第六讲 简易逻辑问题
“数学是锻炼思维的体操”。思维是大脑对事物的性质、它们之间的关系的认识过程。因为客观事物不是孤立存在的，是互相关联、互相影响的，往往具有某种因果关系，所以思维使我们能够知道并没有直接感觉到的事物，预见事情的进程和发展结果。就是从一些已知事实，推断出一些合理的结论。
正确的思维，应该是确定的，首尾一贯的，无矛盾的和有根据的。“逻辑”就是思维的规律。本讲讨论的“逻辑问题”，主要是判断推理问题。
例1 现有红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着，在桌子上排成一行，由甲、乙、丙、丁、戊五人，猜各包内珠子的颜色，每人只许猜两包。
甲猜：第二包是紫的，第三包是黄的；
乙猜：第二包是蓝的，第四包是红的；
丙猜：第一包是红的，第五包是白的；
丁猜：第三包是蓝的，第四包是白的；
戊猜：第二包是黄的，第五包是紫的。
事后，打开纸包，发现每人都只猜对了一包，并且每包都只有一人猜对。问他们各猜对的是哪一种颜色的珠子。 解：根据题意我们列一个表：
因为每包都只有一人猜对，第一包只有丙猜，所以丙猜第一包是红的猜对了。又因为每人只猜对一包，因此页第五包猜错了；而第五包由丙、戊两人猜，戊猜对了第五包是紫的。
由于第一包是红的，第四包只能是白的，因此，丁猜对了第四包，甲猜对了第三包。甲、戊都猜错了第二包，只有乙猜对了第二包是蓝的。综上所述，甲猜对了第三包是黄的，乙猜对了第二包是蓝的，丙猜对了第一包是红的，丁猜对了第四包是白的，戊猜对了第五包是紫的。
说明：由于第一包只有一人猜，一定是猜对了。因此，确定第一包的颜色，是解决这道题的突破口。解决问题，找到突破口是很重要的。用“列表方法”把繁杂的条件更加条理化，是解决“罗辑问题”的有效手段。
例2 刘毅、马明、张健三个男同学都各有一个妹妹，六人在一起举行乒乓球混合双打练习。规定兄妹不许搭伴。第一盘是刘毅和小萍对张健和小英；第二盘是张健和小红对刘毅和马明的妹妹。推断刘毅、马明、张健的妹妹各是谁？
解：先列表分析，非兄妹关系画“×，兄妹关系画“√”，暂不能肯定画“？”。
由表中可看出张健的妹妹是小萍。刘毅、马明的妹妹分别是谁只有两种可能：
第一，刘毅的妹妹是小英，马明的妹妹是小红。第二，刘毅的妹妹是小红，马明的妹妹是小英。
对第一种可能，第二盘练习就是张健和小红对刘毅和小红（马明的妹妹）。不合理。对第二种可能，第二盘练习就是张健和小红对刘毅和小英。合理。
综合以上推断，刘毅的妹妹是小红，马明的妹妹是小英，张健的妹妹是小萍。 说明：本题推断过程中，对可能的两种情况，进行－一检验，排除不合理的情况，肯定合理的情况。这是采用了“穷举法”。下面我们用穷举法再讨论一道题。 例3 王红、李智、张慧三名同学中，有一人在教室没其他同学的时候，把教室打扫得干干净净。事后，老师问他们三人，是谁做的好事。王红说：“是李智干的”；李智说：“不是我干的”；张慧也说：“不是我干的”。后来知道他们三人中，有两人说的是假话，有一人说的是真话。你能断定教室是谁打扫的吗？ 解：由题意知只有三种可能，
如果是王红干的，那么王红说的“是李智干的”是假话；李智说的“不是我干的”是真话；张慧说的“不是我干的”也是真话。不符合题意中“两假一真”条件。
如果是李智干的，那么王红说的“是李智干的”是真话；李智说的“不是我干的”是假话；张慧说的“不是我干的”是真话。也不符合“两假一真”条件。
只能是张慧干的。这样王红、张慧说的是假话，李智说的是真话。符合“两假一真”。 例4 A、B、C、D、E五个球队进行单循环赛（每两个队之间都要比赛一场），进行到中途，发现A、B、C、D、比赛过的场次分别是4，3，2，1。问这时E队赛过几场？E队和哪个队赛过？
解：用图12－1表示各队之间是否比赛过。用平面上的点表示A、B、C、D、E队，两队比赛过，用两点连线表示，没有比赛过，则不连线。
