起来摘到桃子吃.”

师:我们已初步学会利用数轴确定一元一次不等式组的解集,下面我们来解稍复杂些的一元一次不等式组.例1 解下列不等式组：

2x3x112x1x1（1） （2）2x5

12xx84x13(学生自己动手解答,教师巡视并辅导,同时也强调书写格式) 师:你能总结出解一元一次不等式组的解题步骤吗？

生:先求出不等式组中各个不等式的解集;再利用数轴,找出这些不等式解集的公共部分,也就是求出不等式组的解集.生:先求出不等式组中各个不等式的解集,再利用不等式组解的规律来求解.师:你能通过改变不等式组2x1x1x84x1中的不等号使得新不等式组无解吗？

生:只能将不等式组改为xa02x1x1x84x1.师:若不等式组x84x1,请大家解答下列问题: （1）当a=5时,不等式组的解集是 ；当a=3时,不等式组的解集是 ；当a=-1时,不等式组的解集是 .（2）若不等式组无解,则a的取值范围是 .（3）由以上可知,不等式组的解集是随a的变化而变化,当a是有理数时,写出不等式组的解集.(学生解答,教师点评并讲解)

六、课堂小结

师:这节课经历哪些过程?你学到了什么知识?在学习过程中感受到了哪些数学思想方法? 生:这节课我学到了一元一次不等式组及其解集的概念、一元一次不等式组的解法. 生:这节课我感受到类比、数形结合、分类讨论、特殊到一般的数学思想方法.在课堂教学中贯穿变式教学,可以充分展示数学知识发生、发展和应用的过程,能开拓学生的视野,激发学生的思维,增强应变能力,有助于培养学生的探索精神和创新意识.

参考文献

曹贤鸣.变式教学应服务于课堂教学目标[J].数学通报,2008,7

第14篇：1变式教学与高三数学复习

变式教学与高三数学复习

洪秀满

【原文出处】《中学数学》（江苏），1995.10.（10～12） 【作者简介】 洪秀满，浙江省仙居中学（317000）

我们知道，在高三数学复习课中，例题教学是一个重要环节，要使学生在解题中，广开思路，掌握规律，还要培养学生的多维性思维、分析问题和解决问题的能力，若仅仅满足一题一得往往是不够的。因此，能否充分发挥例题教学的作用，将直接影响复习课的效果。

如何充分发挥例题教学的作用呢？笔者在长期的教学实践中体会到，运用变式教学是普遍有效而易行的重要途径。所谓变式，就是不断变更概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的形式或内容，配置实际应用的各种环境，而概念或问题的本质不变。简言之，就是在变化中求不变，万变不离其宗，使得学生从中获得再认识，并提高识别、应变、概括等能力，培养学生的思维品质。下面谈谈如何运用变式进行高三复习课中的例题教学。

一、运用“一题多解”，培养思维的发散性

一题多解的实质是解题或证明公式、定理的变式。因为它们是以不同的论正方式反映条件和结论间的同一必然的本质联系。运用这种变式教学，可以引导学生对同一来源材料可从不同的角度、不同的方位思考问题，探求不同的解答方案。课本中有许多题目，由于当时所学知识和教学进度的局限性，不可能都用多种方法去研讨其解法。因此，在高三复习时，回过头来做这些题目，往往有多种做法，有的甚至比以前解法来得更加简捷明快。凡课本的例、习题能做到一题多解的尽量给学生以尝试的机会 。

例如《解几》P111第8题：过抛物线y22px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两交点的纵坐标分别为y

1、y2，求证：y1y2p2。

分析：设过抛物线y2px的焦点F(2p,0)的直线l与抛物线交于两点A(x1,y1)、2B(x2,y2)，下面引导学生从不同角度进行证明：

思路一： （ⅰ）当l与x轴不垂直，设l的方程为：yk(x消去x得：ky2pykp0，即有：y1y2p；

2（ⅱ）若lx轴时，显然有y1p，y2p， ∴y1y2p． 222p)，代入y22px，2思路二： （ⅰ）若l与x轴不垂直，由A、F、B三点共线，即可推得：y1y2p．

（ⅱ）若lx轴（同法一）

2思路三：如图，自A,B分别作准线m的垂线AA,BB，A,B分别是垂足；由抛物线|AB||AF||BF||AA||BB|，定义可知：将A、B、F的坐标代入，并化简整理得：y1y2p2．

2y12y2 思路四： 设A(,y1)、B(,y2)，F分AB的比为，2p2p2y12y22pp2p2则12，消去得：y1y2p． yy210134，|BB||BF|故有12，思路五： 如图4，由抛物线定义|AA||AF|，又AA//BB，∴56，而522，623，则23即AFB2，2．在RtAFB中，有|AN||BN||FN|,

2即|y1||y2|p2，而y1与y2必异号，∴y1y2p2．

由于教学进度的局限性，此题当时只能用上述这五种方法 解之，其中有几种方法还需要讨论直线l与x轴的关系，而学生 却往往忽视这一点。如果复习阶段再回过头来解答此题，学生 自然会运用直线的参数方程、极坐标等知识解之。

pxtcosp思路六： 设过焦点F(,0)的直线l参数方程为（t为参数）， 22ytsin代入：y2px，化简得：tsin2222ptcosp20。

p2设此方程的两个根为t

1、t2，则有t1t2，再由方程可知：y1t1sin，

sin2p222sin。 y2t2sin；∴y1y2(t1t2)sinp2sin2思路七：以F为极点，FX为极轴，建立极坐标系，则抛物线y2px的极坐标方程为2p。

1cos设弦的一个端点坐标为(1,)，则另一个端点的坐标为(2,)； ∴y1y2(1sin)(2sin)pp(sin2)p2。

1cos1cos这样一来，既复习了直线参数方程、极坐标等知识，同时，又能提高学生的解题能力，促进知识间的联系。

二、运用“一题多变”，培养思维的灵活性

一题多变是题目结构的变式，指变换题目条件或结论，变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同的角度、不同的方位指向题目的实质。用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思考，迅速想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。

