坐标法思想下的“曲线与方程”概念的教学设计
河北师范大学 程海奎
解析几何的核心思想是“坐标法”。在直角坐标系中，平面上的点用坐标把曲线看成是满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标程
表示，
所满足的二元方表示曲线，用代数方法研究方程的性质，进而间接地研究曲线的性质。这合理性的要求就是能通过方程研究曲线的性质。 我们面临两个数学对象：曲线C和方程
，如果 就要求曲线和方程之间必须具有某种等价关系，即给“曲线的方程”下一个合理的定义，对（1）曲线上点的坐标都是方程的解（完备性）；
（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上（纯粹性）。
那么就称
为曲线C的方程，称C为方程
的曲线。
“曲线的方程”概念是解析几何教学中公认的难点。这大概就是数学演绎体系的直接反映。对于习惯于演绎推理的数学家来说可能觉得容易理解，但是对于学生会有什么样的反应呢？由于“概念”是突然出现的，学生会疑问：为什么要“曲线的方程”这个概念？为什么
这样定义？这样的定义是否合理？
由于数学本身具有“抽象性”和“准确性”的特点，加上种种因素的制约，教材对数学概念及定理大多是以演绎的方式呈现的。在课堂教学中，教师一般都会对教材加以“处理”，进行“再创造”。关于“曲线与方程”概念的教学设计，我们先对以下几种设计进行比较，
作一简单评析。 1．纯粹演绎模式
（1）直接给出“曲线的方程”的定义，然后加以说明。完备性是说“曲线上没有坐标不满足方程的点”，纯粹性是说“满足方程的点
都在曲线上”。
（2）从集合对应的观点解释概念。令P表示曲线C上所有点的集合，N表示方程的解集，即
，P和N之间具有一一对应关系。如果令，则
N且M
N，M
N表示完备性，M
。 N表示纯粹性。 M=N即M（3）分别举出不满足完备性和纯粹性的实例，从反面加强对概念的理解。 （4）给定曲线的几何特征利用定义求曲线方程，或证明某方程是曲线的方程来强化概
念的理解。
这种教学模式满足了准确性的要求，而且也揭示了概念的本质：两个集合之间的一一对应关系。但遗憾的是学生的疑问没有得到很好地解决。也许学完解析几何内容后能够得到释
疑，但那已经是马后炮了！
2．归纳——演绎模式
对直线与直线方程、圆和圆的方程的概念学生已有初步的认识，引导学生从直线与直线方程、圆和圆的方程之间的关系、集合之间的一一对应等进行辨析概括，归纳得出曲线的方
程概念。
（1）求过点
且斜率为k的直线l方程，探究直线上点的坐标与方程的解之间的关系，进一步探究直线上点的集合与方程的解集之间的关系。
点P在直线l上 ①。
直线l上点的坐标都是方程①的解，且以方程①的解为坐标的点都在直线l上。从集合的观点看：直线l上点（用坐标表示）的集合与方程①的解集相等。 （2）求以O为圆心，以r为半径的圆的方程，探究圆上点的坐标与方程的解之间的关系；进一步探究圆上点的集合与方程的解集之间的关系。
点P在圆O上
②
圆O上点的坐标都是方程②的解，以方程②的解为坐标的点都在圆O上。从集合的观点看：圆O上点（用坐标表示）的集合与方程②的解集相等。
（3）由特殊到一般，归纳出“曲线的方程”的概念。 （4）通过实例从正反两个方面来加深对概念的理解。
归纳——演绎是揭示概念本质的有效方法。采用上述归纳方式揭示数学概念符合学生的认知规律，定义也显的比较自然，同时将直线方程和圆的方程纳入曲线的方程这个一般概念之中。但就“曲线的方程”概念而言，在归纳过程中，只关注了曲线和方程的联系以及集合之间的一一对应关系，没有适时渗透坐标法的思想，学生不了解曲线的方程的概念在解析几何中的地位和作用，对定义的合理性就缺乏认识，对曲线方程的完备性和纯粹性理解难以深
刻。
3．类比——归纳模式
类比“函数与图像”的联系，归纳得出“曲线的方程”概念。
如果将函数的解析式
看成是关于x，y的二元方程，函数的图像看成曲线，将函数解析式纳入了曲线的方程概念中。由于学生对“函数与图像”认识比较深刻，选择几个具体的函数，通过分析函数图像上点与方程
的解之间的联系，归纳出一般的“曲
线的方程”概念。
“函数与图像”和“曲线与方程”之间既有联系，又有区别。函数是刻画变量y随x变化的变化规律的数学模型，对任意x要求有唯一的y值与其对应。虽然二元方程在某些条件下也能确定一个y关于x的函数，但
一般是作为x和y之间的约束条件，其中x和y的地位是平等的。另外，从研究方法看，函数图像作为变量间变化规律的直观表示，我们一般是借助图像的直观研究函数的性质，而在解析几何中，我们通常是通过方程研究平面曲线的性质。因此，用类比“函数与图像”的方法归纳曲线的方程
的概念不是最佳选择。
解析几何的核心思想方法是“坐标法”，在直角坐标系中，根据曲线的特征建立曲线方程是研究的基础。“曲线的方程”既是我们研究的直接对象，更是研究曲线几何性质的桥梁。而只有当曲线上点的集合与方程的解集之间具有一一对应关系时，才能通过研究方程得到曲线的性质，无论完备性和纯粹性得到破坏都不能由方程得到曲线的性质。
基于这样的认识，尝试进行如下的设计：
本节课的教学目标主要为：（1）理解曲线的方程和方程的曲线的概念；（2）体会由曲线的几何特征求曲线的方程的基本步骤；（3）通过对简单曲线的方程的研究，体会坐标法的基本思想。但重点是理解曲线的方程概念的本质，了解曲线的方程概念作为坐标法思想的重要组成部分，以及概念在解析几何中的地位和作用。
教学过程中，设计了几项要求学生完成任务。任务之一：定义“曲线的方程”概念之前，求曲线的方程。其意图是辨析曲线与方程的关系，曲线和方程的转化，为归纳一般概念做铺垫。任务之二：通过方程研究曲线的对称性。其意图是体会“曲线的方程”定义的合理性，渗透坐标法的思想。任务之三：在“曲线的方程”概念之后，求给定曲线C的方程。其主要目的是强化概念的理解，体会求曲线的方程的步骤。总之，所有的任务都是围绕揭示“曲线的方程”“方程的曲线”概念的本质，体会定义的合理性而展开的。 由于先期已经学习了如何求直线方程和圆的方程，并通过方程研究直线与直线的位置关系，点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系等，学生对坐标法的思想已有初步的认识。这样的设计理论上是可行的，但有待实践的检验。
教学过程如下表。
设曲线上任意一点的坐标为的坐标都是方程解，则点
，根据曲线的特征得
，这说明曲线上点是方程
的
的解（满足完备性）。反之，假设到两个坐标轴的距离的乘积为1，即点
2
2在曲线上（满足纯粹性）。由定义得曲线C的方程为。如果由程的解（不满足完备性）。
。由|x|·|y|=1有xy=1，曲线C的方程的简化形式为得到
，则曲线上位于第
二、四象限的点的坐标不是方
