数学广角---抽屉原理
【教学内容】
《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第70、71页，例
1、例2.【教材分析】
抽屉原理是人教版六年级下册第五单元数学广角的内容。本单元内容通过几个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍“抽屉原理”。使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用抽屉原理加以解决。 “抽屉原理”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但“抽屉原理”的应用却是千变万化的，它可以解决许多有趣的问题，并能常常得到一些令人惊异的结果。本单元用直观的方法，介绍了“抽屉原理”的两种形式，并安排了很多具体问题和变式，帮助学生加深理解，学会利用“抽屉问题”解决简单的实际问题。在此过程中，让学生初步经历“数学证明”的过程。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。还要注意培养学生的“模型”思想，这个过程是将具体问题“数学化”的过程，能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生数学思维和能力的重要方面。
【学情分析】
六年级学生既好动又内敛，教师一方面要适当引导，激发学生的学习兴趣，鼓励学生借助学具、实物操作、或画草图的的方式进行“说理”；另一方面要创造条件和机会，让学生充分发表自己的见解，发挥学生学习的主体性，重在让学生经历知识发生、发展的过程，而不是只求结论。“抽屉原理”在生活中应用广泛，学生在生活中也常常能遇到实例，但并不能从数学的角度来理解和运用“抽屉原理”，因此教学中应有意识地让学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。六年级学生的逻辑思维能力、小组合作能力和动手操作能力都有了较大的提高，加上已有的生活经验，很容易感受到用“抽屉原理”解决问题带来的乐趣。 【设计理念】
本课充分利用学生的生活经验，为学生自主探索提供时间和空间，引导学生通过观察、实践、推理和交流等活动，经历探究“抽屉原理”的过程，学会用一般性的数学方法思考问题，培养学生的数学思维能力，发展学生解决问题的能力。通过小组合作，动手操作的探究性学习把抽屉原理较为抽象难懂的内容变为学生感兴趣又易于理解的知识，帮助学生“建立模型”，使复杂问题简单化，简单问题模型化。 【教学目标】
1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2． 通过动手操作发展学生的类推能力，形成比较抽象概括的数学思维。 3． 通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。 【教学重点】 经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 【教学难点】
理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。 【教具、学具准备】
课件、每组都有相应数量的杯子、铅笔、小组合作研究记录表。 【教学过程】
一、导入
课件出示：
1、老师任意点13位同学就可以肯定，至少有2个同学的生日是在同一个月，你们信吗？
2、老师可以肯定，在全校任意的367名同学中，至少有2名同学是在同一天过生日，你们信吗？
【设计意图：从学生身边感兴趣的生日日期开始，让学生初步体验，一定会存在至少有两名同学的生日在同一个月或同一天的，使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象，激发了学生的学习兴趣，为后面的学习活动做好了铺垫。】
二、【一】动手操作，感知模型。 师：刚才老师为什么能做出准确的判断呢？因为在这里面中蕴含着一个有趣的数学原理，同学们想不想通过动手操作来发现它？我们先从最简单的情况入手。
1、动手操作，（课件出示）
小组合作研究：把4枝铅笔放进3个杯子，怎么放？有几种不同的放法，填写在记录表1中。
学生动手操作、交流，师巡视、指导。
2、全班交流：
师：哪个小组愿意到前边展示一下你们的研究结果？
学生把小组合作研究记录表1放到展台上，边演示边说方法。 师：其他组还有不同的表示方法吗？
师：用数字表示的一组学生展示，并说出了用数字表示更简洁方便。 师：观察这四种方法，它们有什么共同点吗？ 师：能把你的发现完整的说一下吗？ 师：总有是什么意思？至少什么意思？ 师：你们的发现和他一样吗？ 让学生充分发表自己的见解。 师：其他同学听明白了吗？
师：像刚才这样我们把所有情况都一一列举出来，从而得出结论的方法，叫枚举法。(板书：枚举法)
3、再次交流
师：请同学们小组讨论下：有没有哪种方法一下子就可以知道结论？ 小组讨论。
师：说说你的想法。
生：先往每个杯子里放一枝铅笔，这样还剩下一枝，剩下的这一枝随便放入一个杯子就行了。 师:听明白了吗? 师：看来有的同学还不太懂，你到前边来给大家演示一下吧。
