数列通项公式与前n项和公式关系教案
教学目标
1．了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系．
2．能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an．
3．培养学生辩证统一的观点．
教学重点与难点
重点：认清两者之间的关系．
难点：通过Sn求出an的基本方法．
教学过程设计
(一)课题引入
师：回忆一下什么是数列的通项公式？什么是数列的前n项和？
生：如果数列{an}的第n项an 与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．即an=f(n)，数列的前n项和Sn=a1＋a2＋„＋an．
师：那么Sn是否也可以表示成关于项数n的函数式？
(由前两个概念，学生不难得出正确答案，教师进一步指出这个函数式称为数列的前n项和公式)
生：Sn可以表示成关于项数n的函数式．
师：现在研究一下an与Sn两者之间的关系，(板书)．需要考虑哪几种关系？
(培养学生的辩证统一的观点，对今后的数学学习是有益的，掌握此观点，学生就可以主动地探讨其他数学问题)
生：应考虑已知an是否可以求出Sn；反之，已知Sn是否可以求出an．
师：回答正确．两者之间的关系，应该是辩证统一的．这节课我们主要研究后一种，即已知Sn是否可以求出an．
(二)提示Sn与an的关系
师：(板书)
例1 已知数列的前n项和Sn=n＋n．求：(1)a1，a2，a3，a4；(2)通项公式an ．
(由形象思维到抽象思维，由特殊到一般，是研究数学问题的一般规律，在教学中可以起到突出重点，突破难点的作用．给学生一个台阶，使学生在自己发现结论的过程中体现知识形成过程的教学)
师：(板书)
因为Sn=a1＋a2＋„＋an，
则a1=S1=2，
a2＝S2－a1＝4，
a3＝S3－a1－a2＝6
a4＝S4－a1－a2－a3＝8，
„„
所以通项公式an=2n．
师：请问an=2n是依据什么得出的？
生：由前4项猜想得出的．
师：这样猜想得出的结果是否可靠？因为这是一种不完全归纳法，因此需要论证才能严谨，现阶段我们有没有什么数学方法可以验证结论的正确性？
生：没有．
师：那么我们不妨换一个角度来考虑问题．如果结果不是通过“归纳、猜想”得到的，而是通过演绎推理获得，那么无需证明．即是否能通过Sn推导出an？
(“归纳—猜想—证明”与演绎推理是研究数学问题的两大类方法，也是学生应熟练掌握的．而学生在运用“归纳—猜想—证明”时，往往容易忽视“证明”这个环节，而此环节恰恰是“归纳—猜想—证明”中最重要的部分，若缺少“证明”，此法即为不完全归纳法．)
师：引导学生观察板书，可发现：
2
a2=S2－a1中a1写成S1，即a2=S2－S1；
a3=S3－a1－a2中，a1＋a2可写成S2，即a3=S3－S2；
a4=S4－a1－a2－a3中，a1＋a2＋a3可写成S3，即a4=S4－S3，
那么an是否与Sn也有以上关系？
生：因Sn=a1＋a2＋a3＋„＋an，则an=Sn－(a1＋a2＋„＋an-1)．又Sn-1=a1＋a2＋„＋an-1，则an=Sn－Sn-1．
师：现在大家一起来考虑这个关系式对于任意数列，任意自然数n都能立？
(设疑可以调动学生的思维，也为下一步教学作铺垫)
师：带着这个问题，我们来讨论一道题．
(板书)例2 已知数列的前n项和Sn=n2＋n＋2，求数列的通项公式an．
生：(板书)an=Sn－Sn-1=n2＋n＋2－[(n－1)2＋(n－1)＋2]=2n．
(做完之后，部分学生就会提出疑问，这时教师应及时因势利导，指导学生讨论，顺理成章地引出本节课的难点；若没有学生提出质疑，教师也可设问引出)
