化繁为简 建构模型
---《抽屉原理》教学有效性研究与思考
枣阳市第四实验小学 乔海燕
一、文本解读
（一）教材的定位与价值
人教版教材利用数学广角系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的、以解决学生容易接受的生活问题的形式呈现出来。使学生通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有序地、严密地思考问题的意识，同时使他们逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。
数学广角在每一个学段都有不同的要求。在第一学段要求以“操作实践”为主题，引导学生通过“操作实践”的活动来展开探究，使他们体验到现实生活中隐含着数学知识，同时初步培养他们观察、操作及归纳推理的能力；第二学段要求以“抽象建模”为主题，在继续强调实践与经验的基础上，增强“抽象建模”的要求，不仅使学生理解并初步掌握一些数学思想、模型，同时努力提高他们用数学解决实际问题的能力，逐步形成有序、严密抽象思考问题的意识和习惯。
（二）教材和学情分析
《抽屉原理》是人教版课程标准实验教科书数学六年级下册的最后一个《数学广角》。教材用直观的方式介绍抽屉原理中两种形式：①把n+1个物体放进n个抽屉，那么一定有一个抽屉放进了至少2个物体（n是非0自然数）②把多于kn个物体放进n个抽屉，那么一定有一个抽屉放进了至少k+1个物体。教材着眼于学生数学思维的发展，通过让学生猜测、实验操作、验证、假设推理等活动，“建立数学模型,培养学生观察比较、动手操作、逻辑推理以及语言表达等能力，努力提高他们分析和解决问题的能力。课前我对学生进行了口头问题调查：
（1）把3个苹果放进两个抽屉，至少有几个苹果放进同一个抽屉？ （2）公交车上上来了4个人，但是只有3个座位，要想4个人都坐下，至少几个人坐在同一个座位上？
1 （3）一年有12个月，那么13个同学至少几个同学在同一个月过生日？ 对于这三个问题的回答,有说1个的，有说两个的，甚至有说0的。我也把这些问题提给许多老师，他们也同样问我: “为什么结论不是:不管怎么放，总有一个抽屉里至少放1个物体呢?”看起来，要真正理解抽屉原理，确实存在着不小的困难。根据以上的调查与分析，通过对教材的解读，我们认为《抽屉原理》的教学与研究，就是如何引导学生经历数学思维和数学建模的过程，经历应用数学模型解决问题的过程，获得解决问题的思想方法，架起数学与生活的桥梁。为此，我们确定了本节课的教学目标和教学策略。
（三）教学目标与重难点
1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
2．通过操作发展学生的归纳推理的能力，形成比较抽象的数学思维。
3．会用“抽屉原理”解决简单的实际问题，感受数学的魅力。 教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。 教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
二、教学过程与策略
1、创设情景，初步感知
教学情景的创设，不仅要激发学生的学习积极性，更要重视情景导入的实效性。本节课设计的“抢凳子”游戏，其实就是一个能真实反映“抽屉原理”本质的现象，不单单只起到导入新课的作用，更重要的是要为本节课的学习做好铺垫。（视频1）这节课最大的难点在于理解和准确描述“抽屉原理”。“总有一个杯子里至少放两根小棒”，这句话将贯穿于整个课堂教学过程中，但这句话却很“拗口”，而且难以理解。怎样让学生在理解的基础上自然而然地来运用它呢？突破了这一点，后面的教学才能顺利地展开。于是，我就通过“抢凳子”游戏，来帮助学生理解“总有”和“至少”这两个关键词，为后面的教学做好铺垫。游戏结束,告诉学生,这个游戏蕴涵着有趣的数学原理叫做“抽屉原理”。同时又抓住时机提出“看到这个课题，你想知道什么？”让学生提出自己的疑问，带着问题来学习，也激发了学生探究的兴趣和学习积极性。
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2、操作探究，建立模型
高效课堂的理念是自主、合作、探究。如何实现课堂的高效性，引导学生经历数学思维和数学建模的过程，经历应用数学模型解决问题的过程，是我们思考和设计的重点。
（1）化繁为简，初步理解
我们把复杂的抽屉问题采取化繁为简的方法，用小棒和杯子来研究。（视频）从最简单的数据入手，采用列举法，通过学生动手摆一摆、想一想、组内议一议的过程，把抽象的说理用具体的实物演示出来，并提供给学生充分交流与展示的空间与时间， 化抽象为具体，发现并描述、理解了最简单的“抽屉原理”。
（2）猜测验证，发现规律
在学生能简单进行描述的基础上，引导学生理解抽屉原理的一般化模型。（视频）先让学生类推猜测6根小棒放入5个杯子里会有什么结果，然后提出如何验证，让学生借助直观操作发现，把小棒尽量多的“平均分”到各个杯子里，看每个杯子里能分到多少根小棒，剩下的小棒不管放到哪个杯子里，总有一个杯子比平均分得的小棒数多1根，还可以用有余数的除法来表示这一数学规律。大量列举之后，再引导学生总结归纳这一类“抽屉问题”的一般规律，即“小棒数比杯子数多1时，总有一个杯子里至少有2根小棒”。
（3）深入研究，建构模型
教学进行到此处，学生的探究欲望被充分的挖掘。我不失时机的又提出：小棒数比杯子数多2甚至多
3、多4„的情况下，又会出现什么样的结果呢？激发学生继续深入开展探究活动。（视频）通过学生归纳总结的规律：求至少数的方法到底是“商＋余数”还是“商＋１”，引发学生的思维步步深入，并通过讨论和说理活动，使学生经历了一个初步的“数学证明”的过程，在小组交流与全班交流的过程中，充分展示学生的思维过程，建立数学模型，培养了学生的推理能力和初步的逻辑能力，加深学生对知识的理解的同时，各项能力得到发展。
3、解释应用，回归生活
当研究结束，告诉学生我们所研究的这个规律就是“抽屉原理”，这个时候，学生对于课前提出的问题已找到了答案。然后再出示其它简单、真实的生活情境，让学生用学过的知识来解释这些现象，有效的将学生的自主探究学习延伸到课
3 外，体现了“数学来源于生活，又还原于生活”的理念。
三、教学反思与困惑
反思这节课的教学，我们根据学生的认知特点和规律，在设计时着眼于学生数学思维的发展，注重为为学生提供自主探索的空间，运用“创设情境---建立模型---解释应用”的教学模式，化繁为简，创设一些活动，通过猜测、验证、观察、分析归纳等数学活动，引导学生自主探究，经历探究“抽屉原理”的过程，建立数学模型，初步了解“抽屉原理”，并能够应用于实际，在此过程中学会科学地探究解决问题的方法，培养学生迁移类推的数学思想。但是在教学实践中，我们对抽屉原理的教学也存在一定的困惑。
“抽屉问题”的变式很多，如何将具体问题“数学化”，从纷繁芜杂的显示素材中找出最本质的数学模型，把生活实际中的具体问题与数学模型对接起来？
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