《抽屉原理》教学设计
教学内容
人教版标准试验教材小学数学六年制第十二册“数学广角”例
1、例2及相关内容。
教材编排特点
1、教材借助例1（把4枝铅笔放进3个文具盒）中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉问题”。学生在操作实物的过程中可以发现一个现象：不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔，从而产生疑问，激起寻求答案的欲望。在这里，“4枝铅笔”就是“4个要分放的物体”，“3个文具盒”就是“3个抽屉”，这个问题用“抽屉问题”的语言来描述就是：把4个物体放进3个抽屉，总有一个抽屉至少有2个物体。
为了解释这一现象，教材呈现了两种思考方法。第一种方法是用操作的方法进行枚举。通过直观地摆铅笔，发现把4枝铅笔分配到3个文具盒中一共只有四种情况（在这里，只考虑存在性问题，即把4枝铅笔不管放进哪个文具盒，都视为同一种情况）。在每一种情况中，都一定有一个文具盒中至少有2枝铅笔。通过罗列实验的所有结果，就可以解释前面提出的疑问。为了对这类“抽屉问题”有更深的理解，教材在“做一做”中安排了一个“鸽巢问题”，只是数据比例题的稍大。学生可以利用例题中的方法迁移类推，加以解释。
2、例2介绍了另一种类型的“抽屉问题”，即“把多于
个的物体任意分放进个空抽屉（是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（+1）个物体。”实际上，如果设定=1，这类“抽屉问题”就变成了例1的形式。因此，这两类“抽屉问题”在本质上是一致的，例1只是例2的一个特例。教材提供了让学生把5本书放进2个抽屉的情境，在操作的过程中，学生发现不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书，从而产生探究原因的愿望。学生仍然可以采用枚举的方法，把5分解成两个数，有（5，0），（4，1），（3，2）三种情况。在任何一种结果中，总有一个数不小于3。更具一般性的仍然是假设的方法，即先把5本书“平均分成2份”。利用有余数除法5÷2=2„„1可以发现，如果每个抽屉放进2本，还剩1本。把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书了。
研究了“把5本书放进2个抽屉”的问题后，教材又进一步提出“如果一共有7本书，9本书，情况会怎样？”的问题，让学生利用前面的方法进行类推，得出“7本书放进2个抽屉，总有一个抽屉至少放进4本书，9本书放进2个抽屉，总有一个抽屉至少放进5本书”的结论。
在此基础上，让学生观察这几个“抽屉问题”的特点，寻找规律，使学生对这一类“抽屉原理”达到一般性的理解。例如，学生可以通过观察，归纳出“要把（是奇数）本书放进2个抽屉，如果÷2=„„1，那么总有一个抽屉至少有（＋1）本书”的一般性结论。教材第69页的“做一做”延续了第68页“做一做”的情境，在例2的基础上有所扩展，把 “抽屉数”变成了3，要求学生在例2思考方法的基础上进行迁移类推。
设计理念
兴趣是最好的老师，喜欢和好奇心比什么都重要，以“抢座位”，让学生置身游戏中开始学习，为理解抽屉原理埋下伏笔。通过小组合作、动手操作的探究性学习和“鸽子进巢”模拟想象事情情景的发生把抽屉原理较为抽象难懂的内容变为学生感兴趣又易于理解的内容，从而牵引出“平均分”这个更具一般性的方法。特别是对教材中的结论“总有、至少”等字词作了充分的阐释，帮助学生进行较好的“建模”，使复杂问题简单化，简单问题模型化，充分体现了新课标要求。
教材内容分析