生：这个结果有问题．此题与例1得出的通项公式an是一致的，说明两个数列应是同一个数列，而它们的前n项和Sn又不相等，这不是矛盾吗？
师：问题提的很好，大家想一想，开动脑筋，讨论一下，这其中的道理究竟是什么？
(分组讨论，此时学生思维是非常活跃的，方法也很多，教师在巡视过程中，应注意发现积极有意义的成份)
生：我用前面归纳a1，a2，a3，„的方法计算了一下，得出：a1=S1=4，a2=S2－S1=4，a3=S3－S2=6，a4=S4－a1－a2－a3=8，那么所谓通项公式an=2n，是从第二项开始的，而不包括a1．
师：那么问题出在哪儿？
生：如果应用上述关系式an=Sn－Sn-1，求a1，应为a1=S1－S0，但是S0又表示什么含义呢？
师：这个问题提的在理，S0表示什么意义？
(教师在教学过程中，一定要抓住学生在回答问题时积极有意义的因素，这样可以激发学生学习的兴趣，有利于培养学生良好的思维品质)
师：我们在－开始已经指出前n项和公式Sn是关于n的函数解析式，自变量n的范围是大于0的自然数，因此S0是没有意义的，即a1=S1－S0此关系式是无任何意义的．
生：可见，an=Sn－Sn-1这个关系式的缺憾就是不能表示首项a1，它成立的条件应该是n≥2．
师：那么a1如何确定？
生：a1可以由a1=S1确定．
师：这样我们把an=Sn－Sn-1这个关系式就找完备了．即(板书)
那么例2的正确解法为：
(板书)解：n=1时，a1=S1=4．
n≥2时，an=Sn－Sn-1=n＋n＋2－[(n－1)＋(n－1)＋2]=2n．
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生：我有一个想法，可以避免关系式中出现S0．
师：说出来大家一起研究．
(教师一定要保护学生思考的积极性，这样可以培养学生的发散性思维)
生：(板书)an+1=Sn+1－Sn=(n＋1)2＋(n＋1)＋2－n2－n－2=2n＋2．
由于通项公式是关于项数n的函数解析式，所以an+1=f(n＋1)=2n＋2．
应用换元法求函数解析式：f(n)=2n．这样得到通项公式：an =2n．
这种做法避免了S0，但为什么还是错误的．
师：这种想法有一定道理，但只要我们进一步探讨，就会发现其中的问题．
an+1=Sn+1－Sn=2n＋2，此式也只揭示了数列从第2项起，项与项数的函数关系，因此f(n＋1)与f(n)的定义域不同，这种做法，虽然表面上避免了S0的出现，但它与前一种方法本质上是同出一辙的．
师：由上述两例中不难看出，由前n项和Sn求通项公式an时，n=1的情况有时可以统一，如例1，有时只能分类得到，如例2，那么如何区别呢？这里只要验证n=1时，an (n≥2)的表达式是否可以表示a1即可．
(三)举例巩固
师：我们已经得到了前n项和Sn与通项公式an的关系，现在运用这一关系解决如下几个问题．
例3 已知数列{an}的前n项和Sn，满足：log2(Sn ＋1)=n＋1．求此数列的通项公式
an．
(例3的目的是巩固已学习过的知识，并且规范做题格式．学习数学其中一个很重要的目的是培养学生严谨的逻辑性，而这恰恰体现在学生做题的格式是否规范化上)
师：由例1，例2可知，要求出通项公式an，须求出Sn，即应由log2(Sn ＋1)=n＋1，求出Sn，再利用数列前n项和Sn与通项公式an之间的关系，得到数列的通项公式an．
生：(板书)
解：由log2(Sn＋1)=n＋1，得Sn=2n＋1－1
当n=1时，a1=S1=22－1=3；
当n≥2时，an=Sn－Sn-1=2n+1－1－(2n－1)=2n．
