长春宽城区2018-2019学年高中数学不等式单元测试题
数学（理） 2018.7
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．下列命题中，为真命题的是
(
)
A． 若ac>bc，则a>b
B． 若a>b，c>d，则ac>bd
C． 若a>b，则
D． 若ac2>bc2，则a>b 2．下列命题的逆命题为真命题的是
(
)
A． 若x>2，则(x-2)(x+1)>0
B． 若x2+y2≥4，则xy=2 C． 若x+y=2，则xy≤
1D． 若a≥b，则ac2≥bc2
3．若a＞0，b＞0，则p＝与q＝a·b的大小关系是( )
baA． p≥q
B． p≤q
C． p＞q
D． p＜q
4．在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（
）
A． ﹣1＜a＜1
B． 0＜a＜
2C． ﹣5．若实数A． C． 满足
B．
D．
D． ﹣
,则下列不等式一定成立的是( )
6．设均为正数,且,则的最小值为( )
A． 1
B．
3C． 6
D． 9
7．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足
试卷第1页，总5页 ，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记
，则λ2•λ3取到最大值时，2x+y的值为（
）
A． ﹣1
B． 1
C． -
D．
8．函数y＝f(x)的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f(x)>f(－x)＋x的解集为( )
A． ∪(0,1]
B． [－1,0)∪
C． ∪
D． ∪
9．(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域为( )
A．
B．
C．
D．
10．当x≥0时，不等式(5－a)x2－6x＋a＋5>0恒成立，则实数a的取值范围是( ) A． (－∞，4)
B． (－4,4) C． [10，＋∞)
D． (1,10]
试卷第2页，总5页 11．若0＜α＜β＜，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，则( ) A． a＜b
B． a＞b C． ab＜
1D． ab＞2
12．函数y＝ (x＜0)的值域是( )
A． (－1,0)
B． [－3,0) C． [－3,1]
D． (－∞，0) 试卷第3页，总5页
第II卷（非选择题）
二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。
13．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，若池底每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，这个水池的最低造价为________元．
14．不等式＜2的解集为________．
15．已知x,y,z∈R,有下列不等式: ①x2+y2+z2+3≥2(x+y+z);
，
③|x+y|≤|x-2|+|y+2|; ④x2+y2+z2≥xy+yz+zx.
其中一定成立的不等式的序号是_____ 16．已知x ，则函数的最大值为_______
三、解答题 共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．设p：实数x满足x2-4ax+3a20)，q：实数x满足≤0． (1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； (2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．设 p：2x2-3x+1≤0，q：x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19．已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),设
，
(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围; (3)设mn0,a>0,且f(x)满足f(-x)=f(x),试比较F(m)+F(n)的值与0的大小.20．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈(1,3)时，有f(x)≤ (x＋2)2成立．
试卷第4页，总5页 (1)证明：f(2)＝2；
(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表达式；
(3)设g(x)＝f(x)－x，x∈[0，＋∞)，若g(x)图象上的点都位于直线y＝的上方，求实数m的取值范围．
21．某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐8吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 22．整改校园内一块长为15 m，宽为11 m的长方形草地(如图A)，将长减少1 m，宽增加1 m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x m，宽增加x m(x>0)，试研究以下问题：
x取什么值时，草地面积减少？ x取什么值时，草地面积增加？
试卷第5页，总5页
参考答案
1．D 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一判断真假.【详解】
当cbc，则aa>b，0>c>d时，ac
若a>b>0或0>a>b，则，但当a>0>b时，，故C为假命题；
若ac2>bc2，则故答案为：D.【点睛】 ，则a>b，故D为真命题．
本题主要考查不等式的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2．B 【解析】 【分析】
