《高等数学》课程教学大纲[优秀]

发布时间：2020-03-03 17:54:19 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

《高等数学》课程教学大纲

一、课程名称

高等数学

Advanced mathematics

二、课程编码

090101

三、学时数、学分

学时数：200（160）学分:10（8）

四、适用专业

工科和管理各专业本科生

五、编制者

乌力吉副教授

六、编制日期

2004年5月24日

七、课程开设的意义

《高等数学》是我校工科和管理各专业的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，使学生获得微积分（包括一元微积分、向量代数、空间解析几何、多元微积分、无穷级数、常微分方程初步等）方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程及进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，提高学生的科学素养。

八、本课程与其它课程的联系

前期课程：高中数学知识。

后继课程：工程数学、物理、力学及其它工科和管理专业课程。

九、课程的教学内容、重点和难点与教学进度安排

本教学大纲是在内蒙古工业大学基础部数学教研室一九九三年《高等数学教学大纲》基础上进行修订，主要参照国家教育委员会高等教育司《高等学校工科本科基础课程教学基本要求》（1995年修订版）和中华人民共和国国家教育委员会制订的研究生入学考试《数学考试大纲》。教学时数（以45分钟计）为课内200学时，要求课外与课内时间之比至少为2:1。

本课程内容按教学要求不同分为两个层次。在大纲中用黑体字排印的属较高要求，是本课程的重点内容，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用，非黑体字排印的，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。同时在用语上，对概念和理论分别用“理解”、“了解”和“知道”来表述由高到低的层次要求，而对方法和运算用“掌握”、“会”或“了解”来表述。18＋4学时的含义为讲课18学时并配上4学时的习题课。

本课程按不同专业的要求分成两种类型的基本要求，I类教学时数为200学时， II类教学时数为160学时，下述内容为I类的基本要求，其中II类不要求的内容已注明。

1.函数、极限、连续（18＋4学时）

理解函数的概念。了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性。理解复合函数的概念，了解反函数的概念。掌握基本初等函数的性质及其图形。会建立简单实际问题中的函数关系式。理解极限的概念。理解函数左、右极限的概念。掌握极限四则运算法则。了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。了解无穷小、无穷大，以及无究小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。理解函数在一点连续的概念。了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大值、最小值定理）。

难点及处理建议：极限的精确定义，对极限的N、定义的讲授要画龙点睛，适可而止，结合学生在高中时期所接受的通俗概念，简练准确地点明N、语言的内涵，让学生在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N或不作过高要求。函数在一点连续的概念，通过几何直观与严格定义相结合的方法让学生掌握函数的左右连续的概念，通过讨论分段函数在分段点处的连续性让学生仔细体会连续的本质。

2.一元函数微分学（32＋8学时）

理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。了解导数的物理意义，并会用导数描述一些物理量。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。了解双曲函数的求导公式、微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。了解高阶导数的概念。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。理解并会用罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐渐线）。掌握求解较简单的最大值和最小值的应用问题和用洛必达（L’Hospital）法则求不定式的极限。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率的曲率半径。知道求方程近似解的二分法和切线法的思想。

难点及处理建议：复合函数求导，最大值、最小值的应用问题，对这两类问题通过习题课及一定量的作业使学生掌握方法的要领，示例应以基本的典型题目为主，避免选例过分繁杂或求解富有技巧性冲淡学生对方法内涵的理解。对Taylor公式不做过高要求，力求用简练的语言讲解其基本思想，激发学生兴趣，让学生在学习过程中慢慢体会。

3.一元函数积分学（24＋8学时）

理解原函数的概念。理解不定积分和定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。会求简单的有理函数的积分。理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton）—莱布尼兹（Leibniz）公式。了解广义积分的概念。知道定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）。掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法。

难点及处理建议：不定积分各种方法的综合使用，换元积分法中变量代换的选择，通过习题课和较多的作业量来让学生积累解题经验，选题应以基本典型题目为主，避免过分追求技巧。定积分的应用是学生在后继课程中经常遇到的问题，也是学生不易掌握的内容，在处理这一内容时充分讲解思想方法，并配以一定量的实例分析和课外练习。