A赛过4场，A与B、C、D、E均连线；B赛过三场，除与A赛过，还赛过2场，因为D只赛过1场（和A队赛），因此B只能和C、E赛过；这样正好符合C赛过2场，D赛过1场。由图看出这时E队赛过2场，E队和A、B队赛过。 解法二：因为比赛一场，双方各计一次，因此，比赛过程中任何阶段，各队比赛的场次数总是偶数。A，B，C，D的场次数之和是4＋3＋2＋1＝10，是偶数，这时E赛过场次数一定也是偶数，有三种可能：0，2，4，因为A赛过4场，一定和E赛过。E不可能赛0场；又D只赛过一场，和A赛过，还没和E赛过，E不会赛过4场。只能是赛过2场。E和A赛过，B赛过3场，而B和D没赛过，B一定和E赛过。
综合以上分析，E赛过2场，和A、B各赛一场。 说明：用图表示所研究对象及其关系，是讨论逻辑问题的又一个重要手段。用点表示所研究对象，用连线表示对象之间的某种关系。充分利用图形的直观性，便于说明问题。
例5 老师要从甲、乙、丙、丁四名同学中选派两人去参加某项活动，征求他们的意见，甲说：“我服从分配”；乙说：“如果甲去，那么我就去”；丙说：“如果我不去，那么乙也不能去”；丁说：“我和甲，要去都去，要不去就都不去”。老师要都满足他们的要求，应选派谁去？
分析：我们把命题“如果具有条件A，那么就有结论B，”表示成：AB，符号“”读作“推出”。根据题意老师应满足的条件是：
甲乙（乙说），丙非非乙，（丙说）这句话相当于乙丙，甲丁（丁说）。把这些关系联系起来，很容易得出结论。 解 题目所要求的条件如下：
显然，如果甲去或乙去，按条件四人都得去。不符合只派两人去的要求。所以甲、丁不去，派乙、丙二人去参加符合题意。
例6 某参观团根据下列条件从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点：①若去A地，也必须去B地；②若去E地，A、D两地也必须去；③D、E两地至少去一地；④B、C两地只去一地；⑤C、、D两地都去或都不去。问参观团最多去哪几个地方？
解：用符号表示题意得，
从以上用符号“”所表示的逻辑关系可以看出，如果去E或去A或去B，都推出非D且D。（既去D地，又同时不能去D地）矛盾。因此A、B、E三个地方不能去。
去C、D两地，与题意不矛盾。所以参观团最多可以去C、D两地。
说明：用推出符号“”表示题目中的逻辑关系，是很简明的。解题中经常练习使用是大有益处的。
例6甲、乙、丙、丁四人对A先生的藏书数目作了一个估计，甲说：“A先生有500本书”；乙说：“A先生至少有1000本书”；丙说：“A先生的书不到2000本”；丁说：“A先生最少有1本书”，这四个人的估计中，只有一句是对的。问A先生究竟有多少本书？ 解：把四人的估计列一个表：
我们采用“穷举法”讨论：
如果甲说的对，那么丙、丁说的都对，与题意（只有一句对）不符合。
如果乙说的对，那么丁说的也对，与题意不符。
如果丙说的对X＜200O，若1000≤x＜2000，则乙和丁说的也对；若1≤x＜1000，则丁说的也对，不符合题意。当x＜1时即x=0时，只有丙说的对，x=0合理。
如果丁说的对，x≥1，若1≤x＜2000，则丙说的也对；若x≥2000，则乙说的也对，不符合题意。
综合以上推断，A先生藏书是零。 例7在神话传说的某国内，居民不是骑士就是无赖，骑士不说谎，无赖永远说谎。我们遇到该国居民A、B、C，A说：“C是骑士，B是无赖”。C说：“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖”。问这三个人中谁是骑士，谁是无赖？ 解：对于A来说，不是骑士，就是无赖。
如果A是骑士（说真话）C是骑士，B是无赖C说真话A和C不同，一个是骑士，一个是无赖，与A、C均为骑士矛盾。这样A一定是无赖，说谎话“C是骑士，B是无赖”是假话。C是无赖，B是骑士。C说谎话“A与C不同”是假话，合乎题意。因此A、C是无赖，B是骑士。
