推荐第1篇：几何证明题
几何证明题集（七年级下册）
姓名：_________班级：_______
一、
互补”。
E
D
二、证明下列各题：
1、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠D，求证：DB//EC.E D
3ACB
2、如图，已知AD//BC，∠1=∠B，求证：AB//DE.
AD
12 BCE
3、如图，已知∠1+∠2=1800，求证：∠3=∠4.EC
A1 O
23
4B
D F
4、如图，已知DF//AC，∠C=∠D,求证：∠AMB=∠ENF.
E DF
N
M
AC B
5、如图，在三角形ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC上的点且DE//BC、EF//AB，求证：∠ADE=∠EFC.C
EF
AB D
6、如图，已知EC、FD与直A线AB交于C、D两点且∠1=∠2，
1求证：CE//DF.CE
FD
2B
7、如图，已知∠ABC=∠ADC，BF和DE分别是∠ABC和∠ADC的平分线，AB//CD，求证：DE//BF.FDC
A E
8、如图，已知AC//DE，DC//EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED.
B
F
ED
AC
9、如图,AB⊥BF,CD⊥BF, ∠A=∠C,求证: ∠AEB=∠F.C
1 FBDE
10、如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求证：DG//AB.
A
EG
12 BCDF
11、在三角形ABC中，AD⊥BC于D，G是AC上任一点，GE⊥BC于E，GE的延长线与BA的延长线交于F，∠BAD=∠CAD，求证：∠AGF=∠F.F
A
G
BCDE
12、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5，求证：CE//DF.
F
E 4G1AD 5 2B
13、如图，AB//CD，求证：∠BCD=∠B+∠D.A
CBED
14、如上图，已知∠BCD=∠B+∠D，求证：AB//CD.
15、如图，AB//CD，求证：∠BCD=∠B-∠D.BA
ED
C
16、如上图，已知∠BCD=∠B-∠D，求证：AB//CD.
17、如图，AB//CD，求证：∠B+∠D+∠BED=3600.BA
E
DC
18、如上图，已知∠B+∠D+∠BED=3600，求证：AB//CD.
推荐第2篇：几何证明题
几何证明题
1.
在三角形ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中点,BD与CE相交于点O,BO与OD的长度有什么关系?BC边上的中线是否一定过点O?为什么?
答题要求:请写出详细的证明过程，越详细越好.
ED平行且等于1/2BC
取MN为BO,OC中点
则MN平行且等于1/2BC
得到ED平行且等于MN，则EDNM是平行四边形
则OD=OM,又M为BO中点，显然BO=2OD
一定过
假设BC中线不经过O点，而与BD交与O\'
同理可证AO\'=2O\'G
再可由平行四边形定理得到O与O\'重合
所以必过O点
2.
在直角梯形ABCD中，角B=角C=90度，AB=BC，M为BC边上一点。且角DMC=45度
求证：AD=AM
(1)几何证明题,首先画图
哎没图不好说啊
就空说吧你在纸上画图
先看已知条件,从已知条件得出直观的结论.
因为M是BC边上一点,在三角形DMC中,角DMC=45度,角MCD=角C=90度,可以知道角MDC=45度,则三角形DMC是个等腰直角三角形,MC=CD.
又AB=BC,M是BC边上一点,MC长度小于BC,所以知道这个直角梯形是以CD为上底,AB为下底,图形先画对
接下来求证
要证AD=AM,从已知条件中得知,MC=CD,
则作一条辅助线就可得证
连接AC
∵AB=BC,角B=90度∴三角形ABC是个等腰直角三角形
∴角BCA=45度
∴角DCA=角BCD-角BCA=45度=角BCA
所以三角形AMC≌三角形ADC(MC=CD,角DCA=角BCA,AC=AC——边角边)
所以AD=AM得证
(2)
延长CD至F点~CF=AB连接AF~~因AB=BC~SO~ABCF是正方形~剩下的就容易了~只要证AFD~和ABM~是一样的3角形就OK了~~哎~快10年没碰几何了~那些专业点的词我都忘了~这题应该是这样吧~不知道有没错
回答者：fenixkingyu-试用期一级2007-8-719:23
上楼的有两处错误:
1.描述错误,ABCF不是四边形,ABFC才是.
2.按照条件并不能证明ABFC是正方形.