例如在《解几》中复习最值，教学时可选用课本P126第22题作为原命题，加以变换、拓广。

原题：求抛物线yx2上到直线y2x4的距离最小的点的坐标，并求出这个距离． 复习时，在引导学生作出多种解答的基础上，常可作如下的分析、变换：

变换一：若将原题中的抛物线方程“yx2”换为其它二次曲线，就得到如下一类问题：求二次曲线上的动点到定直线的距离的最值．

譬如：已知直线l：2x3y20，点B在椭圆(x2)24y24上运动，求B点到l的距离d的最大值，并求此时的B点坐标。

再如：如果将原题中的抛物线方程“yx”换为“y4x”，就得到87年的全国高考数学理科试题二（5）。

变换二：若将“变换一”中定直线换为定圆（包括点圆），可得另一类最值问题：求分别在二次曲线和定圆（包括点圆），上两点间的距离的最值．

22x2y2421上移动，点Q在以点M(1,0)为圆心，例如：点P在椭圆为半径的25163圆上移动，当点P位于P，点Q位于Q时，P、Q两点距离最近，记最近距离为d，求d及点P、Q的坐标。（92年浙江省高中证书会考试题）

变换三：若将“变换二”中的条件与结论对调，又可得如下一类问题：设M点在直线

N（待定）或圆（包括点圆）上运动，在一个含有某未知因素的二次曲线上运动，且已知|MN|的最大值或最小值，求N点的坐标及此二次曲线的方程． 例如，设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e33，已知点P(0,），到

22这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标．（90年全国高考数学试题（文、理））

象这样将题目演变、拓广，使题目由一道题变成一类题，再由一类题变成多类题，这无疑能提高学生举一反三，触类旁通的能力。使之达到熟一类、通一类，甚至通几类。

三、运用“一式变用”，培养思维的深刻性

一式变用是指对一个公式的变式应用。数学中时常会遇到一些重要公式，而对它们的推导以及引导学生进行应用，这些工作教学时都会做到。但如何变换公式的形式或结论，挖掘潜在的意义进行应用，这就未必都能做到。因此，在高三复习时，教师要有意识地引导学生对一些重要公式进行变用，挖掘潜在的几何意义，使之不迷恋于表面现象，而是透表求里，从而培养思维的深刻性。

例如：在《解几》中，

|ax0by0c|ab22表示点M(x0,y0)到直线l：axbyc0的距离公式。高三复习时，笔者常作以下三种变用，使对

于求解一类不等式和变量取值范围，常能收到形象直观、驭繁为简的效果。

变用一：|ax0by0c|a2b222x0y0

（Ⅰ）

其几何意义：是过原点的直线l外的任一点到该直线 的距离不大于这点到原点的距离。如图

22将关系式（Ⅰ）两边平方，即得柯西不等式：(ax0by0)2(a2b2)(x0y0)

这是一道应用广泛且重要的著名不等式——柯西不等式。

b是两个实数，A(x,y)|xn,ynab,n，B(x,y)|xm, 例1．设a、y3m215,m，C(x,y)|x2y2144，是平面xoy内的点的集合，讨论是否存在a和b，使得（1）AB；（2(a,b)C同时成立？（85年高考数学试题）

解：如果存在实数a和b使得（1）和（2）同时成立，则方程 3x15axb 应有整数解。

考察点(x,1)到直线axby0的距离关系及ab144，有

222|axb|a2b2x21212x21，

又∵axb3x2150

∴ 3x21512x21，化简得：x6x90，即(x23)20； ∴x3，这与x为整数相矛盾。

故不存在实数a和b使得（1）和（2）同时成立。 变用二：

42|ax0by0c|a2b2(xx0)2(yy0)2（Ⅱ）

其几何意义：不过原点的直线l外的任一点到该 直线l上各点的斜线和垂线中，以垂线最短。如图

根据图形直观，不难看出，和点M不在直线l同一侧的点及直线l上点P的坐标(x,y)都满足不等式（Ⅱ）。

例2.若x2y20，求函数zx2y22x4y的最小值。 解：由所给的函数关系可得：z5(x1)2(y2)2 显然，点(1,2)在直线x2y20的下方，而坐标满足

x2y20的点(x,y)都在直线x2y20上及上方

22区域，由公式（Ⅱ），有(x1)(y5)|142|5，

494924，即z5，∴z； 555242

2故函数zxy2x4y的最小值为。

5于是(x1)(y2)22变用三：若R是一个正的常数，则

|ax0by0c|ab22小于R、等于R、大于R分别表示直线axbyc0与定圆(xx0)2(yy0)2R2相交、相切、相离的位置关系。

例3.求证：方程 asinbcosc0[0.2) （ⅰ）当abc时，有两个相异实根； （ⅱ）当abc时，有唯一实根； （ⅲ）当abc时，无实根。 222222222分析：令xsin，ycos，则方程asinbcosc0在[0.2)内有根的情况等价于直线axbyc0和圆x2y21有无公共点的情况，所以当原点O(0,0)到直线axbyc0和圆x2y21有无公共点的情况，所以当原点O(0,0)到直线axbyc0的距离依次小于、等于、大于1时，该方程分别有两相异实根、有唯一实根和无实根，即

当|a0b0c|a2b2222也就是当abc时，a2b2sin2cos21时，原方程有两相异实根。

当|a0b0c|a2b2a2b2sin2cos21时，即当a2b2c2时，原方程有唯一实根。

当|a0b0c|a2b2a2b2sin2cos21时，即当a2b2c2时，原方程无实根。

教学实践表明：在高三数学复习课例题教学中，实施变式教学，对调动学生学习的积极性，激发他们求知欲望，活跃课堂气氛，培养能力都具有良好的作用。

原载《中学数学》（江苏），1995.10.（10～12）

第15篇：应用变式教学提高数学课堂有效性

应用变式教学提高数学课堂有效性

东莞 蔡瑞卿

【摘 要】在数学教学中，恰当合理的变式能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，能开拓学生的视野，激发学生的思维，有助于培养学生的探索精神与创新意识。文章探讨了变式教学的含义及作用，并介绍了如何应用变式教学提高数学课堂效率及在应用变式教学时需注意的问题。

