A Level 物理有效数字问题
(by: Dr.Yu) 笔者：Dr.喻麟佑，华南国际预科中心，学术副校长，美国亚利桑那大学物理学博士
一、前言：
很多教师都感觉得到，有效数字(significant figures, 或简写成 s.f.)，无论是在剑桥（Cambridge CIE）或者是爱得思（Edexcel）的A Level 物理考试里面，总是令人有点担心的，尤其是剑桥的A Level 物理。笔者有鉴于此，特撰写此文，以减低种种不必要的误会或困扰，请各界多加指教。
为什么会有“有效数字”的需要呢？为什么比小数点几位数更重要呢？这个有效数字的真意，老师们如果切实领悟了，就会发觉其重要性与必要性。否则，虽然知道怎么按照规定来使用，但不明白它真正的用意，却还是不究竟的了。
二、有效数字的基本概念与含义
来描述有效数字的基本概念，就让笔者举一个最简单的例子来出发吧。我们用直尺来量物体的长度。大家都明白，一个直尺的精密度（最小刻度），大概是1mm（1毫米），也就是0.1 cm (0.1厘米)。好了，我们用这支尺来测量一支牙签的长度，我们得到了测量值：
牙签的长度 = 6.4 cm
这是一个有效数字为2的数值。那么，如果有一位同学说，我测到的是：
牙签的长度 = 6.43 cm
这位同学，很可能是言过其实了，他或她怎么能够确定那0.03 cm是可靠的呢？其中猜测的成分就比较高的了，也就是说，那多出来的一位数是“无效的”了。然而，我们说，牙签的长度 = 6.4 cm，可以相当明确的、肯定的说：那不是6.3 cm 或6.5 cm，而是6.4 cm，这6.4 cm的两位数字，则都是“有效的”了。再说，牙签的长度 = 6.4 cm, 这种描述，应该是令人满意的了，毕竟只是一支牙签。如果有些物体，精确度非常重要，而必须测量出更精确的数值，那么，就必须考虑使用更精密的仪器来测量，而不能凭猜测的。
我们再举一个例子，还是用直尺，但是用来量度一条水库鱼的长度（笔者喜欢去吃农家菜），如果，我们得到：
水库鱼长度 = 64.3 cm （很大的一条鱼）
那么，这回是一个有效数字为3的数值了。有效数字多出了一位，其中的含义是什么呢？ 事实上，这条水库鱼，即使我们我们用了2个有效数字来描述，说是64 cm，大部分的人也是能够接受的，如果有人要求高些，也可以按要求，给出3个有效数字：64.3 cm。
我们现在来看看有效数字的含义：
先看牙签的长度：
牙签的长度 = 6.4 cm, 测量的误差最多为加减0.1 cm，或说 1 mm（也就是最差的情况，一般不太可能那么差）， 那么最大的百分误差是多少呢？我们来算算： 0.1/6.4 = 0.016 = 1.6 % 所以说，最大的百分误差应该是加减1.6 %；百分之1.6，误差不大，一般用途，可以接受。
再看看水库鱼长度：
水库鱼长度 = 64.3 cm，误差最多也为加减 0.1 cm （亦即1 mm） 那么最大的百分误差可计算如下 0.1/64.3= 0.0016 = 0.16 % 最大的百分误差误差则是 0.16%，也就是千分之1.6了，精密度也就是更大了，精密了10倍。所以说，有效数字，可直接反映出百分误差的大小。
再举一个例子，比如说，我们用一个卷尺（也具有1 mm的刻度），来测量一段道路的长度，发现数值为
64.327米（或6432.7 cm）
这是一个有效数字为5的数值，其最大百分误差为
0.001/64.327或0.1/6432.7 = 0.000016 = 十万分之1.6（注：1 mm = 0.001 m）
十万分之1.6的精密度，实在是不小，重点是，有没有那个必要？或者，在某些用途中，十万分之1.6的精密度，有没有实际意义在？比如说，吾人报告此段道路的长度为64.3米（三位有效，3 s.f.），甚至说64米（两位有效，2 s.f.），一般来说，是令人满意的了，如果说是64.327米，可能有人会觉得很没必要那么说，甚至于很可笑了，因为开车时、或走路时，那0.001米，对大家来说，是没太大意义的。即使说64.3米，其误差也只有千分之1.6了，因为，即使最大误差为10厘米（0.1米）那么多，我们可以确定道路长度，在最大的误差之下，则可能会是64.2米或64.4米（事实上不可能差那么多），则最大百分误差为 0.1米/64.3米 = 0.0016 = 0.16%，也就是千分之1.6了，针对一般用途来说，已经是非常精确的了。
所以，以一般用途而言，2个有效数字（2 s.f.）往往隐含着百分之几的误差；而3个有效数字（3 s.f.），往往隐含着千分之几的误差。至于更多的有效数字，往往是用在非常特别的领域之中，有其非常特别的需求与用意在。
三、有效数字的表达方法