注意:要证明四边形是正方形,必须证明2个问题:
1.该四边形是矩形;2.该四边形是菱形。
(3)
把图画出来就好解了。我是按自己画的图解的，楼主画梯形下面是BA，上面是CD，然后在按我的文字添加辅助线就行了，度那个圆圈打不出来，我就没写了。
证明：连接MD，AM，连接AC并交MD于E
因为角DMC=45，角C=90
所以三角形MCD为等边直角三角形，既角CDM=45
又角B=90AB=BC
所以角CAB=45
由梯形上下两边平行，则内对角相加为180度
因角CAB角DMB=45+45=90
所以角EDA角DAE=90
既AC垂直于MD
在等腰直角三角形CDM中则有ME=ED，且AC垂直于MD
所以AE是三角形AMD的中垂线
既AD=AM(等腰三角形的法则)。
推荐第3篇：初一几何证明题
初一《几何》复习题2002--6—29姓名：一．填空题
1．过一点
2．过一点，有且只有直线与这条直线平行；
3．两条直线相交的，它们的交点叫做；4．直线外一点与直线上各点连接的中，最短；A B 5．如果C[图1]6．如图1，AB、CD相交于O点，OE⊥CD，∠1和∠2叫做，∠1和∠3叫做，∠1和∠4叫做，∠2和∠3叫做；A7．如图2，AC⊥BC，CD⊥AB，B点到AC的距离是A点到BC的距离是，C点到AB的距离是D43
8．如图3，∠1=110°，∠2=75°，∠3=110°，∠4=；CB
二．判断题[图2][图3] 1．有一条公共边的两个角是邻补角；（）2．不相交的两条直线叫做平行线；（）
3．垂直于同一直线的两条直线平行；（）4．命题都是正确的；（）
5．命题都是由题设和结论两部分组成（）6．一个角的邻补角有两个；（） 三．选择题
1．下列命题中是真命题的是（）A、相等的角是对顶角B、如果a⊥b，a⊥c，那
么b⊥cC、互为补角的两个角一定是邻补角D、如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c 2.下列语句中不是命题的是（）A、过直线AB外一点C作AB的平行线CF B、任意两个奇数之和是偶数C、同旁内角互补，则两直线平行D、两个角互为
补角，与这两个角所在位置无关A 3．如图4，已知∠1=∠2，若要∠3=∠4，则需 （）DA、∠1=∠3B、∠2=∠3C、∠1=∠4D、AB∥CDC [图4] 4．将命题“同角的补角相等”改写成“如果„„，那么„„”的形式，正确的是（）
A．如果同角的补角，那么相等B．如果两个角是同一个角，那么它们的补角相等 C．如果有一个角，那么它们的补角相等D．如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等 四．解答下列各题 ：P 1.如图5，能表示点到直线（或线段）的距离的线段QAC 有、、；ABF 2.如图6，直线AB、CD分别和EF相交，已知AB∥CD，OREBBA平分∠CBE，∠CBF=∠DFE，与∠D相等的角有∠[图5][图6]D∠、∠、∠、∠等五个。C 五．证明题E[图8]如图7，已知：BE平分∠ABC，∠1=∠3。求证：DE∥BCB[图7]CADB
六．填空题
1．过一点可以画条直线 ，过两点可以画 2．在图8中，共有条线段，共有个锐角，个直角，∠A的余角是； 3．AB=3.8cm，延长线段AB到C，使BC=1cm，再反向延长AB到D，使AD=3cm，E是AD中点，F是CD的中点，则EF=cm ；
4．35.56°=度 分秒；105°45′15″—48°37′26 ″ 5．如图9，三角形ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，AD与BE交于F点，则图中共有E 6．如图10，图中共有条射线，七．计算题BDC 1．互补的两个角的比是1：2，求这两个角各是多少度？[图9]
A2．互余的两角的差为15°，小角的补角比大角的补角大多少？E
BDC[图10] 1．如图11，AOB是一条直线，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC=34°56′求∠BOD的度数；
DC 八．画图题。1 .已知∠α，画出它的余角和补角，并表示出来AOB
[图11]北 2.已知∠α和∠β，画一个角，使它等于2∠α—∠β北偏西20
β 3.仿照图12，作出表示下列方向的射线：西东 ⑴北偏东43° ⑵南偏西37° ⑶东北方向 ⑷ 西北方向 九．证明题[图12]南 两直线平行，内错角的平分线平行（要求：画出图形，写出已知、求证，并进行证明） 已知：求证：证明：
推荐第4篇：初二几何证明题
28.（本小题满分10分）
如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP-CQ。设AP=x
（1）当PQ∥AD时，求x的值；
（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；
（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围。
21．（本小题满分9分）
如图，直线yxm与双曲线y
（1）求m及k的值； k相交于A（2，1）、B两点． xyxm,（2）不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标； ky,x
（3）直线y2x4m经过点B吗？请说明理由．
（第21题）
28．（2010江苏淮安，28，12分）如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．
(1)点C坐标是)，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是，)；
(2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值时，S最大；
(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如题28(b)图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以点A．O为对应顶点的情况)：
题28(a)图题28(b)图
（10江苏南京）21.（7分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，△ABC≌△BAD。 求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD.（10江苏南京）28.（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A
出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。
（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长。
23．(本题8分)如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，∥BF，连接BE、CF．
(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．
CE
27．(本题8分)如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．
(1)如图②，若M为AD边的中点，
①,△AEM的周长=_____cm；
②求证：EP=AE+DP；
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．
27．（本题满分12分）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75º，
以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上． （1）求∠AED的度数；
（2）求证：AB=BC；
（3）如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC=30º．
DF求 FC 的值．
图1 E C
E 图2 C
推荐第5篇：初二几何证明题
1如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DCCF． （1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=ACADCF的形状，并证明你的结论
A
E
B
推荐第6篇：初一几何证明题
初一几何证明题
1.如图，AD∥BC，∠B=∠D，求证：AB∥CD。
A
B
D
C
2.如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB。
A
D
G
/
F
3
BEC
3.如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO，求证：CD∥OP。
D
P
/
C
OB
4.如图∠1=∠2，求证：∠3=∠4。
A
/
B
C
42
D
5.已知∠A=∠E，FG∥DE，求证：∠CFG=∠B。
A
B
C F D
E
6.已知，如图，∠1=∠2，∠2+∠3=1800
，求证：a∥b，c∥d。
cd
a
b
7.如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求
A
证：EF平分∠BED。
D
F
B
E
C
8、已知，如图，∠1=450，∠2=1450，∠3=450
，∠4=1350，求证：l1∥l2，l3∥l5，l2∥l4。
l3
l11 l2
3
4
4l5
9、如图，∠A=2∠B，∠D=2∠C，求证：AB∥CD。
C
A
B
10、如图，EF∥GH，AB、AD、CB、CD是∠EAC、∠FAC、∠GCA、∠HCA的平分线，求证：∠BAD=∠B=∠C=∠D。
A
E
F
B G
C
H
11、已知，如图，B、E、C在同一直线上，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，∠A+∠D=900
，求证：AE⊥DE，AB∥CD。
A
D
BE
推荐第7篇：几何证明题训练
仁家教育---您可以相信的品牌！
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百川东到海,何时复西归？
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推荐第8篇：初中几何证明题
初中几何证明题
己知M是△ABC边BC上的中点，,D,E分别为AB,AC上的点，且DM⊥EM。
求证:BD+CE≥DE。
1.延长EM至F,使MF=EM,连BF.
∵BM=CM,∠BMF=∠CME,
∴△BFM≌△CEM(SAS),
∴BF=CE，
又DM⊥EM，MF=EM,
∴DE=DF
而∠DBF=∠ABC+∠MBF=∠ABC+∠ACB
∴BD+BF>DF，
∴BD+CE>DE。
2.
