均值不等式
均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
中文名均值不等式 外文名mean inequality 表达式Hn≤Gn≤An≤Qn 应用学科数学 适用领域范围不等式
定义
被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。
其中：
，被称为调和平均数。
，被称为几何平均数。
，被称为算术平均数。
，被称为平方平均数。 证明
关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：
（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。） 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设A≥0，B≥0，则
，且仅当B=0时取等号。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）。
原题等价于：
, 当且仅当
时取等号。 当n=2时易证；
假设当n=k时命题成立，即
, 当且仅当
是
、
......中最大者，则
时取等号。那么当n=k+1时，不妨设
设 ，
，根据引理
，当且仅当
且
时，即
时取等号。
利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等等方法。
推广
一般形式
设函数
( )；
。
是 时， 。
上的连续单调递增函数。
可以注意到，min{an}≤Hn≤Gn≤An≤Qn≤max{an}仅是上述不等式的特殊情形。
特例
⑴对实数a,b，有
（当且仅当a=b时取“=”号）， （当且仅当a=-b时取“=”号） ⑵对非负实数a,b，有
，即
⑶对非负实数a,b，有
⑷对非负实数a,b，a≥b,有
⑸对非负实数a,b，有
⑹对实数a,b，有
⑺对实数a,b,c，有
⑻对非负数a,b，有
⑼对非负数a,b,c，有
在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：
当n=2时，上式即：
当且仅当
时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即
。
