不等式（优秀）

发布时间：2020-03-02 14:00:32 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

数学竞赛中使用的几个不等式

①几个变元的均值不等式。

设aiR(i1,2,,n)。则

a1a2ana1a2an n

此不等式的变形为：

设aiRmma1ma2an)m(m1,2,)，则有 (i1,2,,n)，Am(n

1A1A2A3A4

②柯西不等式

设ai,biR(i1,2,,n)，则 2222(a1b1a2b2anbn)2(a12a2an)(b12b2bn)

等号成立当且仅当

③排序不等式 aa1a2（约定ai0时，bi0） n时成立。b1b2bn

设有两个有序数组a1a2an及b1b2bn，则

a1b1a2b2anbn（顺序和）

a1bi1a2bi2anbin（乱序和）

a1bna2bn1anb1（反序和）

其中i1,i2,in是1,2,,n的任一排列，当且仅当a1a2an或b1b2bn时等号成立。利用排序不等式可得切比雪夫不等式：

若a1a2an，b1b2bn，则

a1b1a2b2anbn

1(a1a2an)(b1b2bn) n

a1bna2bn1anb1

④柯西不等式的拓展

ⅰ．设ai,bi同号（i1,2,,n），则

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an(a1a2an)2a1a2 b1b2bna1b1a2b2anbn

当且仅当b1b2bn时取等号。

ⅱ．若xi,yiR，且yiR(i1,2,,n)，则

22xn(x1x2xn)2x12x2 y1y2yny1y2yn

著名不等式荟萃

在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．

一、平均不等式（均值不等式）

设a1，a2，„，an是n个实数，

Aa1a2an n

叫做这n个实数的算术平均数。当这n个实数非负时，

Ga1a2an

叫做这n个非负数的几何平均数。当这n个实数均为正数时，

Hn

a1a2an

叫做这n个正数的调和平均数。

设a1，a2，„，an为n个正数时，对如下的平均不等式：

HGA，

当且仅当a1a2an时等号成立。平均不等式AG是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一。

设x1，x2，„，xn是n个正的变数，则

（1）当积x1x2xnP是定值时，和x1x2xn有最小值，且

(x1x2xn)最小值nx1x2xnnP；

（2）当和x1x2xnS是定值时，积x1x2xn有最大值，且

(1x2xn)最大值(x1x2xnnS)()n nn

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两者都是当且仅当n个变数彼此相等时，即x1x2xn时，才能取得最大值或最小值。

在AG中，当n2,3时，分别有

aaa3a1a2a1a2，12a1a2a3.2

3平均不等式AG经常用到的几个特例是（下面出现的a1a2an

（3）(a1a2an)(1时等号成立； n111)n2，当且仅当a1a2an时等号成立； a1a2an

（4）a112，当且仅当a11时等号成立。 a

1二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）

对任意两组实数a1，a2，„，an；b1，b2，„，bn，有

222222(a1b1a2b2anbn)(a1a2an)(b1b2bn)，其中等号当且仅当

aa1a2n时成立。 b1b2bn

柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a1，„，an；b1，„，bn都表示实数）是：

（1）a1a2an1，b1b2bn1，则a1b1a2b2anbn

1（2）a1a2a2a3a3a1a1a2a3.（3）(a1a2an)2n(a1a2an)

柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位。

三、闵可夫斯基不等式

设a1，a2，„，an；b1，b2，„，bn是两组正数，k0,k1，则 22223222222

2[(aibi)](ai)(bi)（k1） i1i1i1n1kkk1kkn1kk

[(ab)](ai)(bi)（0k1）

i1i1i1n1kkn1kkn1kk

当且仅当aa1a2n时等号成立。 b1b2bn

闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当k2,n2时得平面上的三角形不等式：

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1b1)

2(a2

b2

)2a1a2b1b2

右图给出了对上式的一个直观理解。

若记(a1,a2)，(b1,b2)，则上式为 2222



四、贝努利不等式

（1）设x11,i1,2,,n,n2，且同号，

则(1x1)(1x2)(1xn)1x

1x2xn.（2）设x1，则

（ⅰ）当01时，有(1x)1x；

（ⅱ）当1或0时，有(1x)1x，上两式当且仅当x0时等号成立。

不等式（1）的一个重要特例是

(1x)n1nx（x1,x0,nN,n2）

五、赫尔德不等式

已知aibi（1in）是2n个正实数，0,0,1，则 a1b1a2b2anbn(a1a2an)(b1b2bn) 上式中若令122，xiai，yibi，则此赫尔德不等式即为柯西不等式。

2六、契比雪夫不等式

（1）若a1a2an,b1b2bn，则

aaanb1b2bn1(ababab)12； nnn

（2）若a1a2an,b1b2bn，则

aa2anb1b2bn

1(ababab)1 n

下面给出一个n2时的契比雪夫不等式的直观理解。

如图，矩形OPAQ中，a1a2，b1b2，显然阴影部分的矩形的面

积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻

折比较即知）。于是有

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(a1a2)(b1b2)2(a1b1a2b2)，也即(a1b1a2b2)1212 22

2七、排序不等式

设有两组数a1，a2，„，an；b1，b2，„，bn满足a1a2an,b1b2bn，则有

a1bna2bn1anb1a1bt1a2bt2anbtna1b1a2b2anbn，式中的t1，t2，„，tn是1，2，„，n的任意一个排列，式中的等号当且仅当a1a2an或b1b2bn时成立。

以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解。

八、含有绝对值的不等式

a,b为复数，则ababab，

左边的等号仅当a,b的幅角差为时成立，右边的等号仅当a,b的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是

a1a2ana1a2an，

也可记为aa.ii

i1i1nn

绝对值不等式在实数的条件下用得较多。

九、琴生不等式

设f(x)是（a,b）内的凸函数，则对于（a,b）内任意的几个实数x1,x2,,xn有

f(x1x2xn1)[f(x1)f(x2)f(xn)]， nn

等号当且仅当x1x2xn时取得。

琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的。利用琴生不等式我们可以得到一系列不等式，比如“幂平均不等式”，“加权的琴生不等式”等等。

十、艾尔多斯—莫迪尔不等式

设P为ABC内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则

PAPBPC2(PDPEPF)，

当且仅当ABC为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号。

这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式。

以上这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，如果它们已变成了我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。

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