不等式答案第一讲

自主招生学案：不等式第一讲

(2013-12-14枣庄八中陈文)

考点一：不等式的证明。

不等式的证明一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多样，技巧性强。有时一个不等式的证明方法就不止一种，而且一种证法中有可能用到几个技巧。但基本思路却是一样的，即把原来的不等式转化为明显成立的不等式。在本节，主要介绍几种证明不等式的基本方法。

一．不等式证明的常用方法：

1、比较法：比较法证明不等式主要有两种形式：一种是差值比较法，一种是商值比较法。

2．分析法：分析是解决问题的基础，通过分析去寻找不等式成立的充分条件。

3．综合法：有已知条件出发推导结论的一种证明方法。

4．反证法：先做出与原结论相反的假设，然后有假设出发推出矛盾的方法。

5．变量代换法：通过对数学式的变形，以显化其内在结构本质。

6．函数方法：将不等式的证明或求解问题转化为对函数性质的讨论，如函数的单调性、正负区间、值域等问题，甚至函数的凸凹性等。

7．放缩法：由不等式的传递性，借助一些不等式的技巧来证明的方法。

8．数学归纳法：凡是涉及正整数n的不等式都可以考虑使用数学归纳法进行证明，只出现有限整数的不等式也可以通过加强命题使用数学归纳法。

9．构造法：根据待证不等式的条件和结论所具有的特征，以条件中的元素为元件，以数学关系式为支架，构造出一种相关的数学模型，使待证不等式获得证明的一种方法。 常见的构造法有：（1）代数构造法；（2）几何构造法；（3）构造反例或构造命题。

二、例题详解：

a例1.如果用a kg白糖制出b kg糖溶液，则糖的质量分数为。若上述溶液中在添加m b

amkg白糖，此时糖的质量分数增加到，将这个事实抽象为数学问题，并给出证明。 bm

解析：

因为0

方法一： 因为aam、的大小。其中m>0 bbmamam(ba)aam0，所以

amam1f(m)babmamba1am

aamf(m)为增函数，所以f(m)>f(0),即

方法三：

f(m)

baam

，f\'(m)0f(m)递增f(m)f(0)

2(bm)bm

方法四：生活经验知道，糖水变甜了，所以浓度增大了，故而梯度训练：

1.若a>b>0，m>0比较解：1

2.设a、b、cR试证：对任意的实数x，y，z，有

aam

aam与的大小，并给出证明。 bbm

ama

 bmb

x2y2z2)

解析：原式xyz

2)



b2ac2xyxbccabc

a2cb2

zy22zabcaab

bacxacb

xy)2(xz)2(yz)20bccabcabcaab

(

例2．设x、y为正数且x+y=1，证明xy解析： 方法一：

2

21117

。（2008年南京大学） 22

xy2

111x2y2222

1xy0xyxy22(xy)2xy22

4xyxy

12xy12

112xy22()212xy(1)22xy

xyxyxyxy

t1t3112

0,(0t) 令t=xy则f(t)(1)2t，f\'(t)2

3t4t

所以，f（t）单调递减 所以f(t)f()

411171722

。即：xy22

xy22

方法二：

11(xy)2(xy)22

xy22(xy)2xy2

xyxy2

2yy2y2x(xy)2yxy2x2

12xy112232()(22)

xx2xy2xyxy

117342

22

梯度训练：

已知实数a、b、c满足0

121

1,

2c(1c)a(1b)b(1a)

证明：f(x)x(1x)(x)

1

211

在（0，）上递增。 42

0f(a)f(b)f(c),0a(1a)b(1b)c(1c)

1111122,

a(1a)b(1b)c(1c)a(1a)b(1b)b(1b)c(1c)

1111

只需证

a(1a)b(1b)a(1b)b(1a)11ba111a1baba(1a)b(1a)ab(1b)1a1b

........、an.对于大于1的正整数n有a1a2.......an例3.已知正数数列a

1、a

2、

n，

2a1a2...an

n

1........、an中至少有一个小于1.（2000年上海交通大学） ，试证：a

1、a

2、

（本题与2012年北京大学保送生试题第5题如出一辙，可视为姊妹题）

........、an0则令ai1bi(bi0)则 证明：（反正法）假设对任意的a

1、a

2、

a1a2........annb1...bnn

2n

b...bn12 (b1)...(b1)n11n

2而(b11)...(bn1)1b1...bn...b1...bn1b1...bn1矛盾。所以假设不成立，所以原结论成立。

nn2n+

1

222

........、an满足梯度训练：设实数a0、a

1、a

2、

a0=an=0，且a0-2a1+a20,a12a2a30,...,an22an1an0,求证ak0

（k=1，……，n）

证明：（反正法）

........、an中出现的假设ak(k1,2,.....,n1)中至少有一个正数，不妨设ar是a0、a

1、a

2、

第一个正数，则a10,a20,......,ar10,ar0，于是arar10,由题意知，

ak1ak12akak1akakak1,k1,2,....,n

1从kr起，有anan1an1an2an2an3...ar1ararar10 anan1...ar1ar0与an0矛盾。原命题成立。

三、巩固练习：

1、已知x+y=1，n为正整数，求证：x解答略

2n

（2009年清华大学） y2n212n。

1

S为数列

2、设an是首项为3，公差为2的等差数列，n的前n项和

，

an

TnSnln试证：0TnT4n

解答略

3。 8n

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