先写出每一个选项的逆命题，再判断命题的真假.【详解】
A中，“若x>2，则(x-2)(x+1)>0”的逆命题为“若(x-2)(x+1)>0，则x>2”，为假命题； B中，“若x2+y2≥4，则xy=2”的逆命题为“若xy=2，则x2+y2≥4”，为真命题；
C中，“若x+y=2，则xy≤1” 的逆命题为“若xy≤1，则x+y=2”，如x=-1，y=-1，满足xy≤1，但x+y≠2，为假命题；
D中，“若a≥b，则ac2≥bc2”的逆命题为“若ac2≥bc2，则a≥b”，如c=0时，ac2≥bc2，但a≥b不一定成立，为假命题． 故答案为：B.【点睛】
本题主要考查逆命题和其真假的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
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3．A 【解析】 【分析】
利用作商法结合指数函数图像与性质比较大小.【详解】
,
若则，；
若则，∴
若∴p≥q 故选：A 则
【点睛】
本题考查比较大小问题，考查了作商法及指数函数的图像与性质，考查了分类讨论的思想，属于中等题.4．C 【解析】 【分析】
根据新定义化简不等式，得到a2﹣a﹣1＜x2﹣x因为不等式恒成立，即要a2﹣a﹣1小于x2﹣x的最小值，先求出x2﹣x的最小值，列出关于a的一元二次不等式，求出解集即可得到a的范围． 【详解】
由已知：（x﹣a）⊗（x+a）＜1， ∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1， 即a2﹣a﹣1＜x2﹣x．
令t=x2﹣x，只要a2﹣a﹣1＜tmin．
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t=x2﹣x=，当x∈R，t≥﹣．
∴a2﹣a﹣1＜﹣，即4a2﹣4a﹣3＜0，
解得：﹣故选：C． 【点睛】 ．
考查学生理解新定义并会根据新定义化简求值，会求一元二次不等式的解集，掌握不等式恒成立时所取的条件． 5．B 【解析】 【分析】
由题意给出反例说明不等式的结论不成立，结合不等式的性质证明不等式成立即可确定正确选项.【详解】 取取取，满足，满足，满足
，而，而，而
，选项A错误； ，选项C错误； ，选项D错误； , 对于选项B，由绝对值不等式的性质可知由题意可知,
，即由不等式的传递性可知本题选择B选项.【点睛】
，选项B的说法正确.
本题主要考查绝对值不等式的性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D 【解析】 【分析】
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由题意结合均值不等式的结论得到关于的不等式，求解不等式即可确定的最小值.【详解】
均为正数,且由基本不等式可得解得据此可得或
,所以,整理可得 (舍去).
,整理得
,
,
，当且仅当时等号成立.
即的最小值为9.本题选择D选项.【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 7．D 【解析】 【分析】
根据三角形中位线定理及基本不等式，求得λ2•λ3的最大值，并求得此时P的位置。由向量加法法则，判断出x与y的关系，进而求出2x+y的值。 【详解】
由题意，可得∵EF是△ABC的中位线，∴P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，可得S1=S=S2+S3，由此可得λ2•λ3
=由向量的加法的四边形法
当且仅当S2=S3时，即P为EF的中点时，等号成立．∴则可得，，
∴两式相加，得∵由已知得∴根据平面向量基本定理，得x=y=，从而得到2x+y=.综上所述，可得当λ2•λ3取到最大值时，2x+y的值为
答案第4页，总16页
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的简单应用，由基本不等式确定最值，属于难题。 8．C 【解析】 【分析】
由函数的图象可知，函数y=f（x）是奇函数，则不等式f（x）＞f（﹣x）+x等价为f（x）＞﹣f（x）+x，即2f（x）＞x成立．解不等式即可． 【详解】
函数的图象可知，函数y=f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），
所以不等式f（x）＞f（﹣x）+x等价为f（x）＞﹣f（x）+x，即f（x）．
对应圆的方程为x2+y2=1，联立直线y=得，x=
，
所以由图象可知不等式f（x）＞f（﹣x）+x的解集为[﹣1，﹣故答案为：C 【点睛】
）∪（0，）．
(1)本题主要考查函数奇偶性的应用，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理数形结合能力（.2利用图象的对称性判断函数是奇函数是解决本题的关键，然后利用直线与圆的方程解方程即可． 9．B 【解析】 【分析】 先化简不等式得到【详解】 由题得先作出不等式再作出
或
，再分别作出它们对应的可行域即得解.
或
.
对应的可行域，是选项B中上面的一部分，
对应的可行域，是选项B中下面的一部分,
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故答案为：B 【点睛】
(1)本题主要考查不等式对应的可行域，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)解题的关键是由已知的不等式得到10．B 【解析】 【分析】
一般选择特殊值验证法，取a=10,排除C,D,取a=-4,排除A,故选择B.【详解】
用特殊值检验法，取a＝10，则不等式为－5x－6x＋15＞0，即5x＋6x－15＜0，当x≥0取x=2时，17＞0，所以不等式(5－a)x2－6x＋a＋5>0不恒成立，排除C，D，取a＝-4，不
2
2或
.