【关键词】变式教学 提高 有效性 实践

著名心理学家和教育学家布卢姆说：“有效的教学始于准确地知道需要达到的目标是什么。”因此教学目标是课堂教学的灵魂。变式教学符合学生的认知规律，通过对变式教学，使得课堂教学始终围绕着教学目标有层次的推进，为学生提供一个求异、思变的空间，让学生把学到的概念、公式、定理、法则等运用到各种情况中去，使基础知识、基本技能、基本方法和基本思想，在题组中重复出现，又向提高和深化推进，使学生灵活多变的思维品质，数学素养得到有效培养。

1 变式与数学变式教学

1.1 对变式教学的理解

“变式”，《中国教育百科全书》中说：“变式”--掌握概念的方法之一；是从各个不同的角度抓住事物的主要特殊属性，概括出事物的一般属性的思维方式。那么什么是变式教学？在教学中，变式教学指从一道题目出发，通过改变题目的条件、问题或改变题目设计的情景，重新进行讨论的一种教学方法；也可以是指对例习题进行变通推广，重新认识。

1.2 数学变式教学

所谓数学变式教学就是将数学中各种知识点有效地结合起来，从最简单的命题入手，不断交换问题的条件和结论，层层推进，从不断的变化中寻找数学的规律和本质。数学变式教学可以充分调动和展示学生的思维过程，让学生积极大胆地参加教学的全过程，通过对数学问题多角度、多层次、多方位的讨论和思考，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索出“变”的规律，从而培养学生大胆参与、勇于探索、敢于创新的精神。

2 变式教学的理论基础

2.1 马登变异理论

学习就是鉴别，鉴别依赖于对差异的认识，教师应当通过变异维数的扩展引导学生去认识对象的各个方面。变式教学是利用变式的方式进行教学，这一系列的变式就构成了一个变异空间，引导学生积极思考，主动探索，体会变式所要反映的实质意义，这就产生了学习。通过变式教学，在教学过程中指导学生体验和辨别学习对象的关键方面，构建适当的变异空间，这对学生的学习是至关重要的。

2.2 建构主义的学习理论

建构主义认为知识不是通过教师传授得到，而是学生主动建构获得的。学生以自己原有的知识经验为基础，对外部信息进行主动地选择、加工和处理，建构自己的理解。教师通过变式教学引导学生建构事物的本质属性，成为主动的信息加工者。通过变式教学，提供一定的学习情境，提出能激发学生思考的问题，创设平等自由的学习气氛，开展师生、生生之间的交流与合作学习；通过变式教学，指导学生不断思考，不断对各种信息进行加工和转换，进行归纳总结，发现各种变式的实质联系，培养学生的观察、分析和概括的能力；通过变式教学，一题多解，一法多用，鼓励学生自己变题，在问题解决的过程中使学生对概念、原理形成深刻理解，建立良好的知识结构。

2.3 脚手架理论

在教育活动中，学生可以凭借由父母、教师、同伴以及他人提供的辅助物完成原本自己无法独立完成的任务。随着学生的能力逐步提升，一旦学生能独立完成任务，这种辅助物“脚手架”就会被逐渐撤离。设置脚手架的目的是为了促进儿童智力的发展、思维能力的发展、创造力及批判精神的发展，最终使儿童成为有创造性思维的开拓者、探索者和学习者，而不仅仅是掌握和储备现成知识。在变式教学的角度看，在学生的最近发展区域中以学生熟悉的问题或背景为起点、以需要解决的问题为指向设置“脚手架”，帮助学生从已有水平向潜在水平跨越，在问题解决的过程中不断积累经验，推动学生智力的发展。

3 变式教学是提高数学课堂教学效果的有效途径

3.1 巧用变式教学让学生掌握概念的本质

数学概念是数学知识的载体。理解和应用数学概念要求对概念内容有较深刻的理性认识，能够解释、举例、变形、推断、否定并能利用概念解决相应问题。而变式兼具解释、举例、变形、推断等多种功能。利用变式教学能有效地让学生掌握概念的本质。比如在学习奇偶函数的定义后，可以如下变式，加以理解。

例1：对于奇函数定义式：f(x)f(x)，有： 变式1: f(x)f(x)0; 变式2：f(x)f(x)1(f(x)0)。

对于偶函数变式：f(x)f(x)，也有： 变式1：f(x)f(x)0 变式2：f(x)f(x)1(f(x)0)

f(x)loga(xx1)的奇偶性十分方便。

2可以利用上述变式判断某些函数，判断函数例如又如周期性概念，概念本身并不难理解，判断正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性也比较简单，但如果进一步分析：具备哪些条件的函数具有周期性，它与函数的奇偶性、对称性又有何关系？这就让很多学生都会感到棘手。但若在讲函数的周期性时能逐层递进地利用变式条件，则这些难题就能迎刃而解，并且使学生进一步加深概念的理解和提高应用概念解题的能力。

例2：若f(x)是定义在R上的函数并且满足下列条件之一，则f(x)是否为周期函数：①f(xa)f(x)；②f(xa)1f(x)；③f(x2)[1f(x)]1f(x)；④f(x)是偶函数且

对称；⑥f(x)是奇函数且图象关于直线xa(a0)对称；⑦f(x)是偶函数且图象关于直线(a,0)(a0)对称；⑧f(x)是偶函数且图象关于直线xa(a0)对称；⑨偶函数f(x)对任意实数t，总有f(1t)f(1t)；⑩函数f(x)对任意正实数a，总有f(x)f(xa)f(xa)。 f(x4)f(x)f(2)；⑤f(x)是奇函数且图象关于点(a,0)(a0)3.2 善用变式教学培养学生的思维

在学习定理、公式的教学过程中，运用变式教学可以明确定理、公式的条件，结论和适用范围，注意事项等关键之处，让学生深入理解定理、公式的本质，从而培养学生严密的逻辑推理能力和正确演算能力。例如针对均值不等式的应用条件，讲述均值不等式定理时，我们可以设置如下题组： 例3：1.求函数yx4x(x0)的最值，并求此时x的值。

