(均值不等式)

均值不等式归纳总结

1.(1)若a,bR，则ab2ab 22a2b2(2)若a,bR，则ab

2*（当且仅当ab时取“=”） 2.(1)若a,bR*，则ab2(2)若a,bR ，则ab2ab （当且仅当ab

时取“=”）

ab(3)若a,bR，则ab2*2(当且仅当ab时取“=”）

3.若x0，则x2 (当且仅当x1时取“=”）

1x

1若x0，则x2 (当且仅当x1时取“=”） x

若x0，则x1

x

ba2即x11） 2或x-2(当且仅当ab时取“=”xx4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）

若ab0，则ab2即ab2或ab-2(当且仅当ab时取“=”） bababa

5.若a,bR，则(ab)2a

22b22（当且仅当ab时取“=”）

ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和

为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x＋

12x

2（2）y＝x＋x

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x，求函数y4x2技巧二：凑系数 例1.当

时，求yx(82x)的最大值。

32

541的最大值。 4x5

变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。

技巧三： 分离

x27x10

(x1)的值域。 例2.求y

x

1练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.11x23x1

,x(0,),x3(3)y2sinx,(x0) （2）y2x（1）y

sinxx3x

2．已知0x

1，求函数y值.；

3．0x

，求函数y值.

1.若实数满足ab2，则3a3b的最小值是

变式：若log4xlog4y2，求

技巧四：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知x0,y0，且1，求xy的最小值。 错．解．

：

x0,y0，且

19

1xy

1x1

的最小值.并求x,y的值 y

1x9y

，

19xy

xy1

2xy

故

xymin12 。

错因：解法中两次连用均值

不等式，在xyx

y，在

19xy即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因

x9y

此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 正解：

19y9x19

x0,y0,1，xyxy1061016

xyxyxy

当且仅当

y

x199x

时，上式等号成立，又1，可得x4,y12时， xymin16 。

xyy

x

y



变式： （1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

技巧五

已知x，y为正实数，且x 2＋

y 2

＝1，求1＋y 2 的最大值.

24

技巧六：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

点评：如何由已知不等式aba2b30出发求得ab的范围，关键是寻找（a,bR）到ab与ab之间的关系，由此想到不等式

ab

ab（a,bR），这样将已知条件2

ab

的最小值.

转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 应三：利用均值不等式证明不等式

1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca 1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc



例6：已知a、b、cR，且abc1。求证：1118 abc

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连

乘，又111abca

a

a

变形入手。

11abc1abc1。

解：a、b、cR，。

同理11

11

a

a

a

bc

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1111abc。当且仅当时取等号。 11183abc

均值不等式

均值不等式

均值不等式

均值不等式放缩

均值不等式练习题

不等式证明,均值不等式

3.2均值不等式

均值不等式教案

均值不等式证明

均值不等式说课稿

《(均值不等式).doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便编辑。

推荐度：

点击下载文档