《抽屉原理》是义务教育课程标准实验教科书数学六年级下册第五单元数学广角的教学内容。这部分教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“抽屉原理”，使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”加以解决。在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。 “抽屉原理”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。例如，要把三本书放进两个抽屉，至少有一个抽屉里有两本书。这样的道理对于小学生来说，也是很容易理解的。但“抽屉原理”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。因此，“抽屉原理”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
本单元用直观的方式，介绍了“抽屉原理”的两种形式。例1描述的是最简单的“抽屉原理”——把
个物体任意分放进个空抽屉里（
＞，是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。例2描述了“抽屉原理”更为一般的形式：把多于
个物体任意分放进个空抽屉里（是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（+1）个物体。
教学对象分析
“抽屉原理”在生活中运用广泛，学生在生活中常常能遇到实例，但并不能有意识地从数学的角度来理解和运用“抽屉原理”。教学中应有意识地让学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。六年级学生的逻辑思维能力、小组合作能力和动手操作能力都有了较大的提高，加上已有的生活经验，很容易感受到用“抽屉原理”解决问题带来的乐趣。
教学目标
(1)．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
（2）．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。 （3）．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
教学重难点
重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教具、学具准备
若干个纸杯、笔、扑克牌
教学策略
“抽屉原理”应用很广泛且灵活多变，可以解决一些看上去很复杂、觉得无从下手，却又是相当有趣的数学问题。但对于小学生来说，理解和掌握“抽屉原理”还存在着一定的难度。所以，在本节课的教学中我根据学生的认知特点和规律，在设计时我主要运用了产生式教学策略中的数感教学策略和应用意识教学策略两种方式，着眼于开拓学生视野，激发学生兴趣，提高解决问题的能力，通过动手操作、小组活动等方式组织教学。
一、游戏激趣，初步体验抽屉原理。
创设贴近学生生活实际的情景。情境中激发兴趣，兴趣是最好的老师。课前“抢椅子”的小游戏，简单却能真实的反映“抽屉原理”的本质。通过小游戏，一下就抓住学生的注意力，让学生觉得这节课要探究的问题，好玩又有意义。再充分利用学生已有的经验学习数学。
二、讨论交流，操作探究，寻找抽屉原理的一般规律。
这一环节我利用提出问题——验证结论——解决问题——初步建模——运用假设法——发现规律——介绍课外知识等数学活动，引导学生探究抽屉原理的一般规律。
1、提出问题：（1）把3本书、4支笔分别放进2个抽屉、3个文笔筒中，不管怎么放，总有一个抽屉（笔筒）至少放进几本（几枝）。让学生猜测“至少会是”几支？
2、验证结论：不管学生猜测的结论是什么，都要求学生借助实物进行操作，来验证结论。学生以小组为单位进行操作和交流时，教师深入了解学生操作情况，找出列举所有情况的学生并板书。
（1）先请列举所有情况的学生进行汇报，一说明列举的不同情况，二结合操作说明自己的结论。（教师根据学生的回答板书所有的情况）
学生汇报完后，教师再利用多媒体课件，指出每种情况中都有几支铅笔被放进了同一个文具盒。