2.求函数y3.求函数y4.已知05.已知0sinx44sinx(0x)的最值，并求此时x的值。

xx2(x2)的最值，并求此时x的值。

的值。 x1，求函数yx(1x)的最值，并求此时xx12，求函数yx(12x)的最值，并求此时x的值。

xy3，求xy4y1，求xy6.已知正实数x,y满足条件xy7.已知正实数x,y满足条件

1x的取值范围。

的取值范围。

以上设置的题组充分体现了均值不等式“一正二定三相等”的条件，通过正反两个方面帮助学生理解条件的重要性：没条件的怎样创造条件?为什么只做了细微的改变却不能再用定理了？在强烈的对比中学生增进了对应用条件的认识，而且此过程也让他们感到轻松和愉悦。

又如在学习函数的图象与性质时，可以通过教材中的例题或练习设计如下变式题组。例4：画出函数yx5x62的图象，并根据图象说出函数yf(x)的单调区间，指出在各单调区间上函数

（高中《数学（人教版）》新教材（必修1）39页习题1.3A组第1题）。 yf(x)是增函数还是减函数。变式1：画出函数y|x5x6|2的图象，并根据图象说出函数yf(x)的单调区间，判断在各单调区间上函数yf(x)是增函数还是减函数。

变式2：画出函数yx5|x|6的图象，并根据图象说出函数yf(x)的单调区间，判断在各

2单调区间上函数yf(x)是增函数还是减函数。

变式3：求函数y变式4：求函数yx5|x|6在区间[3,5]上的最值。 2log2(x5x6)单调区间。

2以上变式题组体现了由易到难的层次性，方法上体现了数形结合和化归的数学思想，可以起到“举一反三”、“多题一解”的效果，可以提高学生的学习兴趣和思维能力。

3.3 利用变式教学使学生掌握解题方法的多样性和灵活性

对于解题方法而言，当从某角度难以入手时，换一个角度常常会有新的发现。角度的灵活多变，各种不同思路，不同方法的分析比较，是形成创新能力和创新意识的源泉。在学习过程中，学生容易形成思维定势，套用固定的解题模式，在解答问题中常感到“无处下手”。因此，在数学教学中要精选那些可用多种思路完成的典型题，便于学生不拘常规，勇于创新，找到更多“思维点”，寻求更多解决问题的办法和途径以此来充分挖掘学生潜力。

例5：若直线Axayb1通过点M(cos,sin)，则（ ）

.1a2.a2b1 B2.a2b1 C2.

1a2x1b21D1b21

解：（1）（几何意义）由题意知直线直线的距离不大于圆的半径1，即1a2ayb1与单位圆xy1有公共点，于是圆心O(0,0)到

2211b21，将其变形得

1a21b21。

（2）（平面向量）由题意有

cosasinb1b21，设向量m(cos,sin)，n(cos,sin)，由

cossinmn|m||n|得1ab1a2，即

1a21b21 sinb)(cossin)(222（3）（柯西不等式）直接运用柯西不等式得11a2(cosa1a21b)

1b2

cosasinb1，两边平方可得（4）（先平方后配方）由题意知1sina1a2cosa22sinb222sincosab1

221cosbsina222sincosab)11

21

1b2(cosb（5）（先裂项后配方）因为点M(cos,sin)在函数(cosa1a2xayb1的图象上，所以

cosasinb1。

sinb)22cosa222sinb2222sincosab21

2221b2cossina22cossinb12cosa2sinb22sina22cosb22

cosasinb22sincosab

本题解题方法较多，思维量也较大，可从不同角度考查学生的知识掌握程度，能促进学生思维的灵活性。

3.4 通过题目的变式培养学生的探究和创新能力

题目变式包括对例题的条件增加，减少或变更的探究，对结论的探究和命题是否可以引申的探究。因此在对题目进行变式时要反复推敲，字斟句酌，要围绕教材重点、难点展开变式，防止脱离中心，要注意审时度势，因材而异，防止任意拔高乱加扩充。通过题目变式来使学生掌握一类题的解法，从而锻炼学生探究创新能力以及灵活多变的思维能力。例如在讲授函数的单调性之后，对于“求二次函数在闭区间上的最大(小)值”这一课题，可以进行下面的变式： 例6：(1)设(2)设(3)设(4)设f(x)x2x2,x[2,2]2，求f(x)的最大值和最小值。

f(x)x2x22，若f(x)在区间[2,t](t2)上的最大值记为g(t)，求g(t)的表达式。 ，若f(x)在区间[t,t1]上的最小值记为g(t)，求g(t)的表达式。 ，若f(x)在区间[2,1]上的最小值记为g(x)，求g(x)的表达式。 f(x)x2x222f(x)x2ax2这个题组是有关一元二次函数的最值问题。解决这类问题的关键是要让学生结合一元二次函数的图像，弄清楚函数的对称轴与给定区间之间的相对位置关系。第1题是一道具体的一元二次函数在确定区间上的最值问题，结合函数的图像，学生比较容易解决。第2题是一道“定对称轴、动区间(定一个端点，动一个端点)”的二次函数的最值问题，显然f(x)在区间[2,t]上的最小值与t有关，需讨论二次函数的图象在顶点处的横坐标x1与[2,t]区间的关系，分三种情形：①2t1；②1t4；③t4来讨论，从而求出的g(t)表达式。第3题是一道“定对称轴、动区间(两个端点都在变化，但

1区间长度是一个定值)”的二次函数的最值问题，需讨论二次函数的图象在顶点处的横坐标x

与区

间[t,t1]的关系，分三种情形：①t11；②t1t1；③t1来讨论，从而求出的g(t)表达式。第4题是一道“定区间、动对称轴”的二次函数的最值问题，要根据二次函数的图像在顶点处的横坐标xa与区间[2,1]的关系来求解，分三种情形：①a2；②2a1；③a1来讨论，从而求出的g(x)表达式。通过前面4个例题的讲授，让学生较全面地掌握如何求二次函数在闭区间上的最值问题。

