课外拓展
进货次数问题探讨
题目 某公司某年需要某种计算机元件8000个，在一年内连续作业组装成整机卖出（每天需同样多的元件用手组装，并随时运出整机至市场），该元件向外购买进货，每次（不论购买多少件）须花手续费500元，如一次进货，可少花手续费，但8000个元件的保管费很可观，如果多次进货，手续费多了，但可节省保管费，请你帮该公司出个主意，每年进货几次为宜，该公司的库存保管费可按下述方法计算：每个元件每年2元，并可按比例折算成更短的时间：如每个元件保管一天的费用为件的买价、运输费及其他费用假设为一常数．
元（一年按360天计算）．每个元解： 设购进8000个元件的总费用为F，一年总保管费为E，手续费为H，元件买价、运输费及其他费用为C（C为常数），则 F=E＋H＋C.
如果每年进货n次，则每次进货个，用完这些元件的时间是年．进货后，因连续作业组装，一年后保管数量只有（－a）个（a为一天所需元件），两天后只有（－2a）个，……，因此年中个元件的保管费可按平均数计算，即相当于个保管了年，每个元件保管年须元，在这年中个元件的保管费为.每进货一次，花保管费En元，一共n次，故
当且仅当为宜．
=n·500，即n=4时，总费用最少，故以每年进货4次说明： 这道寻求最佳进货次数的问题，是北京市首届“方正杯”中学生数学知识应用竞赛初赛试题（1993.11），求解的关键数学知识是“的极小值是”. 周知识概述
本周学习第六章不等式的性质和算术平均数与几何平均数两部分内容，前一部分中，主要用于讲述实数运算性质和大小顺序之间的关系，从而掌握比较两个实数大小关系的方法；在此基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了证明．不等式的其他性质都可由它们推导出来．第二部分中课本首先证明了一个重要的不等式a＋b≥2ab，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理．利用均值不等式求函数的最值问题，这是均值不等式的一个重要应用。最后通过例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用.
二、重难点知识选讲
1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系
不等式的等价性：两个实数、b比较大小，有大于、等于、小于之别，且有，
（1）＞b －b＞0；（2）=b
－b=0；（3）＜b
－b＜0.
2
2等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式以及解不等式的主要依据.
本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小.
用作差法比较两实数的大小，其步骤为①作差；②变形；③判断差的正负．在解题中应加强化归意识，把比较大小与实数减法运算联系起来，利用实数的运算性质解决比较大小的问题.例
1、已知，b∈R+ ,求证：[分析与解答] 分析：
比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.证明此题要注意分类讨论。 证明：nn
＋b≥
nn-
1b＋b
n-1
．（nN）
＋b －(nn-1b＋b ) =(n-1n-1
－b)－b(
n-1n-1
－b ) =(－b)(
n-1n-1
－b)
n-1 若＞b
若=b(－b)( n-1－b )=0.若＜bn-1
综上,≥O,即
n
＋b
－(n-1b＋b n-1)≥O∴
nn
＋b ≥
nn-1
b＋b ．
n-1小结： 比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.
2、不等式的性质、推论及证明
不等式的五个性质和三个推论是不等式这一章的理论依据。
（1）＞b
（3）＞bb＜；（反身性）
（2）＞b，b＞c
＞c；（传递性）
＋c＞b＋c；（两边同加数号不变）；推论：移项法则.
（4）；（两边同乘正数号不变）；
（5）；（两边同乘负数号改变）；推论：去系数法则.
（6）；（同向相加） （7）；（异向相减）
（8）；（同向相乘）
（9）；（异向相除）
（10）＞b（倒数关系）
（11）＞b＞0n＞b n（nN+）；（不等式的幂）
（12）＞b＞0
2（nN+）；（不等式的方根）
例
2、已知f(x)=px－q，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.[分析与解答] 分析：
本题可考虑将f(3)写成f(1)，f(2)的线性组合，即f(3)=mf(1)＋nf(2)的形式，然后用不等式的运算性质推算f(3)的取值范围.解答：依题意，有
点评：
（1）这种类型题目常见的错误是：
由，加减消元得0≤p≤3，1≤q≤7，
从而得－7≤f(3)＝9p－q≤26，事实上，f(3)不可能取到[－7，26]上的一切值.
p，q是两个相互联系，相互制约的量，在得出0≤p≤3，1≤q≤7后，并不意味着p、q可以独立地取得区间[0，3]及[1，7]上的一切值，例如p=0，q=7时，p－q=－7已不满足－4≤p－q≤－1.
（2）依不等式的性质求变量的范围是一种常见的题型，变形不等式时要防止扩大了变量的范围.
例
3、（1）已知30
（2）已知a，b，x，y都是正数，且，求证：
[分析与解答] 分析：（1）同向不等式不能相除，应先求出的取值范围.
（2）注意运用取倒法则，优化解题过程.解：
（1）
（2）．
小结：不等式的性质中讲了加法和乘法运算，对于减法和除法必须转化为加法和乘法来运算，千万不能把等式的减、除法运算平移到不等式的运算中来.
3、算术平均数与几何平均数
若a、b∈R，那么a＋b≥2ab（当且仅当a=b时取等号）通常称为重要不等式．两正数a，b的算术平22均数，几何平均数，平方平均数，调和平均数的大小关系为H≤G≤A≤Q（等号当且仅当a=b时取得），这也称作均值不等式.运用重要不等式和均值不等式，可以比较大小，证明不等式，求最值．
基本不等式有：
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，；
⑥，.例
4、已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c=1，求证：
[分析与解答] 分析：
在不等式证明中，几个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.证明：
（1） ∵ a＋b＋c=1，且a＋b＋c∈R.
＋
＋
（2）∵ a，b，c∈R且a＋b＋c=1.
（3）∵ a，b，c∈R且a＋b＋c=1.＋
小结：
以上各小题在证题过程中，或是将分子的1看作a＋b＋c，然后拆项，或是将原代数式乘以一个值为1 的因式（a＋b＋c）以利用整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要.
2利用基本不等式求最值：
①当成立； ③若时，不等式为定值，不等式即为
成立； ②当且仅当
，当且仅当
时，不等式时，
有最小值
中，“等号”；
④若为定值，不等式即为，当且仅当时，有最大值；
注：以上简称“和小积大”；有否最值的关键为是否有定值，且当时，能否求出解来.例
5、已知a，b为正数，且，求的最大值以及达到最大值时a，b的值.
[分析与解答] 分析：
分析条件与结论之间的关系是非常重要的解题步骤.
本题条件，结论的最大值，所以必须把结论中a进入根号内，即是用条件的第一步，而条件中的的b系数为，还得继续变换结论解析式的形式，即：
2 ，
再用均值不等式就完成了这一转化过程.解答：∵a，b为正数.
当时， 即时取等号.
∴ 当时，的最大值为
点评：在求解过程中，不要急于运用均值不等式，使解答陷入僵局．
例
6、如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）
[分析与解答] 析：
先由面积列出a，b的方程，由题意将问题转化为使ab取最大值时a、b的值.解法一：
依题意，即所求的a，b值使ab最大.
由题设知 4b＋2ab＋2a=60（a>0，b>0）
即 a＋2b＋ab=30（a>0，b>0）
当且仅当a=2b时，上式取等号.
