上海交通大学研究生（非数学专业）数学基础课程
《计算方法》教学大纲
(2007修改讨论稿)
一．
1.2.3.4.5.6.7.概况
开课学院（系）和学科：理学院 数学系 计算数学教研室 课程编码：
课程名称：计算方法
学时/学分：54学时/3学分
预修课程：线性代数，高等数学，程序设计语言
课程主干内容: 数值代数，数值逼近，非线性方程数值解，常微分方程数值解。 适应专业学科：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科需要的专业。 8.教材/教学参考书：
(1) 李庆扬、王能超、易大义，数值分析（第4版），华中理工大学出版社， 2003 (2) 孙志忠，袁慰平，闻震初，数值分析，东南大学出版社，2002 (3) J.Stoer and R.Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis (second edition), Springer-Verlag, Berlin-New York, 1993.(4) Atkinson K E，An Introduction to Numerical Analysis，John Wiley & Sons.1989.
二． 课程的性质和任务
本课程属于数值计算课程的基础部分。数值计算课程是非数学类研究生数学公共基础课程，该组课程列入计算数学系列，目前按照“分级”的原则，设置《计算方法》（基础部分）、《微分方程数值方法》(扩展部分) 和《高等计算方法》（提高部分）三门课程。
本课程讨论用计算机求解数学问题的几类基本的数值方法及其相关的数学理论。计算机是对近代科学研究、工程技术和人类社会生活影响最深远的高新技术之一，它对科学技术最深刻的改变，莫过于使科学计算平行于理论分析和实验研究，成为人类探索未知和进行大型工程设计的第三种方法和手段。 计算机的飞速发展正把计算的方法的创新、改进、提高推向人类科技活动的前沿。人类现代计算能力的巨大更取决于计算方法的效率。因此，学习和掌握计算方法的基本理论，包括算法设计和误差分析，对于将来从事科学研究和工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。科学计算能力是现代科技和管理人才不可或缺的基本素养之一。
通过本课程的学习，要求学生了解这些数值计算问题的来源，理解求解它们的数学思想和理论根据，数值方法的构造原理及适用范围，掌握相应计算方法及其计算步骤，各种常用的数值计算公式、数值方法的构造原理及适用范围，能够分析计算中产生误差的原因，能采取减少误差的措施；能够解释计算结果的意义，根据计算结果作合理的预测，为今后用计算机去有效地解决实际问题打下基础。
本课程包括数值计算的最基本内容：数值代数，数值逼近，方程数值解，常微分方程数值解。
1 三． 课程的教学内容和基本要求
教学内容分为八部分，对不同的内容提出不同的教学要求
（* 号者为选学部分，视学生接受程度而定）
第一部分
绪论
内容：计算方法的研究目的、特点与基本要求，误差及误差分析等基本概念
要求：了解计算方法在解决实际问题中所处的位置及本课程的内容、研究对象、学习方法、发展简况，理解计算方法中的误差、误差运算及分析、近似计算中应注意的问题、算法的数值稳定性、收敛性与收敛速度等基本概念。
第二部分
插值与逼近
2．1 多项式插值
2．1．1 Lagrange插值
2．1．2 Newton插值 2．2 分段插值
2．2．1 多项式插值的问题
2．2．2 分段线性插值
2．2．3 分段三次Hermite插值 2．3 三次样条插值
2．4 曲线的最小二乘拟合
2．5 最佳平方逼近与正交多项式
*2．6 最佳一致逼近
要求：掌握基本插值法的构造和计算，掌握这些插值函数的余项表达形式、适用范围以及各自特点，了解分段插值及样条插值的特点。理解三次样条函数插值的算法设计。掌握由离散点求曲线拟合的方法，懂得运用最小二乘原理概念以及法方程组进行拟合。掌握正交多项式的概念、基本性质和正交化方法。会使用Legendre多项式。在此基础上了解最佳平方逼近与正交多项式的关系。
第三部分
数值积分
3．1 数值积分的基本思想 3．2 Newton-Cotes公式
3．2．1 Newton-Cotes公式
3．2．2 复化Newton-Cotes公式 3．3 变步长及Richardson加速技术 3．4 Gau求积法