4 数学变式教学应注意的问题 4.1 目的性

变式并不是因为“变”而变，而是基于一定的教学目的，要把什么变，怎么变，变了以后会有什么结果的问题要想清楚，让变式真正为教学服务，而不是形式上的热闹。数学变式教学的最终目的是多方面提高学生数学思维品质。因此，教师要思考变式的价值，在课堂教学中教师应该给学生提供更多的思考与合作交流的机会，创造有利于学生思考问题的宽松的课堂气氛，指导学生自己尝试着进行变式练习，鼓励学生大胆地质疑，尽可能把学习的主动权交给学生。

4.2 实践性

变式教学中教师不能包办代替，要让学生主动探索，让学生寻找结论，共同参与，并且还要鼓励学生自己大胆地“变”，培养学生创新意识和创新精神，让学生真正成为课堂中的主体。

4.3 层次性

变式要体现层次性，每一次的变式都是在原有基础上的提高，要让学生感到有一定的挑战性，能充分地激发学生的兴趣，调动学生的思维，体现知识的螺旋式上升，有助于培养学生的思维能力。

4.4 合理性

教学的成功并不取决于应用的数量，而在于应用是否具有典型性。我们提倡开展变式训练，并不是说所有的教学内容都要求进行变式，要特别注意把握好“度”，要克服单纯地为了变式而变式，要避免给学生造成过重的学习和心理负担。

4.5 要充分利用教材，精心选择课本上的例题、习题

变式教学的起点一般源于课本上的例题、习题，做到源于教材又高于教材，不脱离教材，不脱离学生的实际地进行挖掘，深、难度适中，否则将会加重学生的学习负担，产生厌学情绪，不利于成绩的提高。

【参考文献】

[1]张念宏．中国教育百科全书[M]．北京t海洋出版社，1991．

[2]中华人民共和国教育部，数学课程标准[M]．北京：北京师范大学出版社，2001．7． [3]鲍建生，黄荣金，易岐峰，顾泠沅．变式教学研究[J]．数学教学，2003(1)(2)(3)． [4]郑毓信．变式理论的必要发展[J]．中学数学月刊，2006(1)．

[5]曾祥春，杨心德，钟福明．变式练习的心理机制与教学设计[J]．教育探索，2006(8)． [6]黄坪．关于变题策略和变题技巧[J]．数学教学，2000(1)．

第16篇：初中数学教学中的变式训练教学

初中数学教学中的变式训练教学

摘要：所谓数学变式训练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变。数学教学，使学生理解知识仅仅是一个方面，更主要的是要培养学生的思维能力，掌握数学的思想和方法。

关键词：数学课堂；变式训练；方法；思维品质

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2015）07-0227-01

变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从\"变\"的现象中发现\"不变\"的本质，从\"不变\"的本质中探究 \"变\"的规律的一种教学方式。数学变式教学是通过一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，对引导学生主动学习，掌握数学\"双基\"，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，提高数学学习的能力都具有很好的积极作用。

1.变式训练的方法

1.1类比变式。初中数学具有一定的抽象性，许多数学概念概括性比较强，学生理解非常困难；有些知识包含了隐性内容，有仅仅依靠老师的情景创设和知识讲解学生可能无法全面理解数学的内涵的，所以需要运用更加丰富的教学手段帮助学生理解数学知识。

例如在学习\"分式的意义\"时，一个分式的值为零是包含两层含义：（1）分式的分子为零，（2）分母不为零。因此，如果仅有\"当x为何值时分式 的值为零\"，此类简单模仿性的问题，学生对\"分子为零且分母不为零\"这个条件还是很不清晰的，考虑\"分母不为零\" 意识还不会很强。但如果以下的变形训练，通过分子，分母的不同差别，来体现分式的值为0，通过以上的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此，数学变式教学有助于养成学生深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系。

1.2模仿变式。数学方法是数学学习的一个重要内容，而这些数学方法的掌握往往需要通过适当改变问题的背景或者提问方式，通过模仿训练来熟悉。所以，在教学中通过精心设计变式问题，或挖掘教材自身的资源可以更快地帮助学生熟悉数学的基本方法。

1.3阶梯变式。初中数学内容的形式化趋势比较明显，而学生的对形式化的数学知识理解普遍感到困难，对某些规律的形式化的归纳往往更是无从下手，所以，适当地从学生的实际出发，设计变式教学环节，让学生从变式问题中\"变化量\"的相互关系中，帮助学生总结数学规律。

1.4拓展变式。数学知识之间的联系往往不是十分明显，经常隐藏于例题或习题之中，教学中如果重视对课本例题和习题的\"改装\"或引申，进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题进行拓展，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于学生知识的建构。

1.5背景变式。在解题教学的思维训练中，通过改变问题背景进行变式训练是一种很有效的方法。通过从不同角度去改变题目，通过解题后的反思，归纳出同一类问题的解题思维的形成过程与方法的采用，通过改变条件，可以让学生对满足不同条件的情况作出正确的分析，通过改变结论等培养学生推理、探索的思维能力，使学生的思维更加灵活性和严密性。

2.利用变式训练培养学生良好的思维品质

众所周知，发展智力，培养能力的关键是培养学生良好的思维品质，而运用变式手法恰好是训练和培养学生思维的有效途经。

2.1利用兴趣培养学生思维主动性积极性，在教学中，教师有意识的运用兴趣变式来诱发学生的好奇心，激发他们主动钻研，积极思考，可以克服惰性，培养思维主动积极性。

2.2利用反例变式，培养学生思维的严谨性和批判性。教学时，通过反例变式的训练有意识的设置一些陷阱，去刺激学生让其产生\"吃一堑，长一智\"。

2.3利用一题多解培养学生思维的灵活性，在教学中教师利用解题过程的变式训练，引导学生善于运用新观点，从多用度去思考问题，用自由联想的方式，使学生广泛建立联系，多用度地认识事物和解决问题，打破那种\"自古华山一条路\"的思维定势，使他们开动脑筋，串联有关知识，养成灵活的思维习惯。