己知M是△ABC边BC上的中点，,D,E分别为AB,AC上的点，且DM⊥EM。
求证:BD+CE≥DE
如图
过点C作AB的平行线，交DM的延长线于点F;连接EF
因为CF//AB
所以，∠B=∠FCM
已知M为BC中点，所以BM=CM
又，∠BMD=∠CMF
所以，△BMD≌△CMF(ASA)
所以，BD=CF
那么，BD+CE=CF+CE……………………………………………(1)
且，DM=FM
而，EM⊥DM
所以，EM为线段DF的中垂线
所以，DE=EF
在△CEF中，很明显有CE+CF>EF………………………………(2)
所以，BD+CE>DE
当点D与点B重合，或者点E与点C重合时，仍然采用上述方法，可以得到BD+CE=DE
综上就有：BD+CE≥DE。
3.
证明因为∠DME=90°，∠BMD
截取BF=BC/2=BM=CM。连结DF,EF。
易证△BMD≌△FMD，△CME≌△FME
所以BD=DF，CE=EF。
在△DFE中，DF+EF≥DE，即BD+CE≥DE。
当F点落在DE时取等号。
另证
延长EM到F使MF=ME，连结DF，BF。
∵MB=MC，∠BMF=∠CME，
∴△MBF≌△MCE，∴BF=CE，DF=DE，
在三角形BDF中，BD+BF≥DF，
即BD+CE≥DE。
分析已知、求证与图形，探索证明的思路。
对于证明题，有三种思考方式：
(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。
(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。
(3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。
推荐第9篇：八年级几何证明题
八年级证明题一
八年级几何证明题
1、已知：在⊿ABC中，AB=AC，延长AB到D，使AB=BD，E是AB的中点。求证：CD=2CE。
C
2、已知：在⊿ABC中，作∠FBC=∠ECB=
12∠A。求证：BE=CF。
B
3、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于Q，作PR
∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。
C
B
八年级证明题一2 -
6、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB，求证：MA⊥NA。
C
7、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．
A
D
BP图⑴EC
8、△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点，就下面给出的三种情况，如图8中的①②③，先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM等于多少度．并利用图③证明你的结论．
八年级证明题一 - 3 -
① ② 图8 ③
9、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN
的形状，并证明你的结论。
10、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，
连结EC、ED，求证：CE=DE
11、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。
12、如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE||AC,EF⊥AD交BC延长线于F。求证： ∠FAC=∠B
A M B (第9题图)
F
八年级证明题一
- 4 -
推荐第10篇：初一几何证明题
三角形
1、已知ΔABC，AD是BC边上的中线。E在AB边上，ED平分∠ADB。F在AC边上，FD平分∠ADC。求证：BE+CF＞EF。
1、已知ΔABC，BD是AC边上的高，CE是AB边上的高。F在BD上，BF=AC。G在CE延长线上，CG=AB。求证：AG=AF，AG⊥AF。
3、已知ΔABC，AD是BC边上的高，AD=BD，CE是AB边上的高。AD交CE于H，连接BH。求证：BH=AC，BH⊥AC。
4、已知ΔABC，AD是BC边上的中线，AB=2，AC=4，求AD的取值范围。
5、已知ΔABC，AB＞AC，AD是角平分线，P是AD上任意一点。求证：AB-AC＞PB-PC。
6、已知ΔABC，AB＞AC，AE是外角平分线，P是AE上任意一点。求证：PB+PC＞AB+AC。
7、已知ΔABC，AB＞AC，AD是角平分线。求证：BD＞DC。
8、已知ΔABD是直角三角形，AB=AD。ΔACE是直角三角形，AC=AE。连接CD，BE。求证：CD=BE，CD⊥BE。
9、已知ΔABC，D是AB中点，E是AC中点，连接DE。求证：DE‖BC，2DE=BC。
10、已知ΔABC是直角三角形，AB=AC。过A作直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E。求证：DE=BD-CE。
四边形
1、已知四边形ABCD，AB=BC，AB⊥BC，DC⊥BC。E在BC边上，BE=CD。AE交BD于F。求证：AE⊥BD。
2、已知ΔABC，AB＞AC，BD是AC边上的中线，CE⊥BD于E，AF⊥BD延长线于F。求证：BE+BF=2BD。
3、已知四边形ABCD，AB‖CD，E在BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，若AB=2，CD=3，求AD。
4、已知ΔABC是直角三角形，AC=BC，BE是角平分线，AF⊥BE延长线于F。求证：BE=2AF。
5、已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分线，CE是AB边上的高，CE交AD于F，FG‖AB交BC于G。求证：CD=BG。
6、已知ΔABC，∠ACB=90°，AD是角平分线，CE是AB边上的高，CE交AD于F，FG‖BC交AB于G。求证：AC=AG。
7、已知四边形ABCD，AB‖CD，∠D=2∠B，若AD=m，DC=n，求AB。
8、已知ΔABC，AC=BC，CD是角平分线，M为CD上一点，AM交BC于E，BM交AC于F。求证：ΔCME≌ΔCMF，AE=BF。
9、已知ΔABC，AC=2AB，∠A=2∠C，求证：AB⊥BC。
10、已知ΔABC，∠B=60°。AD，CE是角平分线，求证：AE+CD=AC
全等形
1、知ΔABC是直角三角形，AB=AC，ΔADE是直角三角形，AD=AE，连接CD，BE，M是BE中点，求证：AM⊥CD。
2、已知ΔABC，AD，BE是高，AD交BE于H，且BH=AC，求∠ABC。
3、已知∠AOB，P为角平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，求证：AO+BO=2CO。
4、已知ΔABC是直角三角形，AB=AC，M是AC中点，AD⊥BM于D，延长AD交BC于E，连接EM，求证：∠AMB=∠EMC。
5、已知ΔABC，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD⊥EF。
6、已知ΔABC，∠B=90°，AD是角平分线，DE⊥AC于E，F在AB上，BF=CE，求证：DF=DC。
7、已知ΔABC，∠A与∠C的外角平分线交于P，连接PB，求证：PB平分∠B。
8、已知ΔABC，到三边AB，BC，CA的距离相等的点有几个？
9、已知四边形ABCD，AD‖BC，AD⊥DC，E为CD中点，连接AE，AE平分∠BAD，求证：AD+BC=AB。
10、已知ΔABC，AD是角平分线，BE⊥AD于E，过E作AC的平行线，交AB于F，求证：∠FBE=∠FEB。
第11篇：1123几何证明题
初一几何证明专题
【学习目标】
1.经历探索四边形是平行四边形的条件的过程，在学习中发展探究意识和有条理的表达能力
【重点与难点】
探索四边形是平行四边形的条件，分两个层次：
1.通过操作和合情推理发现结论；说明理由。
2.运用中心对称的性质得三角形全等。
【探索活动】
活动一 操作在方格纸上画2条互相平行并且相等的线段AD，BC，连接AB，DC。
检验线段AB与DC是否互相平行？
A D
思考所画的四边形ABCD是平行四边形吗？
BC提示：1连接BD，证明△ABD≌△CDB，得到∠ABD＝∠CDB，从而得到AB∥DC
2课本是运用平移的性质说明线段AB∥DC
【无论用哪种方法，都是依据平行四边形的概念：2组对边平行的四边形是平行四边形。】 通过活动一，得探索四边形是平行四边形的条件：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