谈到有效数字的表达方法，科学记数法 (scientific notation)，可以说是一种表达有效数字特别有用的方法，尤其是针对于特别大的数、或特别小的数，特别有帮助，例如
地球的质量为：5.981024kg 电子的质量为：9.111031kg 光速在真空中为：3.00108 m/s 质子的电量为：1.601019 C
以上相当重要的物理数值，在大学教科书的数值表中，一般是给出三位有效数字为主。在大学物理中，如果没有特别要求，一般的计算的结果，大多是以三位有效数字以内来表达，除非有特别要求，必须使用高于三位有效数字，才使用之。
但是，有时，科学记数法，并非最佳的表达法，很多时候，没有必要来用，例如，20头羊，偏要写成2.00101头羊，反而显得过分了些，比较没有必要。
我们再多看一些例子：
0.0207，前面的两个0不是有效数字，后面的
2、0、7均为有效数字，所以0.0207是一个有3个有效数字的数值，也可以写成 2.07102，也是有3位有效数字。 4.307106，
4、
3、0、7均为有效数字，后面的10的6次方不是有效数字，所以4.307106是一个有4个有效数字的数值。
2.60 有3个有效数字，小数点前后的
2、
6、0均为有效数字。
0.01300，前面的两个0不是有效数字，但是，最后的四位数
1、
3、0、0均为有效数字（最后的两个0也算）。所以这是一个有4个有效数字的数值。
200.340 有6位有效数字。
2.998108，若写成3个有效数字的数值，则为3.00108。 以上表达有效数字的原则比较没有问题，然而, 我们来看以下一个问题：
Find the weight (in Newton) of a 325 kg object on the surface of the Earth.(g = 9.8 N/kg)
我们可以计算在地球表面的重力：
Weight = mg =325kg9.8N/kg3185N
要写成2位有效数字的答案（因为9.8乃2位有效数字），则可以写成 Weight = 3200 N，或者也可以写成3.2103N，也就是说，在这里3200，是一个正确的2位有效数字的表达，这是完全没有问题的，在A Level物理考题的Mark Scheme里面，是普遍表明的、使用的，读者不可不察。
因此把3185写成2位有效数字的答案，并非一定要写成3.2103。
如果坚持要说3200是一个4位有效数字的数值，就不应该了。
因此，给与一个整数形式的表达，后面的零算不算是有效数字，是要看问题本身的实际状况，以及整个计算过程的状况而定，比如说以上题为例，不可直接把3200定为4位有效数字的表达了。像这种例子，在A Level物理考题的Mark Scheme里面表达的非常之多，尤其是答案是三位数、四位数，往往不用科学记数法来写，以免反而变麻烦了。先举一个例子，在2011年六月爱得思A Level物理Unit 5 第16题的Mark Scheme里，表明如下：
其中计算出来的温度T = 971 K，然而答案则写为970 K，显然是一个2位有效数字的答案，这是合理的，因为在计算中，我们可以看出3.2 W只有两位有效数字。再多举几个例子：
2012年夏季，爱得思A Level物理Unit 5的Mark Scheme里：
以上的答案，很明显，Energy = 780 J，与Temperature = 180 K，虽然没有用科学记数法来写，但都是以二位有效数字来表达的（不能说是有3位有效数字了，后面的0，不能称为有效数字），这是合理的，因为在计算中，最低的有效数字有两位的。
2012年一月（春季），爱得思A Level物理Unit 5的Mark Scheme里：
显然，Time = 1100 s，虽然没有用科学记数法来写，还是以二位有效数字来表达的（不能说是有4位有效数字了，后面的0，实在是不能称为有效数字的），这是合理的，因为观察计算过程，就完全可以明白了。诸如此类的例子，比比皆是，不甚枚举。
四、使用有效数字的一些法则
使用有效数字，有许多默认的法则，比如说有关 四舍五入的原则，
不同有效数字运算在一起的原则， 甚至于，与对数计算有关的
等等原则，相信读者大多有所了解，限于篇幅，本短文不加以赘述了。
五、结语
A Level物理对于有效数字的表达，有某种程度的强调，在实验部分的考卷里，会更加地重视，甚至于因此而扣分，也是完全可能的。即使不是实验考题，若在有效数字方面，表达的不好（给太多无意义的有效数字，或没按要求，给的太少），会给改考官一个不太好的印象，甚至于遭到扣分，也是可能的。剑桥的物理A Level，就更加的讲究了，请各位老师及同学多加注意。 祝 身体健康
~Dr.Yu 谨识
2014/1/6，于广州，华南国际预科中心