2.4运用逆向变式培养逆向思维能力。在教学中培养学生的双向思维习惯，这种训练要保持经常性和多样性，逐步优化他们的思维品质。

2.5采用对一题多变和开放性题目的探讨，培养思维的创造性。教学中，在加强双基训练的前提下，运用一题多变和将结论变为开放性的方式来引导学生独立思考，变重复性学习为创造性学习。创造性思维是对学生进行思维训练的归宿与新的起点，是思维的高层次化。实践证明，教学中经常改变例题结论，引导学生自编一些开放性题目，对激发学生兴趣，培养其研究探索能力，发展创造性思维大有益处。

3.进行变式训练需注意

3.1变式教学需要重视知识的基础性。学生的各种能力都是建立在基础知识之上的， 基础知识是综合能力的载体， 因此，初中数学教师在运用变式教学方法时，应该落实与巩固数学课本上的基本概念和理论知识，教师应该引导学生转换角度进行思考，例如复习三角形和特殊的三角形时，应该创设多种练习题，帮助学生掌握概念的内涵与外延，将三角形的概念理解透彻。

3.2变式教学应该重视层次性。初中生由于受到认知水平的影响，一个班级的学生对数学概念的理解水平也存在一定的差异，针对某个知识点进行训练时，应该设置多个问题，从简到难循序渐进地进行训练，这样的习题训练能够帮助认知水平较差的学生更好地理解，帮助认知水平较高的学生巩固记忆。

3.3变式教学应该重视训练的灵活性。数学知识和数学题型是多种多样的，并且条件的变化会引起结论的变化，通过设置不同类型的变式，能够获得不同的效果，一题多变式能够强化学生们对定义、概念的理解，一题多解式能够训练学生的发散思维，培养学生探索新知的能力， 因此，初中数学教师在运用变式教学方法时，应该重视方式训练的灵活性与多样性。

总之，在数学课堂教学中，遵循学生认知发展规律，根据教学内容和目标加强变式训练，对巩固基础、培养思维、提高能力有着重要的作用。特别是，变式训练能培养培养学生敢于思考，敢于联想，敢于怀疑的品质，培养学生自主探究能力与创新精神。当然，课堂教学中的变式题最好以教材为源，以学生为本，体现出\"源于课本，高于课本\"，并能在日常教学中渗透到学生的学习中去。让学生也学会\"变题\"，使学生自己去探索、分析、综合，以提高学生的数学素质。

第17篇：初中数学教学中变式训练分析

初中数学教学中变式训练分析

新课程改革要求培养初中学生的发散性数学思维能力.研究发现，变式训练可以有效地激发学生的数学思维.初中学生的认知过程正向抽象性思维转化，在数学教学方式的不断革新与创新下，新课程标准要求初中数学更加注重让学生具体与抽象相结合，要培养学生形成一题多解的能力.由此可见，变式训练对初中数学教学具有重要的推动作用.

一、变式训练的内涵与原则

1.变式训练的内涵.新课程改革要求教师要从受教者的角度出发设置课堂教学.因此，在初中数学教学中，应该教什么，怎样去教，就成为当前教师需要解决的问题.一个优秀的数学教师，不在于单纯地教授学生知识，而在于教授学生如何去掌握和运用知识，从而培养学生的发散性思维能力，营造良好的数学学习氛围.要达成这一目标，就要在初中数学教学过程中引入变式训练.变式训练是指教师运用不同类型的案例或实例来阐明数学的本质规律，要凸显不同事物之间的非本质属性.这种授课方式的重点与核心就是掌握变式的实际规律，围绕教学目标，将具体的题型进行合理的转化，使学生能够透过现象探究数学的本质.

2.变式训练需要遵循的原则.首先，要明确目的性.教师要根据教学目标和学生的实际情况决定运用变式训练的方式及手段.只有在明确了教学目标后，教师才能分清什么是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而有所取舍、有所侧重.其次，要坚持启发性.在教学过程中，教师要时常注意引导学生深入思考事物产生变化的原因，依照这种导向性方式才能根据学生的实际情况推进教学顺利进行.再次，要量力而行.根据教学的重难点以及初中学生的实际情况，要对实际教学有所侧重.也就是说，在充分考虑学生的适应及承受能力的情况下，把握好一个适度的原则，从而才能做好因人而异、因材施教.最后，要坚持适时性.教师要根据具体的教学过程适时引入变式训练.

二、引入变式训练的作用和意义

在初中数学教学中发现，很多学生解答数学题目只是单纯地套用公式，而不善于变通，只要题目的形式稍加改变，学生就会无所适从.在初中数学教学中引入变式训练，能够拓宽学生的思维，提高他们独立解题的能力.引入变式训练，既可以活跃课堂气氛，又能加深学生对数学知识的理解和运用，使原本枯燥无味的数学教学变得充满乐趣，进而激发学生的学习兴趣，培养他们的主观能动性与课堂回答问题的积极性，提高他们随机应变的能力.对于初中课堂教学以及初中生学习来说意义重大.

1.培养良好的学习兴趣，建立完善的认知结构.变式训练教学是把多种题型糅合在一起，给学生新颖、形象的感觉，从而激发学生学习数学的兴趣.学生的兴趣提高了，他们的积极性和主动性也会随之提升，进而让学生保持饱满的学习热情.变式训练要从学生的实际出发，通过加深问题的深度、拓展问题的广度来强化学生对于知识的理解能力.学生学习变式训练的过程就是构建完善的认知结构的过程，在解决变式问题时可以通过交流、讨论、归纳、分析、总结等方式，这有利于激发学生的灵感，从而培养学生的数学思维和理解能力.

2.提高学生的理解能力，加深课堂记忆.要通过变式训练提高学生对数学的理解能力就要运用实例分析的办法.例如，已知y跟x成反比例关系，当x=6时，y=3，当x=3时，y的值是多少？我们可以进行两种变式：（1）已知y是x的反比例函数，关系如下表.要求根据表中列出反比例函数的表达式，再根据表达式把表填写完整.（2）已知y与x+2成反比例关系，当x=4时，y=1，当x=1时，y的值是多少？可以看出，变式（1）是对原题的已知条件进行了变换，并把文字描述转换成表格的形式.而变式（2）则把x+2看为一个整体，从而培养学生整体综合性思考的能力.