活动分为2个层次：
一、通过操作和合情推理发现结论；
二利用平移的性质说理，发展有条理地表达能力。
活动二
操作1画2条相交直线a，b，设交点为O
2在直线a上截取OA=OC，在直线b上截取OB=OD，连接AB，BC，CD，ADA。
思考所画的四边形ABCD是平行四边形吗？
B
提示 1.用三角形全等的判定定理来证明两个三角形全等
2.课本是运用中心对称的性质得三角形全等
2条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
1 CD
【对于探索活动一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由于是首次探索四边形是平行四边形的条件，其说理依据只能是平行四边形的概念，；对于探索活动二，其说理依据除了平行四边形的概念外，还应有：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。】
【例题示范】
例1如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB。四边形ABCD是否是
平行四边形？为什么？
解：连接BD
得：2组对边分别相等的四边形是平行四边形
【独立思考，自主探究，并通过合作交流，完善说理，学会有条理的
表达。】
例2 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D。四边形ABCD是
否是平行四边形？为什么？（得：2个对角分别相等的四边形是平行
四边形）
【巩固练习】
1.如图，AD∥BC，∠B=∠D，求证：AB∥CD。
A
B
D
C
AD
BCADBC
2.如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB。
A
DG/
F
2 BCE
3.已知∠1=∠2，∠1=∠3，求证：CD∥OB。
P
CBO
4.如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO，求证：CD∥OP。
D P
/ CBO
5.已知∠1=∠2，∠2=∠3，求证：CD∥EB。
C
32/ OE
6.如图∠1=∠2，求证：∠3=∠4。
/BA
7.已知∠A=∠E，FG∥DE，求证：∠CFG=∠B。
AB
C F
E D
8.已知，如图，∠1=∠2，∠2+∠3=1800，求证：a∥b，c∥d。
cd a
b
9.如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED。
A
D
F
EBC
10、已知，如图，∠1=450，∠2=1450，∠3=450，∠4=1350，求证：l1∥l2，l3∥l5，l2∥l4。l
3l1
1l23
44 l
511、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=900，求证：AB∥CD。
BA
E
CD
12、如图，∠A=2∠B，∠D=2∠C，求证：AB∥CD。
C
AB
13、如图，EF∥GH，AB、AD、CB、CD是∠EAC、∠FAC、∠GCA、∠HCA的平分线，求证：∠BAD=∠B=∠C=∠D。
AF E
B
GH C
14、已知，如图，B、E、C在同一直线上，∠A=∠DEC，∠D=∠BEA，∠A+∠D=900，求证：AE⊥DE，AB∥CD。
A
EB
15、如图，已知，BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=650，∠EDF=500，，求证：BC∥AE。
E CD
BA
16、已知，∠D=900，∠1=∠2，EF⊥CD，求证：∠3=∠B。
AD
EF
BC
17、如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠B=∠3，AC∥DE，求证：AD∥BC。
DA3
BCE
第12篇：初三几何证明题
初三数学北师大证明
（三）
一、填空题
1、用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是
(2)
（1） (3)
2．如果边长分别为4cm和5cm的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm．
3．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．
4．如图1，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有_______个平行四边形．
5若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件(写一个即可)，使四边形ABCD是菱形．
6．图2，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB＝6，那么对角线AC＋BD＝
7、以正方形ABCD的边BC 为边做等边△BCE，则∠AED的度数
为。
8．如图3，延长正方形ABCD的边AB到E，使BE＝AC， （4） 则∠E＝°
9．已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB
＝PD＝2，那么AP的长为．
10．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，
－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，A那么点D的坐标是．
E
二、选择题 B11．如图4在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至
E，连结EF，则∠E＋∠F＝()
A．110°B．30°C．50°D．70°
12．菱形具有而矩形不具有的性质是()
A．对角相等B．四边相等
C．对角线互相平分D．四角相等
（5） D G F（6） C
13．如图5，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为()
A．3 cmB．6 cmC．9 cmD．12 cm
14．已知：如图6，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边
AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝2，AD＝4，
则图中阴影部分的面积为()
A．8B．6C．4D．
315．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形()
A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤
19、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）
AB∥CDBC∥ADAB=CDBC=AD
（A）2组（B）3组（C）4组（D）6组
20、下列说法错误的是（）
（A）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。
（B）每组邻边都相等的四边形是菱形。
（C）对角线互相垂直的平行四边形是正方形。图8
（D）四个角都相等的四边形是矩形。
三、阅读理解题
21、如图8，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料，回答问题：
⑴连结AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形 EFGH是。 ⑵对角线AC、BD满足条件时，四边形 EFGH是矩形。
⑶对角线AC、BD满足条件时，四边形 EFGH是菱形。
⑷对角线AC、BD满足条件时，四边形 EFGH是正方形。
22、如图9，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6cm,DH⊥AB于H，求：DH的长
23、已知：如图10，菱形ABCD的周长为16cm，
∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O，
求AC和BD的长。
四、证明题
24、如图11，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点， PE⊥BC，垂足为E， PF⊥CD，垂足为F，
求证：EF＝AP
25、如图12，在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.