（2）参与教学策略。由问题产生的参与，是思维的参与。教师充分发挥学生的主观能动性，创设丰富生动、富有挑战性的生活情境，激发学生参与的兴趣，通过问题激发学生主动参与学习活动，积极参与思考、讨论、动手实践、尝试练习，真正做学习的主人。如利用“鸽巢原理”中鸽子的聪明和机智一一占巢以及同学抢座位的做法让学生自然而然想到抽屉原理和“平均分”有着非常紧密的联系，再结合前面学生的动手操作验证平均分的的作用。
（3）合作教学策略。合作策略是指通过教师与学生之间，尤其是学生与学生之间的共同合作，达到某一预期的教学目标。小组学习活动是合作教学中最基本、最常用的形式。培养学生合作交流的习惯是非常重要的。
教学过程
一、课前游戏引入。
上课前，我们先来热身一下，请五位同学一起来玩“抢座位”的游戏。5人抢4个位置，说开始后每人必须坐在位置上。你们先想像一下他们可能的坐后的情景，看老师猜的对不对。
他们都坐下了么？老师不用看就知道“一定有一把椅子上坐了两个同学，对不对？假如请这五位同学再坐，不管怎么坐，总有一张椅子至少坐两个同学，同意么？板书：总有 至少
其实这里蕴含了一个有趣的数学原理，是什么原理呢，它里面又有什么需要我们去探讨呢？
二、通过操作，探究新知
（一）探究例1
1、研究3本书放进2个抽屉里。
（1）要把3 本书放进2个抽屉 ，有几种放法？请同学们想一想，同桌摆一摆，再把你的想法在小组内交流。（提醒学生左2右一与左1右2是同一种方法）
（2）反馈：两种放法：板书 （3，0）和（2，1）
（3）观察这两种放法，同学们有什么发现呢？（总有一个抽屉至少放有2本书） 让孩子们充分地说（仿照抢座位来说）。板书：总有一个抽屉至少放有2本书。
（4）“总有”什么意思？你能用另外一个词代替它（一定有） （5）“至少”有2本什么意思？（最少是2本，2本或者2本以上） 小结：这就是数学上著名的 “抽屉原理”。即把东西放入抽屉里，怎么放，出现什么现象。
2、研究4枝笔放进3个杯子。
（1）现要把4枝笔放进3个杯子里，有几种放法？请同学们4人一小组动手摆一摆，再把你的想法在小组内交流。
（2）反馈：四种放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。多媒体依照学生回答展示放的情况，并把放有2枝或2枝以上的杯子用红线圈出。
（3）从这四种放法，同学们有什么发现？（总有一个杯子至少放有2枝笔） （4）小结：同学们在研究4枝笔放入3个杯子里是也得出了相同的结论。那么你能用抽屉原理告诉老师这里有几个抽屉吗？其实，数学上又把“抽屉原理”叫做“鸽巢原理”。 （5）多媒体出示4个鸽巢 5只鸽子
问：鸽子的进巢情况会怎样，还有前面的结论吗？ 学生想象一下鸽子回巢的情景，小组讨论进巢的实际现象。
（6）引导学生根据前面抢座位游戏，再结合聪明的鸽子进巢情景模拟试验，说明“抽屉原理”也就是“鸽巢原理”和“平均分”有关（突破难点）。由平均分引出除法算式。
（7）师生总结：如要能一眼看出摆放结果，利用平均分（除法算式）比列举法要简单、明了、方便的多
（8）学生用除法算式表示前面游戏和3个活动。叫生板演。
3、（1）把6枝笔放进5个杯子，是不是总有一个杯子至少有2枝笔？为什么？
把7枝笔放进6个杯子，是不是总有一个杯子至少有2枝笔？为什么？
把100枝笔放进99个杯子，是不是总有一个杯子至少有2枝笔？为什么？ （2）从刚才我们的探究活动中，你有什么发现？小组交流。汇报：只要放的笔比杯子的数量多1，总有一个杯子里至少放进2枝笔。提示学生用字母表示N+1个笔放进N个杯子里，总有一个杯子里至少有两枝笔。
（3）如果笔数比杯子数多2呢？多3呢？是不是也能得到结论：“总有一个杯子至少有2枝笔。”摆一摆，说一说。
（4）小结：刚才我们分析了把笔放进杯子的情况，只要笔数量多于杯子数量时，总有一个杯子至少放进2枝笔。
（5）如果7只鸽子飞进5个鸽巢，情况怎样呢？8只呢（多媒体出示） 同桌交流，汇报， （6）写出除法算式，总结结论。