4.向量代数与空间解析几何（14＋4学时）

理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），了解两个向量垂直、平行的条件。掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向时运算的方法。掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

难点及处理建议：向量积的定义，二次曲面的图形的理解，截痕法，结合物理意义和几何直观等手段加强学生对概念和方法内涵的准确理解。通空间中点、向量、空间直线、平面等概念，注重培养学生的空间想象能力和抽象思维能力，为后继课程《工程数学》作必要的准备工作。

5.多元函数微分学（16＋4学时，II类16学时）

理解多元函数的概念。了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭域上连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。理解方向导数与梯度的概念及其计算方法（II类不要求）。掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件。会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会

求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

难点及处理建议：偏导数与一元函数导数之间的联系与区别，全微分与一元函数微分的关系，方向导数和梯度等，应通过几何直观等手段采取浅显易懂的授课方式讲解，但概念必须准确。多元函数复合函数求导，公式推导不必拘泥于数学的严密性，而应体现方法的思想内涵。

6.多元函数积分学（22＋8学时，II类 6学时）

理解二重积分、三重积分的概念（三重积分II类不要求），了解重积分的性质。掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。【了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。会计算两类曲线积分。掌握格林（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。了解两类曲面积分的概念及高斯（Gau）、斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。知道散度、旋度的概念及其计算方法。会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）】

注：【】内的内容II类不要求。

难点及处理建议：多重积分化成累次积分，通过几何和物理意义阐述方法的内涵，克服学生习惯于按套路作题的思维惰性。第二类曲线和曲面积分，通过物理意义讲解引入这类积分的合理性，让学生掌握分析的方法。格林公式、斯托克斯公式的记忆借助行列式。应强调定积分思想的内涵，将所学过的不同积分统一在一个思想框架之内。

7.无穷级数（16＋4学时， II类8 学时）

理解无穷级数收敛、发散以及级数的和等概念，掌握无穷级数基本性质及收敛的必要条件。掌握几何级数和P级数的收敛性。【会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法，】掌握正项级数的比值审敛法。【了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截数误差。了解函数项级数的收敛及和函数的概念。】掌握比较简单的幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。会利用

【了解幂级数在近似ex,sinx,cosx,ln(1x)和(1x)n的马克劳林（Maclaurin）展开成幂级数。

计算上的简单应用。了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在[-l, l]上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦或余弦级数。】

注：【】内的内容II类不要求。

难点及处理建议：数项级数的概念和敛散性条件，强调敛散性条件的充分性或必要性，通过反例确定相应命题的适用范围。幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域和函数项级数和函数的求法，讲清方法的基本思想，并通过习题课配以一定量课堂和课外练习。傅立叶级数，强调傅立叶级数的基本思想、狄利克雷条件及将定义在[-l, l]上的函数展开为傅里叶级数的方法。

8.常微分方程（14＋4学时）

了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解全微分方程。会用降阶法解下列方程y(n)f(x),y(n)f(x,y\')和y(n)f(y,y\')。理解二阶线性微分方程解的结构。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。会求自由项形如p(n)(x)eax、ex(AcosxBsinx)的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。

难点及处理建议：在介绍求解微分方程的方法时，强调提出该方法的基本思想。建立微分方程数学模型，强调导数在所建立微分方程中的实际含义，引导学生掌握分析问题的方法。

十、课程考核方式

闭卷考试

十一、教材与教学参考书

教材：《高等数学》（第四版，上、下册），同济大学数学教研室。北京：高等教育出版

社，1996年

教学参考书：《高等数学习题课讲义》,同济大学应用数学系，北京：高等教育出版社，1998年。

《高等数学释疑解难》，高等学校工科数学课程指导委员会本科组编，北京：高

等教育出版社，1992年。

《高等数学习题课指导书》,常俊英，北京：高等教育出版社，1991年。

《高等数学应用205例》,李心灿主编，北京：高等教育出版社，1997年。

《微积分简明教程》（上）,曹之江编著，呼和浩特：内蒙古大学出版社，1998年。