等式为9x－6x＋1>0，当x≥0取x=时，0＞0不恒成立，所以排除A.故答案为：B 【点睛】
(1)本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题可以选择直接法解答，但是比较复杂，由于是一个选择题，所以可以选择特殊值验证法比较简洁.11．A 【解析】 【分析】 先利用作差法比较【详解】 的大小，再比较a,b的大小关系.2∵0＜α＜β＜，
∴0＜2α＜2β＜且0＜sin 2α＜sin 2β， ∴a2＝(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α，
b2＝(sinβ＋cosβ)2＝1＋sin2β，
答案第6页，总16页
∴a－b＝(1＋sin2α)－(1＋sin2β)， ＝sin2α－sin2β＜0， ∴a＜b.
又∵a＝sinα＋cosα＞0，b＝sinβ＋cosβ＞0， ∴a＜b.【点睛】
(1)本题主要考查实数大小的比较，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数大小，常用的有作差法和作商法，本题的关键是首先要想到比较12．B 【解析】 【分析】 的大小.2222先把函数变形得y＝【详解】
，再利用基本不等式求函数的最值即得函数的值域.
y＝，∵x＜0，
∴－x＞0且y＜0，
∴x＋＝－(－x＋)≤－2，
∴y＝≥－3，当且仅当x＝－1时等号成立．
所以函数的值域为[－3,0).故答案为：B
【点睛】
（1）本题主要考查基本不等式，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，
答案第7页，总16页
配凑出基本不等式的条件.解答本题的关键是先变形y＝13．1760 【解析】 【分析】
.
设池底长为x，根据条件建立水池的总造价，再根据基本不等式求最值.【详解】
设池底长为x，则宽为因此水池的总造价为
，
，
当且仅当【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14．(－∞，－7)∪(－2，＋∞) 【解析】 【分析】
先移项通分，再根据符号确定不等式解集.【详解】 时取等号，即这个水池的最低造价为1760元.
,
即解集为(－∞，－7)∪(－2，＋∞).【点睛】
本题考查分式不等式解法，考查基本求解能力.15．①③④ 【解析】
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【分析】
由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可.【详解】
逐一考查所给的四个说法：
，
则
，说法①正确；
当时，不成立，说法②错误；
由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+(y+2)|=|x+y|，说法③正确；
，
则
，说法④正确.
综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④.【点睛】
本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．1 【解析】 【分析】 由题意可知【详解】 ，结合均值不等式的结论求解函数的最大值即可.
∵x
又∵y=4x-2
=≤-2+3=1,
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当且仅当5-4xx=1时等号成立,
∴ymax=1.
【点睛】
条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
17．（1）x的取值范围为(2，3)；（2）a的取值范围为(1，2]． 【解析】 【分析】
（1）先化简命题p和q,再根据p∧q为真得到x的取值范围.(2)先写出命题p和q，再根据p是q的充分不必要条件得到a的取值范围.【详解】
(1)由x2-4x+3
由≤0，得2
∵p∧q为真， ∴p真，q真， ∴,解得2
∴x的取值范围为(2，3)． (2) 由题意得：
q：实数x满足x≤2或x>3；
p：实数x满足x2-4ax+3a2≥0，由x2-4ax+3a2≥0，得x≤a或x≥3a． ∵p是q的充分不必要条件， 所以a≤2且3a>3，解得1
(1)本题主要考查不等式的解法，考查复合命题的真假，考查充要条件的运用，意在考查学
答案第10页，总16页
生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题
和集合
的对应关系.,则是的充分条件，若
，，则；最后利用下面的结论判断：①若是的充分非必要条件；②若③若且，即
,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；
时，则是的充要条件.
18．
【解析】 【分析】
先化简命题p和q,再根据p是q的充分不必要条件分析推理得到a的取值范围.【详解】
由题意得，p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1．
∵p是q的必要不充分条件， ∴p是q的充分不必要条件，
∴a+1≥1且a≤(等号不能同时取得)，
∴0≤a≤．
故实数a的取值范围为【点睛】
．
(1)本题主要考查解不等式，考查充要条件的应用，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合
的对应关系.,则是的充分条件，若
，
；最后利用下面
,时，的结论判断：①若，则是的充分非必要条件；②若
且
，即则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若
答案第11页，总16页
则是的充要条件.
