高考几何证明选讲分析

几何证明选讲

1．（2010·陕西高考理科·Ｔ１5）如图,已知RtABC的两条直角边AC,BC 的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D, 则BDDA

【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题 【思路点拨】条件RtADCRtADCRtACB

ADAC

ACAB

ADBD结论

【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以ADC900,ADC为RtADC，

ADAC

ACAB

AC

2RtADCRtACB,,AD

AB



9

5,BDABAD5

95



165

，



BDDA



169169

【答案】

2．（2010·陕西高考文科·Ｔ１5）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题 【思路点拨】条件RtADCRtADCRtACB

ADAC

ACAB

ADBD

【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以ADC90,ADC为RtADC，

RtADCRtACB,

165

ADAC



ACAB

,AD

AC

2AB



95

,BDABAD5

95



165

，

【答案】

3．（2010·北京高考理科·Ｔ１2）如图，O的弦ED，CB的延长线 交于点A。若BDAE，AB＝4, BC＝2, AD＝

3,

- 1 -

则DE＝；CE＝。 【命题立意】本题考查几何证明的知识。 运用割线定理是解决本题的突破口。

【思路点拨】本题可由相交弦定理求出DE，再利用三个直角三角形RtABD,RtBDE ,RtBCE中求CE。

【规范解答】由割线定理得，ABACADAE，即463AE，得AE8。DE835。连接BE，因为BDAE，所以BE为直径，所以BCE900。在Rt

ABD中，BD在Rt

BDE中BE

Rt

BCE中，CE



。

A

【答案】527

4．（2010·天津高考文科·Ｔ１1）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和 DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则

BCAD

的值为。

【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。 【思路点拨】利用相似三角形的性质转化。 【规范解答】由题意可知BCP∽ADP相似， 所以

BPBC

13 PDAD



1BC



3AD



BCAD

1

3。

【答案】

5．（2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若

PBPA

=

1PC1BC

,=,则的值为2PD3AD

【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。 【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。 【规范解答】由题意可知BCP∽ADP相似， 所以

BCAD

PCAP

PBPD

,由

PCAP



PBPD

及已知条件

PBPA

=

1PC

1,= 2PD3

可得

PCPB

22

=

23

PCPB

=

,又

BCAD



PCPB

,

BCAD



。

【答案】

66．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，

AB=AD=a，CD=

a2

，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.【命题立意】本题主要考察平面几何中直角梯形以及三角形中位线的性质.【思路点拨】利用直角梯形的性质，求出DB，再利用三角形中位线的性质，求出EF.【规范解答】过连接DE，则四边形EBCD为矩形，所以DEAB且

EBDC

a2

，所以， ABa,  AEEB

a2

, 所以ABD是以AB为底的等腰三角形，即：

12DB

a2.

又点E，F分别为线段AB，CD的中点，所以EF为ABD的中位线，所以EFDADB=a，【答案】2

a

7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=

2a3

，∠OAP=30°，则CP＝

______.

【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.

【思路点拨】由垂径定理得OPAB，算出AP，再由相交弦定理求出CP.【规范解答】因为P为AB的中点，由垂径定理得OPAB，在Rt

OPA中，

BPAPacos30



a，由相交弦定理得：BPAPCP

DP，即2

a)CP

23

a，

解得CP【答案】

988

a.

.

9a

8.（2010·江苏高考·Ｔ2１）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

【命题立意】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。 【思路点拨】利用圆心角和圆周角之间的关系证明OB=BC=OD=O即可.【规范解答】方法一：连结OD，则：OD⊥DC， 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO， 所以∠DCO=30，∠DOC=60，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。 方法二：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90，AB=2 OB。 因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA， 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。 即2OB=OB+BC，得OB=BC。 故AB=2BC。

9．（2010·辽宁高考理科·Ｔ22）如图，ABC的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E （I）证明：ABE

ADC

1

2ADAE，求BAC的大小。

（II）若ABC的面积S

【命题立意】本题考查了几何证明，相似三角形判定和性质，圆周角定理，考查了三角形的面积公式等。

【思路点拨】（I）先相等的两角，再证相似。

（II）先由三角形相似，得到AB·AC=AD·AE再比较三角形的面积公式，得到sin∠BAC,进而

求出∠BAC。

【规范解答】

(I)由已知条件，可得BAE＝CAD因为AEB与ACB是同弧上的圆周角， 所以AEB＝ACD

所以△ABE∽△ADC （II）因为△ABE∽△ADC 所以

ABAE12＝ADAC

，即ABAC＝ADAE，

12

ADAE，

又S＝ABACsinBAC,且S＝

所以ABACsinBAC＝ADAE，

所以sinBAC1,又BAC为三角形的内角，所以BAC＝90。

o

， ACBD10.（2010 海南高考理科T22）如图：已知圆上的弧

过C点的圆的切线与BA的延长线交于 E点，证明：

（Ⅰ）ACE=BCD.（Ⅱ）BC2=BECD.

【命题立意】本题主要考查了圆的切线、等弧所对的圆心角相等等知识.

【思路点拨】熟练利用等弧所对的圆心角相等，判断出三角形相似，然后证明问题.

,所以BCDABC.ACBD【规范解答】（Ⅰ）因为

又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC

所以ACEBCD.

（Ⅱ）因为ECBCDB,EBCBCD,

所以BDCECB,故

BCBE



CDBC

.

即BCBECD.

11．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如图1所示，过PA=2，点P到

外一点P作一条直线与

交于A,B两点。已知

的切线上PT=4，则弦的长为。

【命题立意】以直线和圆立意，考查处理平面问题的一种方法：平面几何法.【思路点拨】割切→切割线定理

【规范解答】∵PT=4，PA=2，PT2=PA·PB，∴PB=8，∴AB=PB-PA=6，∴弦长

AB=6

【答案】6

【方法技巧】弦→连接弦中点和圆心，切→连接切点和圆心，联想弦切角等于同弧所对的圆周角，割→切割线定理.

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