例4 在数列{an}中，a1=0，an+1＋Sn=n2＋2n(n∈N+)．求数列{an}的通项公式．
师：现在我们的任务是如何求出数列前n项和Sn．
生：由已知an+1＋Sn=n＋2n，得Sn=n＋2n－an＋1．
师：这样求出的Sn，是否能利用数列的前n项和与通项公式的关系，求出通项公式呢？显然是不行的，因为数列的前n项和公式Sn是关于项数n的函数关系式，而Sn
=n2＋2n－an+1并不是关于项数n的函数关系式．
生：不妨也利用数列前n项和Sn与通项公式an的关系，将an+1表示为an+1=Sn+1－Sn，那么an+1＋Sn=n2＋2n就转化为关于Sn+1，Sn的关系式，再求Sn．
师：(板书)由于an+1=Sn+1－Sn，则an+1＋Sn=Sn+1－Sn＋Sn=Sn+1，即Sn+1=n2＋2n．
师：再如何通过Sn+1求Sn？
生：可以利用函数知识，因为前n项和Sn是关于项数n项的函数解析式，即已知
Sn+1=f(n＋1)=n2＋2n，可以求出Sn=f(n)=Sn．
师：(板书) Sn+1=n＋2n=(n＋1)－1，则Sn=n－1．
(以下省略，得出结果)
2
2
2
2
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(四)课堂练习
已知数列前n项和Sn，求数列的通项公式an．
1．Sn=n－2n＋2；
2．Sn=n＋222
－1；
答案：
(五)课堂小结
通过本节课，我们学习了已知数列前n项和Sn，如何求出数列通项公式an的方法．
在运用上述关系时，一定要注意an=Sn－Sn-1成立的条件：n≥2，a1应由S1确定．
(六)布置作业
已知数列{an}的前n项和Sn，求它的通项公式：
(1)Sn=an2＋bn(a，b为已知常数)；(2)Sn=an2＋bn＋c(a，b，c为已知常数)；
(3)Sn=n3＋n－1．
作业答案：
(1)an=2an－a＋b (n∈N+)．
课堂教学设计说明
1．本节课的内容教材中基本未涉及，但这类问题在各级各类考试中均有所涉及，因此在日常教学中，应适时补充，究其授课深度应视学生程度而定，因材施教．
2．数列中，有三个基本问题．即关于数列的通项问题；关于数列的前n项和问题；关于数列的极限问题．一般说来，数列中的其他问题都是围绕这三个问题展开的．可见，研究这三个问题是十分有意义，也是十分必要的．
数列{an}的前n项和公式，实际上就是数列{Sn}的通项公式，因此，Sn与an之间有着密切的联系．
{Sn}：S1，S2，S3，S4，„，Sn-1，Sn，„
{an}：a1，a2，a3，a4，„，an，„
不难看出：Sk＋ak+1=Sk+1 (k∈N+)，
3．从辩证统一的观点看问题，Sn与an之间的关系，应包含两层关系．一类为知
Sn求an；另一类为知an求Sn，本节课所授内容只是其中一类．至于另一类问题将是以后教学中的一个难点内容，即“数列求和”，辩证统一的观点在中学数学中处处可见，教师应注意对学生进行这方面的教育，有助于提高学生的数学素质，培养学生研究数学问题的能力．
4．对于概念课的教学，切忌直接给出概念或公式，这样无助于学生思维品质的培养，无助于学生能力的训练．常此以往下去，学生解决问题能力无从谈起．在教学中应尽可能地再现公式推导的过程，探讨问题解决的过程比结论本身更具意义．在课堂教学中，鼓励学生进行想象的创造性思维．如果学生对问题有自己独特见解时，这可能是我们从数学活动中得到额外的有价值信息的机会，教师切莫认为学生是离谱的想象，要从中挖掘出有积极意义的部分，激发学生创造性智能，这才是我们数学教育的本质．正如爱因斯坦指出的：“发展独立思考和独立判断的一般能力，应当始终放在首位，而不应当把获得专业知识放在首位．”