（一边演示一边说）先往每个杯子里放一枝铅笔，这样还剩下一枝，剩下的这一枝随便放入一个杯子就行了。 师：现在听明白了吗？
师课件演示：如果每个杯子里放1枝铅笔，最多放（ ）枝铅笔，
剩下的（ ）枝铅笔，还要放进其中的一个杯子里，
所以，总有一个杯子里至少放（ ）枝铅笔。
师质疑：这其实是什么分法？
师：在数学中，这种方法叫做假设法，但这其实就是先将四枝铅笔平均分，余下的一枝放入其中任意一个杯子。
师：既然是平均分，能用算式表示吗？ 生说算式，师板书。
师：商1和余数1意义相同吗？ 师小结：商1指的是放进去的一枝，余数1指剩下的那一枝。在解决这类问题时，用平均分的方法比较简便。 【设计意图：通过让学生自己动手操作，用枚举法找出四枝铅笔放入三个杯子的所有方法，观察总结概括出四种方法的共同点，即总有一个杯子里至少有2枝铅笔，让学生充分理解“总有”、“至少”的含义。】 【二】逐步深入，建立模型。
1、初建模型
师：如果把5枝铅笔放进4个杯子，还是不管怎么放,总有一个杯子里至少有2枝铅笔吗？为什么会有这样结果呢？ 学生回答。
师：你怎么想的？学生说想法。
师：能用算式表示吗？学生回答，师板书算式。 师：如果把6枝铅笔放进5个杯子呢？学生回答。 师：用算式表示是？学生回答，师板书算式。 课件出示：
把7枝铅笔放进6个杯子呢？ 把8枝铅笔放进7个杯子呢？ 把10枝铅笔放进9个杯子呢？
把1000枝铅笔放入999个杯子呢？ 学生回答。
师：你有什么发现？ 学生总结。
师小结：当铅笔数比杯子数多1时，总有一个杯子至少有2枝铅笔。
【设计意图：此环节让学生充分体会用平均分的好处，用除法算式表示出来，形象直观，便于学生理解，帮助学生建立模型。】
2、完善模型 师：如果铅笔的数量不是比杯子的数量多1呢？这个结论还成立吗？ 师：把5枝铅笔放入3个杯子，总有一个杯子里至少有几支铅笔？ 可以和你组里的同学交流一下。
1、2组用枚举法，
3、4组用假设法。 师：谁想说说你们的结论？ 指一组汇报。
先让得出“总有一个杯子里至少有3枝铅笔”的学生说想法。 其他组的同学提出疑问。
师：可以用算式表示吗？学生说算式，师板书。
师：把7枝铅笔放入4个杯子，你能得出什么结论？学生说想法。 师：把9枝铅笔放入5个杯子呢？
师：观察黑板上这些算式？你有什么发现？ 学生总结发现。
师小结：是不是不管怎么放，总有一个杯子里至少有商加1枝铅笔呢？
【设计意图：通过小组合作，学生之间争论，使学生理解余数不是1的情况，要保证至少余数也要尽量平均分，将过程用除法算式表示出来，为总结至少数与商、余数的关系做好铺垫。】 【三】深入研究，验证模型
师：刚才同学们都表现得非常棒，老师有几道难题想请教大家，愿意帮忙吗？ 课件出示题目：
把5枝铅笔放进2个笔筒里， 把15枝铅笔放进4个笔筒里， 把54枝铅笔放进7个笔筒里， 把70枝铅笔放进8个笔筒里，
不管怎么放，总有一个杯子里至少有几枝铅笔？ 小组合作，共同完成。 教师巡视、指导。
师：那个小组愿意展示一下？ 指一组展示交流。
师：你们的结果和他们组一样吗？ 师：说说你们组有什么发现？
生：总有一个杯子里至少有商加1枝铅笔。 师：你们的发现和他们相同吗？ 根据学生的回答板书：商+1 师：同学们发现的这一规律，其实就是一个非常著名的数学原理，也是我们今天研究的“抽屉原理”（板书课题）。
师：一起看大屏幕（介绍抽屉原理的相关知识）
最先发现这些规律的人是谁呢？他就是德国数学家“狄里克雷”，后来人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原 理”，还把它叫做 “抽屉原理”。
师：抽屉原理虽然简单，却能解决许多有趣的问题。运用它时，关键是要找出谁是“抽屉”，谁是“物体”。像刚才的问题中，谁相当于“抽屉”？谁相当于“物体”？ 师在铅笔最下面板书：物体，在杯子最下面板书：抽屉。
师：现在，你能利用这一原理揭秘课前的老师的两个肯定了吗？学生利用原理解释。
【设计意图：通过小组合作，解决四个问题，验证刚才得出的结论即“至少数=商+1”是否适用商不是1的情况，用得到的原理揭秘课前魔术，进一步巩固模型。 【四】利用模型，解决问题
1、师：抽屉原理不仅在数学中有用，在现实生活中也随处可见。你能举出生活中应用抽屉原理的例子吗？ 学生举例并利用原理作出解释。
2、课件出示12星座图。
师：现在非常流行用星座测性格，用星座测运势，你们信吗？ 师：（找不信的说）你为什么不信？ 学生解释。
师：全国13亿人中，至少有多少人是同一星座啊？
师：我们要相信科学，用科学的眼光去看待问题，用科学的方式去分析问题，用科学的方法去解决问题。
【设计意图：此环节是让学生用建立的模型解决问题，通过“抽屉原理”的灵活应用体会数学有用，感受数学的魅力，引导学生用科学的眼光去看待问题，用科学的方式去分析问题，用科学的方法去解决问题。】
三、全课总结：这节课你有什么收获？ 【板书设计】
抽屉原理
铅笔 杯子 总有一个杯子里至少有 4 ÷ 3= 1„„1 2 5 ÷ 4= 1„„1 2 枚举法：（4，0，0）（3，1，0） 6 ÷ 5= 1„„1 2 （2，2，0）（2，1，1） 5 ÷ 3= 1„„2 2 假设法 7 ÷ 4= 1„„3 2 9 ÷ 5= 1„„4 2 5 ÷ 2= 2„„1 3 15 ÷ 3= 3„„3 4 物体 抽屉 商+1