（二）探究例2
1、研究把5本书放进2个抽屉中。 （1）多媒体出示 5本书 2个抽屉 会有几种放置情况？学生动手放并反馈 （5，0）、（4，1）和（3，2）
（2）从三种情况中，我们可以得到怎样的结论呢？（每一种放法里总有一个抽屉至少放进了3本书）
（3）最能一眼看出结论的是哪种方法：即先在每个抽屉里放进2本书，剩下的1本书放进任何一个抽屉中，这个抽屉就有3本书了。也就是平均分，用算式表示是：5÷2=2„1（商2表示什么，余数1表示什么）
2、类推：如果把7本书放进2个抽屉中，总有一个抽屉至少放进4本书。
如果把9个本书放进2个抽屉中。总有一个抽屉至少放5本书。
如果把11本书放进3个抽屉中。至少有一个抽屉放进4本书。
3、板书算式后提问：现在你们又有什么发现，放置结果的至少数又有什么规律？小组讨论后互相说说并汇报结论。得出；
至少数 = 商+1 问：如果没有余数结论是什么 （至少数 =商 ）
这就是今天我们学习的“抽屉原理”的一个小奥秘。经过刚才的探索研究，我们经历了一个很不简单的思维过程，个个都是了不起的数学家。 其实“ 抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。（多媒体显示抽屉原理的来历）
4、在我们的生活中，常常会遇到抽屉原理，如课前我们玩的游戏。
5、小结：从以上的学习中，我们发现在解决抽屉原理时，我们是把物体尽可量多地“平均分”给各个抽屉，总有一个抽屉比平均分得的物体数多1。）
三、迁移与拓展
下面我们一起来放松一下，做个小游戏。
（1）我这里有一副扑克牌，去掉了两张王牌，还剩52张，我请五位同学每人任意抽1张，听清要求，不要让别人看到你抽的是什么牌。请大家猜测一下，同种花色的至少有几张？为什么？任意抽出来的五张至少有几张是同一种颜色的？
（2）在我们班的任意13人中，总有至少几个人的属相相同，想一想，为什么？
（3）六（1）班有学生55人，我们可以肯定，在这55人中，至少有 人的生日在同一个月？想一想，为什么？
（4）多媒体出示：数学家波沙童年的故事。
匈牙利现代数学家厄尔迪斯说过这样一句名言：“数学家就是将咖啡变为定理的机器。”
有一次厄尔迪斯听说本国有个9岁的神童叫波沙，他便专程到布达佩斯去看他。见面后，他问波沙：“从
1、
2、3„„100中任意取51个不相同的数，其中必有两个互质，这是为什么？” 波沙正在喝咖啡，他用汤匙在杯子里搅了几下，然后就轻松地回答了这个看似简单却又难以回答的问题：“将
1、
2、3„„100分成50个组，每组两个相邻的数为1，2|3，4|„„|99，100|。如果每组中各取一个数，那么至多只能取出50个数。因此如果取出51个数，那么必有一组的两个数都被取出。而每两个相邻的自然数互质，因此取出的51个数中必有两个数互质。
这里就运用到了我们今天所学的抽屉原理的相关知识。 这节课你有哪些收获呢？
老师对你们利用抽屉原理解决实际问题充满了信心，希望你们再接再厉！
四、总结全课
五、布置作业。
2、做一做:（出示幻灯片）
(1)张叔叔参加飞镖比赛投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。这是为什么？
(2)某班有32名小朋友是在8月份出生的,能否找到两个在同一天过生日的小朋友?为什么? (3)小明和小刚掷色子,小明说:“我掷了7次，至少有2次点数相同。”小明说得对吗？为什么？
（六）板书设计
抽屉原理
总有（一个抽屉）至少放有：商＋1
3÷2＝1（本）„„1（本） 2（3，0）（2，1） 4÷3＝1（枝）„„1（枝） 2（4，0，0）（3，1，0）
2（2，2，0）（2，1，0）
5÷4＝1（只）„„1（只） 2 7÷5＝1（只）„„2（只） 2 8÷5＝1（只）„„3（只） 2 5÷2＝2（本）„„1（本） 3 7÷2＝3（本）„„1（本） 4 9÷2＝4（本）„„1（本） 5 11÷3＝3（本）„„2（本） 4
至少数=商+1