19．(1)【解析】 【分析】 （1）由可得
.(2).(3) F(m)+F(n)>0.
；然后再根据f(x)≥0恒成立并结合判别式可得a=1，进而可得
，根据函数有单调性可得对称轴与所给
为奇函数且在R上为增函函数的解析式．（2）由题意可得区间的关系，从而可得k的取值范围．（3）结合题意可得函数数，再根据条件mn0可得F(m)+F(n)>0． 【详解】 (1)∵∴b=a+1.
∵f(x)≥0对任意实数x恒成立， ，
∴解得a=1． ∴f(x)=x2+2x+1.
，
故．
(2)由(1)知f(x)=x2+2x+1，
∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1．
由g(x)在区间[-2,2]上是单调函数可得解得k≤-2或k≥6． 故k的取值范围为(3)∵f(-x)=f(x)， ∴f(x)为偶函数， ∴b=0．
．
或，
答案第12页，总16页
又a>0,
∴f(x)在区间[0,+∞)为增函数． 对于F(x),当x>0时，当x
，
,且F(x)在区间[0,+∞)上为增函数，
上为增函数．
；
由mn0,n-n>0， ∴， ． ∴【点睛】
（1）已知函数的单调性求参数的取值范围时，要结合抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系进行求解，进而得到关于参数的不等式即可．
（2）分段函数的奇偶性的判定要分段进行，在得到每一段上的函数的奇偶性后可得结论．
20．（1）见解析（2）f(x)＝x2＋x＋.（3）m∈(－∞，1＋【解析】 【分析】 （1）由题得
)．
，所以f(2)=2.（2）由f(2)=2，f(－2)＝0得到a,b,c的方程组，再根据f(x)≥x恒成立得到ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立，即a>0.Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0，解出a,b,c的值即得f(x)的表达式.(3)先转化为x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，再利用二次函数的图像数形结合分析得到m的取值范围.【详解】
(1)证明：由条件知： f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立．
答案第13页，总16页
又因取x＝2时，f(2)＝4a＋2b＋c≤ (2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.(2)因∴4a＋c＝2b＝1.，
∴b＝，c＝1－4a.
又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立．
∴a>0.Δ＝(－1)2－4a(1－4a)≤0，
解出：a＝，b＝，c＝.
∴f(x)＝x2＋x＋.
(3)g(x)＝x2＋(－)x＋>在x∈[0，＋∞)必须恒成立． 即x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立， ①Δ
解得：1－
②解得：m≤1－，
综上m∈(－∞，1＋【点睛】 )．
(1)本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查二次函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答第3问的关键是通过数形结合分析得到Δ
21．生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元．
答案第14页，总16页
【解析】 【分析】
设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元，列出线性约束条件，再利用线性规划求解.【详解】
设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮能够产生利润z万元． 目标函数为z＝x＋0.5y，
约束条件为：，
可行域如图中阴影部分的整点．
当直线y＝－2x＋2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大． 解方程组所以zmax＝x＋0.5y＝3.
所以生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元． 【点睛】
(1)本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和应用能力.(2) 线性规划问题步骤如下：①根据题意，设出变量数行直线系
；②列出线性约束条件；③确定线性目标函
得：M点坐标为(2,2)．
；④画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；⑤利用线性目标函数作平
；⑥观察图形，找到直线
在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.22．见解析
答案第15页，总16页
【解析】 【分析】
先计算原草地的面积和整改后的草地面积，即得草地面积增加了.设减少x m，宽增加x m后，计算出新草地的面积，再比较和原草地面积的大小，即得x取什么值时，草地面积减少, x取什么值时，草地面积增加.【详解】
原草地面积S1＝11×15＝165(m2)， 整改后草地面积为：S＝14×12＝168(m2)， ∵S>S1，∴整改后草地面积增加了．
研究：长减少x m，宽增加x m后，草地面积为：
S2＝(11＋x)(15－x)，
∵S1－S2＝165－(11＋x)(15－x)＝x2－4x， ∴当04时，x2－4x>0，∴S1>S2.
综上所述，当04时，草地面积减少． 【点睛】
本题主要考查实数大小的比较，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
答案第16页，总16页