⑴试说明:DE=DF
⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明
26.如图13，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点， CEAF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？ ．．．．并对你的猜想加以证明：
B 图13 F C D
第13篇：初中几何证明题
(1) 如图，在三角形ABC中，BD,CE是高，FG分别为ED,BC的中点，O是外心，求证AO∥FG 问题补充：
证明:延长AO,交圆O于M,连接BM,则:∠ABM=90°,且∠M=∠ACB.∠AEC=∠ADB=90°,∠EAC=∠DAB,则⊿AEC∽⊿ADB,AE/AD=AC/AB;
又∠EAD=∠CAB,则⊿EAD∽⊿CAB,得∠AED=∠ACB=∠M.
∴∠AED+∠BAM=∠M+∠BAM=90°,得AO⊥DE.--------(1)
连接DG,EG.点G为BC的中点,则DG=BC/2;(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半) 同理可证:EG=BC/2.故DG=EG.
又F为DE的中点,则FG⊥DE.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)-----------------(2) 所以,AO∥FG.
(2) 已知梯形ABCD中，对角线AC与腰BC相等，M是底边AB的中点，L是边DA延长线上一点连接LM并延长交对角线BD于N点
延长LM至E，使LM＝ME。
∵AM＝MB，LM＝ME，∴ALBE是平行四边形，∴AL＝BE，AL∥EB，∴LN/EN＝DN/BN。
延长CN交AB于F，令LC与AB的交点为G。。
∵AB是梯形ABCD的底边，∴BF∥CD，∴CN/FN＝DN/BN。
由LN/EN＝DN/BN，CN/FN＝DN/BN，得：LN/EN＝DN/BN，∴LC∥FE，∴∠GLM＝∠FEB。
由AL∥EB，得：∠LAG＝∠EBF，∠ALM＝∠BEM。
由∠ALM＝∠BEM，∠GLM＝∠FEB，得：∠ALM－∠GLM＝∠BEM－∠FEB，
∴∠ALG＝∠BEF，结合证得的∠LAG＝∠EBF，AL＝BE，得：△ALG≌△BEF，∴AG＝BF。
∵AC＝BC，∴∠CAG＝∠CBF，结合证得的AG＝BF，得：△ACG≌△BCF，∴ACL＝∠BCN。
(3) 如图,三角形ABC中,D,E分别在边AB,AC上且BD=CE,F,G分别为BE,CD的中点,直线FG交
AB于P,交AC于Q.求证:AP=AQ
取BC中点为H
连接HF,HG并分别延长交AB于M点，交AC于N点
由于H，F均为中点
易得：
HM‖AC,HN‖AB
HF=CE/2,HG=BD/
2得到：
∠BMH=∠A
∠CNH=∠A
又：BD=CE
于是得：
HF=HG
在△HFG中即得：
∠HFG=∠HGF
即：∠PFM=∠QGN
于是在△PFM中得：
∠APQ=180°-∠BMH-∠PFM=180°-∠A-∠QGN
在△QNG中得：
∠AQP=180°-∠CNH-∠QGN=180°-∠A-∠QGN
即证得：
∠APQ=∠AQP
在△APQ中易得到： AP=AQ
(4) ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心O，O，O，O．求证：OOOO为矩形． 123
41234
已知锐角三角形ABC的外接圆O，过B,C作圆的切线交于E，连结AE，M为BC的中点。求证角BAM=角EAC。
设点O为△ABC外接圆圆心，连接OP；
则O、E、M三点共线，都在线段BC的垂直平分线上。
设AM和圆O相交于点Q，连接OQ、OB。
由切割线定理，得：MB² = Q·MA ；
由射影定理，可得：MB² = ME·MO ；
∴MQ·MA = ME·MO ，
即MQ∶MO = ME∶MA ；
又∵ ∠OMQ = ∠AME ，
∴△OMQ ∽ △AME ，
可得：∠MOQ = ∠MAE 。
设OM和圆O相交于点D，连接AD。
∵弧BD = 弧CD ，
∴∠BAD = ∠CAD 。
∵∠DAQ = (1/2)∠MOQ = (1/2)∠MAE ，
∴∠DAE = ∠MAE∠DAE = ∠CAD - ∠DAQ = ∠CAM 。
设AD、BE、CF是△ABC的高线，则△DEF称为△ABC的垂足三角形，证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角 设交点为O，
OE⊥EC，OD⊥DC，
则CDOE四点共圆，
由圆周角定理，
∠ODE=∠OCE。
CF⊥FC，AD⊥DC，
则ACDF四点共圆，
由圆周角定理，
∠ADF=∠ACF=∠OCE=∠ODE，
AD平分∠EDF。
其他同理。
平行四边形内有一点P，满足角PAB=角PCB，求证：角PBA=角PDA
过P作PH//DA，使PH=AD，连结AH、BH
∴四边形AHPD是平行四边形
∴∠PHA=∠PDA，HP//=AD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//=BC
∴HP//=BC
∴四边形PHBC是平行四边形
∴∠PHB=∠PCB
又∠PAB=∠PCB
∴∠PAB=∠PHB
∴A、H、B、P四点共圆
∴∠PHA=∠PBA
∴∠PBA＝∠PDA
补充：
补充：
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，
若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．
已知点o为三角型ABC在平面内的一点，且向量OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,，则O为三角型ABC的（）
只说左边2式子 其他一样
OA2+BC2=OB2+CA2 移项后平方差公式可得
(OA+OB)(OA-OB)=(CA+BC)(CA-BC)化简
得 BA(OA+OB)=BA(CA-BC)
移项并合并得BA(OA+OB+BC-CA)=0
即 BA*2OC=0 所以BA和OC垂直
同理AC垂直BO BC垂直AO哈哈啊是垂心
设H是△ABC的垂心，求证：AH2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2．
作△ABC的外接圆及直径AP．连接BP．高AD的延长线交外接圆于G，连接CG． 易证∠HCB=∠BCG，
从而△HCD≌△GCD．
故CH=GC．
又显然有∠BAP=∠DAC，
从而GC=BP．
从而又有CH2+AB2=BP2+AB2=AP2=4R2．
同理可证AH2+BC2=BH2+AC2=4R2．
第14篇：初一几何证明题
初一几何证明题
一、
1)D是三角形ABC的BC边上的点且CD=AB，角ADB=角BAD，AE是三角形ABD的中线，求证AC=2AE。
(2)在直角三角形ABC中，角C=90度，BD是角B的平分线，交AC于D，CE垂直AB于E，交BD于O，过O作FG平行AB，交BC于F，交AC于G。求证CD=GA。
