数学基础知识与典型例题
数学基础知识与典型例题(第六章不等式)答案
例1.C例2.B例3.6 例4.n3+1>n2+n
例5.提示:把“”、“2”看成一个整体.解:∵3=2(2)()
又∵2≤2(2)≤6,1≤()≤1 ∴1≤3≤7,∴3的取值范围是1,7 例6.A例7.A例8.B
例9.B例10.
4例11.B
例12.D
例13.C
例14.D 例15.(1)
x2
1例16.解:原不等式等价于x
0,x21
x
1.当x>0时,上述不等式组变成x2情形1 1,1x2x1.解得:1x
情形2 当x
x21,
x2x1.
解得1x
所以原不等式解集为{|1x12{x|1x1
2例17.解: 原不等式等价于x2x
3x2
ax
0.由于x2x30对xR恒成立, ∴x2ax0,即x(xa)0当a>0时,{x|xa或x0}; 当a=0时,{x|xR且x0}; 当a
例18.证明:令y=2x22x1
x2x1
,去分母,整理得(y-2)x2+(2-y)x+y+1=0.
⑴当y≠2时,要方程有实数解,
须Δ=(2-y)2-4(y-2)(y+1)≥0得-2≤y≤2, 又∵y≠2∴-2≤y
⑵当y=2时,代入(y-2)x2+(2-y)x
+y+1=0中,得
3=0,矛盾.∴综上所述,
-2≤y
例19.综合法提示
2
ab) 另外本题还可用几何法.
证明:
先考虑a、
b、c为正数的情况,
这时可构造出图形:以a+b+c为边长画一个正方形,
如图,则AP1
PP12
P2B ABabc).显然AP1PP1
2P2B
≥AB,
abc).当a、b、c中有负数或零时,显然不等式成立.
例20.答案见高中数学第二册(上)第27页例1
可用分析法,比较法,综合法,三角换元法以及向量法等证
例21.提示:利用aaac
abcab
abc
例22.高中数学第二册(上)第17页习题9 法一:构造函数法
证明:∵ f(x) = xm
x + m (m>0) = 1-x + m在(0, + )上单调递增,
且在△ABC中有a + b > c>0,∴ f(a + b)>f(c),即 a + bc
a + b + m> c + m。
又∵ a,b R*,∴aamb
bm
aba + ba + b + m + a + b + m = a + b + m ,
∴abc
ambm
c.m法二:分析法
证明:要证aambc
bm
cm
, 只要证a(b + m)(c + m) + b(a + m)(c + m)-c(a + m)(b + m)>0,
即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2-abc-acm-bcm-cm2>0, 即abc + 2abm + (a + b-c)m2>0,由于a,b,c为△ABC的边长,m>0, 故有a + b> c,即(a + b-c)m2>0。
所以abc + 2abm + (a + b-c)m2>0是成立的,
abc
因此 .
ambmcm例23.5400,
例24.答案见2005-7-30高中数学第二册(上)第13页例4