第十一章 几何证明初步知识点整理
1.定义:用来说明一个名词含义的语句叫做定义.2.命题:对事情进行判断的语句叫做命题.每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.一般地,命题可以写成“如果„„,那么„„”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题: (1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.⑶清新的空气;⑷不许讲话。 3.正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题.4.反例:要指出一个命题是假命题,只要能举出一个例子,使它具备命题的条件,而不符合命题的结论就可以了。这种例子称为反例。
5.公理:人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据。这些公认为正确的命题叫做公理。
证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理.本套教材以下列基本事实作为公理: 1.两点确定一条直线。
2.过直线外一点可以作且只能作一条直线与已知直线平行。 3.两直线平行,同位角相等。
4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。 5.判断三角形全等的方法:SAS ASA SSS。 6.全等三角形的对应角相等,对应边相等。
7.在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.判断:
所有的命题都是公理。 所有的真命题都是定理 。 所有的定理是真命题 。 所有的公理是真命题 。
6.在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题。把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题。 Eg: (1)两条直线平行,内错角相等.
(2)如果两个实数相等,那么它们的平方相等. (3)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等. (4)全等三角形的对应角相等.
注意: 一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题.
如果一个定理的逆命题也是真命题,那么这个逆命题就是原来定理的逆定理! (勾股定理和它的逆定理)
7.三角形内角和定理:三角形三个角的内角和等于180° 推论一:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论二:三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 8.直角三角形的两个锐角互余。有两角互余的三角形是直角三角形。 三角形的外角和等于360°。
9.反证法:先提出与命题的结论相反的假设,推出矛盾,从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法.反证法的步骤:否定结论—推出矛盾—肯定结论 Eg:
1、“a<b”的反面应是( ) (A)a≠>b (B)a >b (C)a=b (D)a=b或a >b
2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时,应如何假设? ___________________________________
3、写出下列各结论的反面:
(1)a//b(2)a≥0(3)b是正数(4)a⊥b( 5 )至多有一个(6)至少有一个 常用的互为否定的表述方式:
都是——不都是;大于——不大于;至少有一个——一个也没有;至少有三个——至多有两个;至少有n个——至多有(n-1)个;至多有一个——至少有两个