延长AE至F，使AE=EF。BE=ED，对顶角。证明ABE全等于DEF。=》AB=DF，角B=角EDF角ADB=角BAD=》AB=BD，CD=AB=》CD=DF。角ADE=BAD+B=ADB+EDF。AD=AD=》三角形ADF全等于ADC=》AC=AF=2AE。
题干中可能有笔误地方：第一题右边的E点应为C点，第二题求证的CD不可能等于GA，是否是求证CD=FA或CD=CO。如上猜测准确，证法如下：第一题证明:设F是AB边上中点，连接EF角ADB=角BAD，则三角形ABD为等腰三角形，AB=BD;∵AE是三角形ABD的中线，F是AB边上中点。∴EF为三角形ABD对应DA边的中位线，EF∥DA，则∠FED=∠ADC，且EF=1/2DA。∵∠FED=∠ADC,且EF=1/2DA，AF=1/2AB=1/2CD∴△AFE∽△CDA∴AE:CA=FE:DA=AF:CD=1:2AC=2AE得证第二题：证明:过D点作DH⊥AB交AB于H，连接OH，则∠DHB=90°;∵∠ACB=90°=∠DHB，且BD是角B的平分线，则∠DBC=∠DBH，直角△DBC与直角△DBH有公共边DB;∴△DBC≌△DBH，得∠CDB=∠HDB，CD=HD;∵DH⊥AB，CE⊥AB;∴DH∥CE，得∠HDB=∠COD=∠CDB，△CDO为等腰三角形，CD=CO=DH;四边形CDHO中CO与DH两边平行且相等，则四边形CDHO为平行四边形，HO∥CD且HO=CD∵GF∥AB，四边形AHOF中，AH∥OF，HO∥AF，则四边形AHOF为平行四边形，HO=FA∴CD=FA得证
有很多题
1.已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z
证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.过F点分别作AC,BC上的高交于p,Q点.
根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=Fp,EM=EN.
过D点做BC上的高交BC于O点.
过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J点.
则X=DO,Y=HY,Z=DJ.
因为D是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD
同理可证Fp=2DJ。
又因为FQ=Fp,EM=EN.
FQ=2DJ，EN=2HD。
又因为角FQC，DOC，ENC都是90度，所以四边形FQNE是直角梯形，而D是中点，所以2DO=FQ+EN
又因为
FQ=2DJ，EN=2HD。所以DO=HD+JD。
因为X=DO,Y=HY,Z=DJ.所以x=y+z。
2.在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由。
当∠BON=108°时。BM=CN还成立
证明;如图5连结BD、CE.
在△BCI)和△CDE中
∵BC=CD,∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴ΔBCD≌ΔCDE
∴BD=CE,∠BDC=∠CED,∠DBC=∠CEN
∵∠CDE=∠DEC=108°,∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠ECD=108°,∠OCB+∠OCD=108°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°,∴∠DBM=∠ECN
∴ΔBDM≌ΔCNE∴BM=CN
3.三角形ABC中，AB=AC,角A=58°，AB的垂直平分线交AC与N，则角NBC=()
3°
因为AB=AC，∠A=58°，所以∠B=61°，∠C=61°。
因为AB的垂直平分线交AC于N，设交AB于点D，一个角相等，两个边相等。所以，Rt△ADN全等于Rt△BDN
所以∠NBD=58°，所以∠NBC=61°-58°=3°
4.在正方形ABCD中，p，Q分别为BC，CD边上的点。且角pAQ=45°，求证：pQ=pB+DQ
延长CB到M，使BM=DQ，连接MA
∵MB=DQAB=AD∠ABM=∠D=RT∠
∴三角形AMB≌三角形AQD
∴AM=AQ∠MAB=∠DAQ
∴∠MAp=∠MAB+∠pAB=45度=∠pAQ
∵∠MAp=∠pAQ
AM=AQAp为公共边
∴三角形AMp≌三角形AQp
∴Mp=pQ
∴MB+pB=pQ
∴pQ=pB+DQ
5.正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且BM=BN,Bp⊥MC于点p,求证Dp⊥Np
∵直角△BMp∽△CBp
∴pB/pC=MB/BC
∵MB=BN
正方形BC=DC
∴pB/pC=BN/CD
∵∠pBC=∠pCD
∴△pBN∽△pCD
∴∠BpN=∠CpD
∵Bp⊥MC
∴∠BpN+∠NpC=90°
∴∠CpD+∠NpC=90°
∴Dp⊥Np。
第15篇：辅助线几何证明题
辅助线的几何证明题
三角形辅助线做法
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
常见的辅助线做法
1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。
一、倍长中线（线段）造全等
（一）例题讲解
例
1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB5，AC3，求中线AD的取值范围。分析：本题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。 解:延长AD到E，使DEDA，连接BE
又∵BDCD，BDECDA
∴BDECDASAS，BEAC3
∵ABBEAEABBE (三角形三边关系定理)
即22AD8
∴1AD4
经验总结：见中线，延长加倍。
E B D C A
第16篇：初二几何证明题
初二几何证明题
1.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E。M为AB中点，联结ME,MD、ED
求证：角EMD=2角DAC
证明：
∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴MD=ME=MA=MB(斜边上的中线=斜边的一半)∴△MED为等腰三角形∵ME=MA
∴∠MAE=∠MEA∴∠BME=2∠MAE∵MD=MA
∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC
2.如图，已知四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是AB、CD中点，AD、BC的延长线与EF的延长线交于点H、D
求证：∠AHE=∠BGE
证明：连接AC，作EM‖AD交AC于M，连接MF.如下图：
∵E是CD的中点，且EM‖AD，
∴EM=1/2AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点
∴MF‖BC，且MF=1/2BC.∵AD=BC，
∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE.