例8把—8这八个号码，贴在四个小伙子小张、小赵、小王、小李和他们四个人的妹妹小敏、小珍、小兰、小英的背后，根据以下条件判断这八个人各贴的几号？并判断出谁是谁的妹妹？
①兄妹号码不相邻，男的与男的号码不相邻；②小张是1号，小敏是8号；③小王与小珍的号码相邻；④小李是小敏的哥哥；⑤小英是2号，小王的号码与小英相邻。
解：问题是要求出号码与八个人的对应关系和兄妹的对应关系。先把已知的条件列出（兄妹关系用连线表示）：
因为小王的号码与小英相邻，故小王的号码是1或3；又小王与小珍的号码相邻，因此小王的号码只能是3；小珍号码是4号。由于男的与男的号码不相邻，因此6号一定不是男的号码。因为如果6号是男的号码，还没有确定的号码还有
5、7，不论哪个号码标在男背上，都与6相邻，不合题意，所以6号一定是女孩小兰的号码。小李与他的妹妹小敏号码不能相邻，不能是7号，只能标5号。小赵标7号。根据兄妹号码不相邻。小王（3号）的妹妹只能是小兰（6号）；小张（1号）的妹妹不能小英（2号），只能是小珍，小赵的妹妹是小英。答案如下表：
例9在一次国际会议上，甲、乙、丙、丁四人交谈，其中每人只会英、法、日、中四种语言中的两种语言，没有四人都会的一种语言，只有一种语言三人会。
①乙不会英语，甲、丙交谈请他当翻译；
②甲会日语，丁不会，但他们能对话；
③乙、丙、丁可以不用翻译交谈，但没有三人都会的语言；
④没有人既会日语、又会法语；
问四人各会哪两种语言？
解：由②知，甲会日语；由④知甲不会法语，那么甲一定会英、中文的一种。
如果甲会英语，由①，丙会法语和中文，（因为甲、丙交谈需要翻译，没有共同语言），由乙作甲、两对话的翻译，乙不会英语，一定会日语与甲交谈，又由④，乙不会法语，乙一定会中文。
由②丁不会日语，而与甲能对话，丁一定会英语，假设丁会中文，则乙、丙、丁都会中文，与③矛盾。因此，丁一定会法语。
把以上推断结果列表如下：
此表反映的结果又与③矛盾（乙、丙、丁三人可以不用翻译交谈），乙与丁不能交谈。此结论不合题意。
那么只有甲会中文；丙会英、法语；乙会中文、法语；又知丁不会日语，假设丁会法语，则乙、丙、丁都会法语，与③矛盾（没有三人共同会的语言），那么丁一定会英语。
最后结论如下表：
此结论满足题目中的所有条件。
说明：此题推断过程中，首先从甲会日语进行突破。又对甲会英语、中文两种情况用“穷举法”进行讨论。排除与题意相矛盾的情况。肯定与题意相符合的结论。
例10体育馆里正进行一场精彩的羽毛球双打比赛，两位观众互相议论：
①“吴超比李明年轻”；
②“赵奇比他的两个对手年龄都大”；
③“吴超比他的伙伴年龄大”；
④“李明与吴超的年龄差距比赵奇与张辉的差距更大些”
请你写出他们四人的年龄大小顺序，（从小到大排）
解：设吴超年龄为x岁，李明为y岁，赵奇为z岁，张辉为w岁；
由①，y＞x；
由①，③可知，吴超的伙伴不是李明，只能是赵奇或张辉。
如果吴超的伙伴是赵奇，由③x＞z，那么y＞x＞z。由②，z＞y，z＞w，由此可得：
y＞x＞z＞y，推出y＞y，不合理，所以吴超的伙伴不会是赵奇。
吴超的伙伴只能是张辉。比赛是吴超、张辉对李明、赵奇。因此y＞x＞w
又由②，z＞x，z＞w。
z对y有两种可能，z≥y或z＜y。即z≥y＞x＞w或y＞z＞x＞w。
对于z≥y＞x＞w，z-w＞y-x。与④不符合。只有y＞z＞x＞w成立。
即四人年龄从小到大排是：张辉，吴超，赵奇，李明。
说明：此题是讨论大小关系，用到了大小关系的“传递性”。就是说，如果a＞b，b＞c，那么a＞c。
例11如图2—l，一个正六边形ABCDEF，在六条边AB，BC，CD，DE，EF，FA上随意写上—6这六个数字，每个数字写一次，同时又在OA，OB，OC，OD，OE，OF上也写上—6这六个数字，一个数字用一次。判断是否存在一种写法，使三角形OAB，OBC，OCD，ODE，OEF，OFA的三边上各数之和相等？为什么？