3.让学生形成发散性思维，提升创新意识.在解答实际数学问题时，可以改变题目原来的条件或是结论，从而探索发现条件与条件之间微妙的内在联系.数学具有严谨性与逻辑性的特点，在设置变式问题时，教师要根据学生的实际情况和思维能力，通过简单的变式训练为学生搭建通往数学成功彼岸的桥梁.通过变式训练对问题进行层层剖析，从而凸显出问题的本质属性.这种方法，有利于培养学生的创新意识，促使学生形成发散性思维.

总之，在初中数学教学中，教师要通过变式训练把看似独立的问题用不同的角度去理解和剖析，从而形成完整的解题思路.教师也要注重运用变式训练调动学生在课堂上的积极性与主动性，激发他们的学习兴趣，从而营造良好的学习氛围，提升学习效率.教师还要鼓励学生勇于大胆创新和实践，培养学生独立思考及解决问题的能力.

第18篇：巧用变式解决数学问题)

巧用变式解决数学问题

变式训练是我们经常用的一种教学方式，它从多个方面锻炼学生的思维。在教学过程中，有些知识比较抽象，学生难以理解，不容易接受，要想帮助学生突破难点，需要因势利导的利用变式教学，培养学生的观察、分析、归纳、概括的能力。利用变式训练，可以把一些看似孤立的问题从不同角度整合起来，并形成一个规律，帮助学生在解答问题的过程中去寻找解决类似问题的思路、方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性、主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处。学生也不需要大量、重复地做同一样类型的题目，为学生节约很多时间，实现真正的减负与增效。

变式训练能通过一个问题解决一类问题，变式训练其实就是适当的改变问题题目或者结论改变学生的思维角度，培养学生的应变能力，通过例题的层层变式，引导学生从不同途径寻求解决问题的方法。通过多想、多疑、多练等激发学生思维的积极性和深刻性。

变式训练是我们在平时的教学中采用得最多的一种策略，变式训练最常用的类型有：多变条件式，多解结论式。通过改变条件、问题、结论等的变式教学，让学生探索、发现问题之间的区别和联系，拓展学生的思维，培养学生的学习兴趣，增强创新意识和应变能力，提高学生的学习效率。 设计通过改变条件、改变问题、改变情景，一题多变，让学生有更多的思考空间，有更多的机会发现应用问题之间的关系，可以更深入的发现应用问题之间的区别、内在联系，解法的共性，从而拓展学生的思维，在变式教学中，让学生学会解决问题的方法，并加以归纳、总结，形成技巧，学会用这些方法解决其它问题，培养学生知识、方法的潜移默化的能力。数学的学习不仅是学习知识，更重要的是提高自己的思维能力，变式训练是很有效的手段，也是启迪学生思维、拓展学生思维的重要方法，因此加强变式训练对于我们提高课堂实效大有帮助，设置适当的典型例题和习题，可以引导学生更好地掌握知识，更好地培养和拓展学生的思维。

第19篇：初中数学中“变式训练

变式训练案例分析

变式训练是中学数学教学中的一种重要教学策略，在提高学生的学习兴趣、培养学生的数学思维和数学解题能力方面有着不可忽视的作用。通过变式训练可以使教学内容变得更加丰富多彩，使学生的思路更加宽广。所谓“变式训练”，就是有针对性地设计一组题，采用一题多解，多题一解，多图一题，一题多变，对此辨析，逆向运用等方法，对初始题目加以发展变化，从逻辑推理上演绎出几个或一类问题的解法，通过对一类问题的研究，迅速将相关知识系统化、结构化、网络化，提高解题能力。

教学案例：

（一）一题多图

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

①当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，有DE=AD+BE，请说明为什么？ ②当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，有DE=AD－BE,请说明为什么？

①当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由。

感悟：

通过一题多图可以让学生掌握类比的数学思想。

（二）一题多变

一题多变主要在平面几何中用应广泛需要老师们认真总结练习。

1、（32-1）×（32+1）=。

2、（32-1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

3、3×（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

4、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）=

5、（32+1）×（34+1）×（38+1）…………（364+1）＋9=

感悟：

通过一题多变培养学生寻找共性，克服困难的信心，将知识网路化、系统化。

（三）一题多解

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：AD垂直平分EF。

方法

1、两次全等证明

方法

2、角平分线定理和一次全等综合证明。

方法

3、线段垂直平分线逆定理证明。

方法

4、“三线合一”证明。

感悟：

通过一题多解培养学生的发散思维和创新能力，使学生的能力大大提高。更能展现出教师的魅力。

变式训练并不是一朝一夕就可以成熟的，需要我们认真钻研大纲和教材把知识系统化、网路化用心对待！

第20篇：2变式教学论文

变式教学优化思维品质

———高一一节二次函数求最值的变式教学课有感

摘要：本文通过引用一节二次函数求最值的变式教学课，着重论述了变式教学对培养学生思维的连贯性，严密性，深刻性，广阔性，变通性，双向性，灵活性，发散性和创造性等方面来阐述变式教学的优越性，优化课堂效率。

关键词：变式教学，培养，思维

变式教学是指教师将数学中各种知识点有效地组合起来，从最简单的命题入手，不断变换问题的条件或者结论或者情景，层层推进，逐渐揭示出问题的本质特征的一种教学方式。在不断的变化中去寻找数学的规律性，使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通，从而透过现象，看到本质，这就是人们常讲的“万变不离其宗”。通过变式对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，能帮助学生打通知识关节，找到解题方法，拓宽解题思路，对于优化课堂效率，提高解题能力，培养思维的连贯性，严密性，深刻性，广阔性，变通性，双向性，灵活性，发散性和创造性等方面都是大有益处的。

