自然数平方与立方数列前n项和公式证明
huangjianwxyx
以下公式，尤其是
二、三公式的推导体现了递推消项数学思想。
一、证明：Sn=k=1＋2＋3＋…＋n＝(1+n)n/2证：(略)
二、证明：Sn=k2=1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6
k1k1nn
证：(n＋1)³－n³=(n³＋3n²＋3n＋1)－n³=3n²＋3n＋1，则：
2³－1³=3×1²＋3×1＋1（n从1开始）
3³－2³=3×2²＋3×2＋1
4³－3³=3×3²＋3×3＋1
5³－4³=3×4²＋3×4＋1
6³－5³=3×5²＋3×5＋1
…
(n＋1)³－n³=3×n²＋3×n＋1（至n结束）
上面左右所有的式子分别相加，得：
(n＋1)³－1³=3×[1²＋2²＋3²＋…＋n²]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n (n＋1)³－1=3Sn＋3×[n(n＋1)/2]＋n
Sn=1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ [n(n＋1)(2n＋1)]/6
三、证明：Sn=k3=13+23+.....+n3=n2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2
k1n
证： (n+1) 4-n4=[(n+1)2+n2][(n+1)2-n2]=(2n2+2n+1)(2n+1)=4n3+6n2+4n+1则：
24-14=4*13+6*12+4*1+1 （n从1开始）
34-24=4*23+6*22+4*2+1
44-34=4*33+6*32+4*3+1
...
(n+1) 4-n4=4*n3+6*n2+4*n+1（至n结束）
上面左右所有的式子分别相加，得：
(n+1) 4-1=4*(13+23+.....+n3)+6*(1²＋2²＋3²＋…＋n²)+4*(1+2+3+...+n)+n4*(13+23+.....+n3)= (n+1) 4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]2
Sn=13+23+.....+n3=[n(n+1)/2] 2