∵EM‖AH，∴∠MEF=∠AHF
∵FM‖BG，∴∠MFE=∠BGF
∴∠AHF=∠BGF.
3.
写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题，并证明它是一个真命题
这是经典问题,证明方法有很多种,对于初二而言,
下面的反证法应该可以接受
如图,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求证:AB=AC
证明:
BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC)
==>BE=AB*BC/(BC+AC)
同理:CD=AC*BC/(BC+AB)
假设AB≠AC,不妨设AB>AC.....(*)
AB>AC==>BC+ACAC*BC
==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB)
==>BE>CD
AB>AC==>∠ACB>∠ABC
∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/
2==>∠BEC>∠BDC
过B作CE平行线,过C作AB平行线,交于F,连DF
则BECF为平行四边形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC.....(1)
BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFD
CF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD
==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC...(2)
(1)(2)矛盾,从而假设(*)不成立
所以AB=AC。
2、
两地角的平分线相等，为等腰三角形
作三角形ABC,CD,BE为角C,B的角平分线，交于AB,BE.两平分线交点为O
连结DE,即DE平行BC，所以三角形DOC与COB相似。
有DO/DC=EO/EB,又EB=DC所以DO=EO,三角形COB为等腰
又角ODE=OCB=OED=OBC
又因为BE和DC是叫平分线，所以容易得出角C=角B(这个打出来太麻烦了)，即ABC为等腰。
第17篇：几何证明题方法
(初中、高中)几何证明题一些技巧
初中几何证明技巧（分类）
证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
*11.利用半圆上的圆周角是直角。
证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边 （或延长线） 所得的线段对应成比例， 则这条直线平行于第三边。
证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含 30 度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三 角形的重心、相似三角形的性质等）。
证明 角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
证明两角的不等
1.同一三角形中，大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。
证明四点共圆
*1.对角互补的四边形的顶点共圆。
*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。
*3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。
*4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
*5.到顶点距离相等的各点共圆
知识归纳：
1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作 用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。 这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2.掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐 步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再 把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于 表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离， 最后达到证明目的。
3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂 图形分解成基本图形。 在更多时候需要构造基本图形， 在构造基本图形时往往需要添加辅助 线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一.证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。 它问题最后都可化归为此类问题来证。 它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等 三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等 也经常用到。 也经常用到。
第18篇：几何证明题思路
学习总结：中考几何题证明思路总结
几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的"因为"、"所以"逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。
一、证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等
三、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
四、证明两直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
11.利用半圆上的圆周角是直角。
五、证明线段的和、差、倍、分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
六、证明角的和、差、倍、分
1.作两个角的和，证明与第三角相等。
2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。
3.利用角平分线的定义。
4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
七、证明两线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的
第三边大。
5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
八、证明两角不等
1.同一三角形中，大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。
4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
九、证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
5.与圆有关的比例定理--相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。
以上九项是中考几何证明题中最常出现的内容，只要掌握了对应的方法，再根据题目中的条件进行合理选择，攻克难题不再是梦想！
1过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理三角形两边的和大于第三边
16 推论三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c
47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形
48定理四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°
51、等腰三角形 三线合一
全等三角形 性质 对应角相等，对应变相等
判断 hl 直角三角形中用sasasaaas
直角三角形一条直角边为斜边的一半，那么那条直角边所对的角为30°，这有逆定理斜边上的中线为斜边的一半没有逆定理
52、矩形四角90°，对角线相等且互相平分，为轴对称和中心对称图像
53、菱形对角线分别平分一组对角，对角相等，对角线垂直
54、平行四边形对角相等，对边相等，对角线互
55.函数的定义
(1)函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.
(2)函数的近代定义：设A，B都是非空的数的集合，f:x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数，记作y＝f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域.
上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同.函数实质上是从集合A到集合B的一个特殊的映射，其特殊性在于集合A、B都是非空数集.自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域.
这里应该注意的是，值域C并不一定等于集合B，而只能说C是B的一个子集.
（3）函数的三要素
定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，所以也可以说函数有两要素：定义域和对应法则.两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数.