引例（1）求f(x)x22x1在R上的最小值

（2）求f(x)x22x1在[2,3]上的最小值 （3）求f(x)x22x1在[0,3]上的最小值

本堂课由一个二次函数，在三个不同的区间上求最小值的问题引入，揭露出二次函数求最值的本质，于何处取得最值？关键是图像对称轴与区间的关系的讨论。区间不同，结果也不同，体现出在解决函数问题时，定义域的重要性，即所研究问题的范围。问题串式编题，既有相同之处，又有细微区别，区别之处揭露本质。

一、改变条件加入讨论构造变式，培养思维的严密性和深刻性

变式教学不是为了变式而变式，而是要根据教学与学习的需要，遵循学生的认知规律， 在重要处和关键处进行变式，让学生充分领会问题的本质，实现教学目标。

变式一

求f(x)x2x1在[0,a]上的值域

(1)当0

(3)当a>2时,min=0,max=f(a), 值域为[0,a2-2a+1]

变式二

求f(x)x22x1在[a,a+2]上的值域

，

当a1时，f(x)[f(a2),f(a)]当1a0时，f(x)[0,f(a)]当0

二、调换参数位置构造变式，培养思维的广阔性和变通性

数学教学中由一个基本问题出发，运用类比，联想等思维方式，可以构造出很多数学问题情境。在类比的变式中，引导学生在变中看到不变的本质，找到解决问题的主思路。

变式三

求f(x)x2kx1在[-1,1]上的最小值m(k)

当k1时，m(k)=f(1)=2-2k2+2k,k1

变式四

求f(x)kx2x1在[-1,1]上的最大值M(k)

2 当k=0时，M(k)=f(-1)=3当k>0时，M(k)=f(-1)=k+3

1当k

k1

1 当-1

kkk3k1综上M(k)1

1k1k变式三和变式四将参数从区间的位置转移到解析式处，变成轴变区间定的模型，训练思维的变通性。但是变题的本质仍然没有变，最关键的仍是何处取得最大值或者最小值，仍然是图像的对称轴与区间的关系。变式三和变式四比变式一和变式二在思维上实现了一点跳跃，一个是轴定区间动，一个是轴动区间定，要求学生思维上能灵活变通，善于抓住最本质不变的特征。但是从变式三到变式四，难度上又有稍稍递进，从分类讨论的角度，变式四要比变式三更复杂些，既要讨论二次项系数为零，为正，为负等各种情况，又要讨论各种情况下的对称轴与区间的关系，即在左边，在中间或者在右边，在运算的过程中，根据参数的范围，有时又可以省略掉一些讨论，对于训练学生思维的深刻性、严谨性和变通性大有益处。

二、已知最值反求参数构造变式，培养思维的双向性和灵活性 此变式属于逆向思维的变式，从已知参数求最值，到已知最值反过来求参数的变题训练，可以有效的训练思维的灵活性，防止僵化。但问题的关键仍然是函数在区间上的何处取得最大值，仍是讨论图像对称轴与区间的关系，让学生体会从变种掌握不变的本质。

变式五

已知f(x)kx2x1在[-1,1]上的最大值为，求k的值

252k3k151解法一：在变式四时已解得M(k)1 ，

当M(k)时，得 k

221k1k解法二：经图像的分析，得到最大值取得无非是在区间端点处或者对称轴处

57若f(1),则k,检验得不满足22511若f(1),则k,检验得满足情况 综上得k222 157若f(),则k，检验得不满足k22变式五与变式四是俩逆向思维的变题，在解决变式五中又从一题多解的角度体现了方法的多样性与思维的灵活性。变式五在变式四的基础上进行编排，省去了准备工作阶段的很多重复运算，实现课堂效率的优化。方法一重分类讨论解决二次函数最值的问题，方法二具有一定的巧妙性，是一种特殊法思想，体会树形结合解决问题。分类讨论思想和数形结合思想都是高中阶段需要好好培养的两种思想方法，说明本堂课的内容是丰富饱满的。特殊法思想让学生体验常规之外的灵活多样，训练思维的灵活性。

四、转变函数形式构造变式，培养思维的发散性和创造性

著名数学教育家波利亚曾形象的说：“好问题同某种蘑菇有些相似，它们大多成堆的成长，找到一个后，你应该在周围找一找，很可能附近就有好几个。”掌握上述题型的求解之后，我们还应举一反三，经过适当变化之后，能看出问题考察的知识点本质是什么，将貌似不熟悉的题目化归到我们所熟悉的题型；反之对于我们所熟悉的题型，也能发散出去，编写创造出与其它知识点相联系的变题。

变式六：（1） 求f(x)cosx22asinxa的最小值

令tsinx,转化为求函数yt22ata1在[1,1]上的最小值，与变式三同类型。

（2）设a0,若f(x)cosx22asinxb的最大值为0，最小值为-4,求a,b的值

令tsinx,转化为已知函数yt22atb1在[1,1]上的最小值为-4，最大值为1，求a,b的值，与变式五同类型.（3）求f(x)（asinx+cosx）+sinxcosx的最小值

t21令tsinxcosx,t[2,2],转化为求yat在[2,2]上的最小值

22变式六重视培养学生的应用能力和化归的思想，经过变形仍转化为二次函数在区间的何处取得最值的问题。第（3）小题在难度和思维的发散上均达到一个高峰，要求学生既能领会问题的本质，又有较大的创新和变通能力，综合性较强。变式六的类型其实与变式三和变式五同类型，只是结合了三角函数的知识，可以教师给出这些题让学生通过适当换元看出问题的本质，也可以让学生自己编出与上述题类似的变题。

试看我们平常的教学，师生往往陷于题海战术中不能自拔，这种沙里淘金的方式，效果很不理想。变式教学运用各种变式挖掘、延伸、改造，即能运用较少的时间，将所学的知识条理化，系统化，揭露出问题最本质的特征，又能培养学生的思维能力，提高解决问题的应变能力，是一种能大大提高课堂效率为广大学生所接受并喜爱的一种教学方式。减轻学业负担，形成高超数学能力，优化思维品质，变式教学功不可没。

参考文献：

[1]中学数学，湖北大学中学数学杂志社，2009，（7） [2]中学数学，湖北大学中学数学杂志社，2009，（12） [3]中学数学月刊，苏州大学出版社，2009，（11）

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