分析：按题意进行试验情况太多。我们用字母表示各边上标上的数字，如果六个三角形三边上各数之和都相等，看应该满足什么关系或有什么不合理情况。 解：设AB，BC，CD，DE，EF，FA上写的数为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+2+3+4+5+6=21。
设OA，OB，OC，OD，OE，OF边上写的数是b1，b2，b3，b4，b5，b6，b1+b2+b3+b4+b5+b6=l+2+3+4+5+6=21。
假设六个三角形三边上各数之和都相等，设三个数之和为S。六个三角形各边上的数的和为6S。那么在取和中，六边形六条边上各数a1，a2，a3，a4，a5，a6各出现一次b1，b2，b3，b4，b5，b6各出现两次。所以有以下关系：
6S=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)×(b1+b2+b3+b4+b5+b6）
6S=21+2×21
6S=63（63是6的倍数）不合理
所以不存在一种写法使六个三角形中，每个三角形三边上三个数之和都相等。
说明：要说明某一结论的正确性，直接说明比较困难。可以先假设结论的反面正确，然后推出与题意或与某一个正确结论相矛盾的结果。上面的假设不正确，从而肯定要证明的结论的正确性。这种数学方法，就叫“反证法”，例6采用了反证法思想。
例12在数学晚会上，张华表演了一个数学猜谜节目。首先把35枚棋子中的2枚，3枚，4枚分别给甲、乙、丙三人，其余26枚放在桌子上。另外在桌上还有标有
1、
2、3号的竹签各一根。甲、乙、丙三个背着张华随意各取一根竹签。让张华猜，谁持有几号竹签。张华说“持有1号竹签的，从桌子上再取和自己一样多的棋子；持2号竹签的，从桌子上再取自己原有棋子的2倍；持3号竹签的，从桌子上再取自己原有棋子的4倍。谁又从桌子上取多少棋子，张华并不知道。事后张华见到桌子上还只剩3枚棋子。马上猜出甲持2号签，乙持1号签，丙持3号签，请你说明张华根据什么猜的？
解：三人持签只有六种可能，对每种可能情况，分别计算棋子余数。
从以上表中可以看出，只有甲持2号签，乙持1号签，丙持3号签时，余数才是3枚。
从持签不同情况，余数均不相同，就可以从余数确定持签的情况。习题十四-1
1．地理课上，老师挂出一张空的中国地图，其中有五个省分别编上了1～5号。让大家写出每个编号是哪一省。A答：2号是陕西，5号是甘肃；B答：2号是湖北，4号是山东；C答：1号是山东，5号是吉林；D答：3号是湖北，4号是吉林；E答：2号是甘肃，3号是陕西。这五名同学每人都只答对了一个省，并且每个编号只有一人答对，问1～5号各是哪个省？
2．在甲、乙、丙三人中，有一位教师，一位工人，一位战士。知道丙比战士年龄大，甲和工人不同岁，工人比乙年龄小。请你推断谁是教师？谁是工人？谁是战士？
3．田径场上进行百米决赛，参加决赛的有A、B、C、D、E、F六个人。对于谁是冠军，看台上甲、乙、丙、丁四人有以下猜测：
甲说：“冠军不是A就是B。”
乙说：“冠军不是C。”
丙说：“D、E、F都不可能是冠军。”
丁说：“冠军是D、E、F中的一人。”
比赛后发现，这四人中只有一人的猜测是正确的。你能断定谁是冠军吗？
4．五年级的1，2，3，4班举行接力比赛，请甲，乙，丙三位小朋友猜测四个班的比赛名次：
甲说：“我看1班只能得第三，3班是冠军。”
乙说：“3班只能得第二，至于第三，我看是2班。”
丙说：“4班第二，1班第一。”
比赛结束后发现，三人的预测都只对了一半。请你判断四个班的名次。
5．某学校召开田径运动会，五名运动员赛跑，赛后有五名观众介绍比赛结果：
第一人说：A是第二，B是第三；
