几何证明练习
1.如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，
猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线
段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若
不成立，请说明理由．
A( E )图13－1 图13－
2图13－
32.将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．(1) 将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，则CC′=______；
(2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=______；
(3) 将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′
A A A A
E E’ E’D’ F’
l B (2)
(3) D’ (4)
3.填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE、BD交于点F。
(1)如图①，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝_________；如图②，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝_________； (2)如图③，若∠BAC＝α，则∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；
(3)将图③中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图④或图⑤。在图④中，∠AFB与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB与∠α的数量关系是________________。请你任选其中一个结论证明。
D
4.用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转．
（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．
（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图乙），你在图甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
图② (第5题图)
图①
A图③
B图④
(第5题图)
图⑤
H
A B
F A B
F E
G
C 图甲
C 图乙
5.已知∠AOB=90，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：2OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图
2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请
给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明。
6.把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB∠DEC90，∠A45，∠D30，斜边AB6cm，DC7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O，与
D1E1相交于点F．
（1）求∠OFE1的度数； （2）求线段AD1的长；
（3）若把三角形D1CE1绕着点C顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由．
A
C
（甲）
E （乙）
1B
D
A
D
17.如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
MB
E
OC
FN
(第19题图）
8.如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． 解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC
＝BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP
F
长的最大值．
E
A F
CBBECE
图甲 图乙 图丙
第8题图
9.如图，矩形纸片ABCD中，AB8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边
BC上，BG10．
（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图（1），求△EFG的面积； （2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图（2），证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．
H(A)
E(B) E(B) D
A D
C B C
G
图（1） 图（2）
10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q． （1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； （2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的
1； 6
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P 运动到什么
位置时，△ADQ恰为等腰三角形．
11.如图15，平行四边形ABCD中，ABAC，AB
1，BC．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F． （1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
FD
B C图15
12.已知∠MAN，AC平分∠MAN。
⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC;
⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由; ⑶在图3中：
①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC; ②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC（用含α的三角函数表示），并给出证明。
M
MM
CCC
DDD
ABNABABN N
13.已知，将两块等腰直角三角板ABC和ADE如图放置，再以CE,CB为边作平行四边形CEHB，连DC，
CH。 a) 如图1，连接DH，请你判断△DHC的形状，猜想CH与CD之间有何数量关系？请说明理由。 b) 将图1中的△ADE绕A点逆时针旋转45°得图2，请你猜想CH与CD之间的数量关
系。
c) 将图1中的△ADE绕A点顺时针旋转a(0°＜a＜45°)得图3，（2）中的猜想是否还成立，若
成立，请给出证明；不成立，说明理由。
14.如图13—1，以△ABC的边AB，AC为直角边作等腰△ABE和△ACD，
M是BC的中点． （1
）若∠BAC=90°，如图13—1．请你猜想线段DE，AM的数量关系，并证明你的结论； （2）若∠BAC≠
90°．
①如图13—2．请你猜想线段DE，AM的数量关系，并证明你的结论； ②如图13—3．请你判断线段DE，AM的数量关系．A D
B
D
E图13—3图13—1 图13—2