3．4．1 代数精度
3．4．2 Gau形积分公式
3．4．3 Gau点
3．4．4 Gau形积分公式的特点
要求：掌握常用数值积分法的原理与公式，掌握变步长及Richardson加速技术，在理解代数精度概念的基础上掌握Gau 求积公式及其构造、特点。
第四部分
常微分方程的数值解法
4．1 Eular法及其变形
2 4．2 Rung-Kuta法
4．2．1 泰勒级数法
4．2．2 Rung-Kuta法的基本思想
4．2．3 二阶Rung-Kuta法及其计算公式的推导。
4．2．4 四阶Rung-Kuta法 4．3 单步法的收敛性和稳定性 4．4 线性多步法
4．5 方程组与高阶方程的数值解法
要求：理解解常微分方程初值问题的三种构造手段(Taylor级数法、数值积分法和数值微分法)，会用以上所述方法解常微分方程初值问题，并能对格式作局部截断误差估计。理解单步法的收敛性和稳定性问题的提法和结论。
第五部分
非线性方程求根
5．1 搜索法
5．1．1 逐步搜索法及其特点、适用问题
5．1．2 二分法及其特点、适用问题 5．2 迭代法
5．2．1 迭代法的基本原理
5．2．2 迭代法的收敛与收敛速度 5．3 Newton法与割线法。
要求：掌握常用的方程求根基本方法，理解这些方法的构造特点及适用范围、对迭代法能进行收敛性、收敛速度分析，理解Newton法的特性。
第六部分
解线性方程组的直接法
6．1 Gau消去法
6．1．1 Gau顺序消去法
6．1．2 Gau列主元消去法
6．2 LU分解方法
6．2．1 LU分解方法
6．2．2 追赶法、平方根法、LDL等
6．3 向量与矩阵的范数
6．4 误差分析
要求：掌握解线性方程组的Gau 消元法、列主元法、LU分解方法，理解这些方法的构造过程和特点以及适用的线性方程组。了解解特殊线性方程组的追赶法、平方根法、LDL解法。在掌握向量范数和矩阵范数的基础上了解算法的误差分析及病态方程组概念。
第七部分
解线性方程组的迭代法
7．1 基本迭代法
7．1．1 Jacobi迭代法
7．1．2 Gau-Seidel迭代法
7．2 迭代法的收敛性
7．3 松弛迭代法
要求：掌握解线性方程组的基本迭代法：Jacobi迭代法，Gau-Seidel迭代法，理解这些方 3 法的构造过程和特点以及适用的线性方程组。掌握算法收敛准则及常用判别条件。
第八部分
矩阵特征值与特征向量的计算
8．1 求矩阵特征值与特征向量的一般原理 8．2 幂法 8．3 QR分解
8．3．1 初等反射阵
8．3．2 矩阵的QR分解 8．3．3 Householder变换 8．4 QR算法
要求：了解求矩阵特征值与特征向量的一般原理，掌握矩阵的QR分解，在此基础上了解幂法和QR算法的原理和基本算法。掌握用Householder变换把矩阵相似约化为上Heenberg阵的算法。
四．实验（上机）内容和基本要求
本课程无实验和上机的教学安排，但要求学生结合本专业的特点和所研究的课题，选择部分主要算法自己上机实现。 要求学生熟悉至少一门数学软件平台（Mathematica/ Matlab/Maple）和至少一种编程语言。教学实验就是编程解决实际问题。至少做有求解足够规模的问题的大作业3-4次，使学生理解如何提出问题和解决问题，以提高分析问题和解决问题的能力。
五．对学生能力培养的要求
本课程以课堂讲授为主，着重讲授算法建立的数学背景、原理和基本线索，教学过程中应该注重方法、概念的理解，注重思维方式培养。每章在介绍各种数值方法正确使用的同时，还要从各种算法的理论分析中了解算法的适应范围且能对一些算法做误差分析，能应用所讲的各种算法在计算机上解决不同的实际问题，使学生建立起自觉使用所学数值方法到本专业中的意识。教师在教学过程中，根据学生的领悟情况，尽量将部分推导演绎过程引导学生自己完成，调动学生动手的欲望，提高授课的质量和效率。
尽管本课程的重点放在运用算法解决问题上，但是仍然鼓励和希望学有余力的同学，对于问题建立模型、算法的性态分析和算法实际运行性质的分析，有实质性的研究和提高。
六．其他
本课程考核的形式以笔试为主，并计入大作业和平时练习的成绩。
起草者：贺力平，宋宝瑞 起草时间：2003.5
修改者：曾进，周国标 修改时间：2004.7 审阅者：黄建国
第二次修改者：宋宝瑞 第二次修改时间：2007.8 4