第19篇：高中几何证明题
高中几何证明题
1、(本题14分)如图5所示，AF、DE分别世O、
O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，
AD8.BC是O的直径，ABAC6,
OE//AD.D(I)求二面角BADF的大小；
(II)求直线BD与EF所成的角.AF图
5解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD
—F的平面角，
依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小为450；
(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，2，0），B（32，0，0）,D（0，32，8），E（0，0，8），F（0，32，0） 所以，(2,32,8),(0,2,8)
cosBD,EFBD与01864EF 10设异面直线所成角为，则
cos|cosBD,EF| 10
10直线BD与EF所成的角为
2．（本题满分13分）
如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ） 求二面角ABDC的大小；
（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．
A1B
1C
1解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连AE．
A1
ABC是正三角形，AEBC． 又底面ABC侧面BB1C1C，且交线为BC
．1AE侧面BB1C1C．
B
C1
连ED，则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为ADE45．……………2分 在RtAED中，tan45
AE
ED
，解得x…………3分
此正三棱柱的侧棱长为……………………4分
注：也可用向量法求侧棱长．
（Ⅱ）解法1：过E作EFBD于F，连AF，
AE侧面BB1C1C,AFBD．
AFE为二面角ABDC的平面角．……………………………6分 在RtBEF中，EFBEsinEBF，又
BE1,sinEBF
又AE
CDEF．
BD在RtAEF中，tanAFE
AE
3．…………………………8分 EF
故二面角ABDC的大小为arctan3．…………………………9分
解法2：（向量法，见后）
BD平面AEF,平面AEF平面ABD，（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，且交线为AF，
过E作EGAF于G，则EG平面ABD．…………10分
在RtAEF中，EG
AEEF
AF
．…………12分 E为BC中点，点C到平面ABD的距离为2EGACB解法2：（思路）取AB中点H，连CH和DH，由C
．…………13分 10
ADB,D
，易得平面ABD
平面CHD，且交线为DH．过点C作CIDH于I，则CI的长为点C到平面ABD的距离．
解法3：（思路）等体积变换:由VCABDVABCD可求． 解法4：（向量法，见后） 题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：
（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系
则AB(0,1,0),C(0,1,0),D(
设n1(x,y,z)为平面ABD的法向量．
yn10,由 得y0n02
取n1().…………6分
又平面BCD的一个法向量n2(0,0,1).…………7分
n1n2(6,3,1)(0,0,1)．…………8分 cosn1,n2
n1n21(6)2()21210
．…………9分
（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，n1(),CA(0,1…………10分
结合图形可知，二面角ABDC的大小为点C到平面ABD的距离d来源： （深圳家教）
(0,1,)(6,,1)(6)2(3)212
＝
2．13分 10
第20篇：高中数学几何证明题
新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点
（1） 求证：EFGH是平行四边形
（2） 若
BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
C D H证明：在ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH同理，FG//BD,FG
(2) 90°30 °
考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EHFG∴四边形EFGH是平行四边形。
22、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;
（2）平面CDE平面ABC。E BCAC证明：（1）CEAB AEBE
同理，ADBDDEAB AEBEB C 又∵CEDEE∴AB平面CDE
（2）由（1）有AB平面CDE
又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC
考点：线面垂直，面面垂直的判定
D
3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点， 求证： AC1//平面BDE。
证明：连接AC交BD于O，连接EO， ∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，A1C在平面BDE外
∴AC1//平面BDE。考点：线面平行的判定
4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC． 证明：∵ACB90°BCAC
又SA面ABCSABC
BC面SACBCAD
A
D
1B
C
D
C
S
A
C
B
又SCAD,SCBCCAD面SBC考点：线面垂直的判定
5、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.DAD
A
BBC
1面AB1D1．求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC1
证明：（1）连结A1C1，设
AC11B1D1O1
，连结AO1
∵ ABCDA1B1C1D1是正方体A1ACC1是平行四边形
∴A1C1∥AC且 AC11AC又O1,O分别是AC11,AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1AO
C
AOC1O1是平行四边形
C1O∥AO1,AO1
面AB1D1，C1O面AB1D1∴C1O∥面AB1D1
（2）CC1面A1B1C1D1CC !1B1D又
∵AC11B1D1
同理可证
ACAD11
，B1D1面A1C1C即A1CB 1D1
，又
D1B1AD1D1
面AB1D1AC1
考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定
6、正方体ABCDA\'B\'C\'D\'中，求证：（1）AC平面B\'D\'DB；（2）BD\'平面ACB\'.
考点：线面垂直的判定
7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C， ∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．
A
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
考点：线面平行的判定（利用平行四边形）
8、如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，
AN3NB
P
（1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。 证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点， M∴MQ//BC，∵ CB平面PAB ，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影 ，取 AB的中点D，连结 PD，∵PAPB,∴CAPDAB，又AN3NB，∴BNND
N ∴QN//PD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB B
1
（2）∵APB90，PAPB,∴PDAB2，∴QN1，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且
MQBC
1，∴MN
2考点：三垂线定理
10、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，EF∥BD 又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG ∵D
1G
EB四边形D1GBE为平行四边形，D1E∥GB
又D1E平面BDG，GB平面BDGD1E∥平面BDG
EFD1EE
，平面D1EF∥平面BDG
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）
11、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点.（1）求证：AC1//平面BDE；（2）求证：平面A1AC平面BDE.证明：（1）设ACBDO，
∵E、O分别是AA
1、AC的中点，A1C∥EO
平面BDE，EO平面BDE，A1C∥平面BDE 又AC
1（2）∵AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD 又BDAC，
ACAA1A
，BD平面A1AC，BD平面BDE，平面BDE平面A1AC
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定
12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．
（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角． 证明：在ADE中，ADAEDE，AEDE ∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE 又PAAEA，DE平面PAE （2）DPE为DP与平面PAE所成的角
在Rt
PAD，PDRt
DCE中，DE在RtDEP中，PD2DE，DPE30 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形
13、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．
（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD； （2）求证：ADPB；
（3）求二面角ABCP的大小． 证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BGAD 又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD
（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG 且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，
22
2PB平面PBG，ADPB
（3）由ADPB，AD∥BC，BCPB 又BGAD，AD∥BC，BGBC PBG为二面角ABCP的平面角
在RtPBG中，PGBG，PBG4
5考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）
平面MBD．
14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：AO
1证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，
A1AACA
，
平面A1ACC1 ∴DB⊥A1O．∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1
设正方体棱长为a，则AO1
32
3a，MO2a2． 2
4．
在Rt△ACA1M211M中，
9222
2OO
M∵AO，∴AMOA1Ma．11
∵OM∩DB=O，∴ A1O⊥平面MBD．
考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 1
5、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．
∵ADBD，∴DFAB．
又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．
∵AHCD，AHBE，CDBEE， ∴ AH平面BCD． 考点：线面垂直的判定
16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D
A
C
证明：连结AC
⊥AC∵BD∴ AC为A1C在平面AC上的射影
BDA1C
A1C平面BC1D
同理可证A1CBC1
考点：线面垂直的判定，三垂线定理
17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．
证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，
∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=2a，SO=2a，
11
AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC．
考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）