第二人说：C是第三，D是第五；
第三人说：D是第一，C是第二；
第四人说：A是第二，E是第四；
第五人说：B是第一，E是第四。
介绍后，他们都补充说“我的话半真半假”。请你判断五名运动员的名次。
6．有三个箱子，分别涂上红、黄、蓝三种颜色，一个苹果放入其中某个箱子里。
①在红箱子盖上写着：“苹果在这只箱子里”；
②在黄箱子盖上写着：“苹果不在这只箱子里”；
③在蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”。
已知以上三句话中，只有一句是真的。问苹果在哪个箱子里？ 参考答案：
1．1——山东，2——湖北，3——陕西，4——吉林，5——甘肃
2．乙是教师，丙是工人，甲是战士。
3．冠军是C。
4．3班是冠军，4班第二，2班第三。
5．A是第一名，C是第二名，B是第三名，E是第四名，D是第五名。
6．苹果在黄箱子里。习题十四-2
1.小张、小王、小李、小赵四位同学住在一个宿舍里，规定每晚最后一个回宿舍的同学把室外路灯关上。有一天晚上，他们中间最晚回来的那位同学忘了关灯，第二天宿舍管理员查问谁回来的最晚？
小张说：“我回来的时候，小李还没回来；”
小王说：“我回来的时候，小赵已经睡了，我也就睡了；”
小李说：“我进门的时候，小王正在上床；”
小赵说：“我回来就睡了，别的没有注意。”
四位同学说的都是实话，你知道谁回来的最晚吗？
2.在一个国际学生联欢会上，一个圆桌周围坐着五个人。甲是中国人，会说英语；乙是法国人，会说日语；丙是美国人，会说法语；丁是日本人，会说汉语；戊是法国人，会说西班牙语，问他们怎样坐，才能彼此间都能交谈。
3.小张、小王、小李谈年龄，每人都说三句话，并且有两句真话，一句假话。
小张说：“我今年才22岁”，“我比小王还小两岁”；“我比小李大1岁”。
小王说：“我不是年龄最小的”；“我和小李相差3岁”；“小李25岁了”。
小李说：“我比小张小”；“小张23岁了”；“小王比小张大3岁”。
请你推断他们三人的年龄。
4.少先队员要去采访一位电子科学家，可是不知道这位科学家姓什么，看门的老爷爷说了下面一段话：二楼住着姓李、姓王、姓张的三位科技会议代表，其中有一位科学家，一位技术员，一位编辑，同时还有三位来自不同地方的旅客，也是姓王、姓李、姓张各一位。并且知道：
①姓李的旅客来自北京；
②技术员在广州一家工厂工作；
③姓王的说话有口吃毛病，不能做教师；
④与技术员同姓旅客来自上海；
⑤技术员和一位教师旅客来自同一个城市；
⑥姓张的代表赛乒乓球总是输给编辑。
请判断科学家姓什么？
5.一个国家的珠宝店发生了一起盗窃案，经过侦破，作案人肯定是A、B、C、D中的一人，把这四人作为重大嫌疑人讯问。
A说“珠宝被盗那天，我在别的城市；
B说：D是罪犯；
C说：B是盗窃犯；
D说：B与我有仇，有意诬谄我。
经过调查，四人中只有一人说的是真话，你能断定谁是罪犯吗？
参考答案
1.最晚回来的是小李。
2.只有一人会西班牙语，不能用西班牙语交谈；会西班牙语的法国人（戊）两边只能坐法国人乙和懂法语的英国人丙；再确定中国人甲和日本人丁的位置，甲与丙相邻，丁与乙相邻。
3.先从小张年龄想起，若小张22岁，推出小王说的有两句假语，不合题意。正确结果是小张23岁，小王25岁，小李22岁。
4.列表分析，科学家姓张。
5．A是罪犯。 数学故事：
联欢会上，老师拿着5顶帽子，其中3顶黑色，2顶白色，从中任意取3顶分别戴在甲、乙、丙三人的头上。他们三人都不知道自己头上的帽子是什么颜色，其中有一个人是用毛巾蒙上了眼睛。老师要请这三个人分别说出自己头上的帽子是什么颜色。甲看了看另外两人的头上，摇摇头说：“不知道。”乙非常诚实，他看后也回答说不知道。丙因为蒙上了眼睛，他听完甲、乙两人回答后，立刻说道：“我的帽子是黑的。”丙的回答正确吗？请说明理由。
