培养学生有序思考的能力
《数学广角--简单的排列组合问题》教学案例
情景说明：
二年级上册的“数学广角”是义务教育课程标准实验教科书新增设的内容，目的是向学生渗透数学思想方法，并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。排列与组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。教材让学生通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有顺序地、全面地思考问题的意识，同时培养他们探索数学问题的兴趣与欲望。
教材的例1通过2个卡片的排列顺序不同，表示不同的两位数，属于排列。例1给出了一幅学生用数字卡片摆两位数的情境图，学生在进行小组合作学习，最后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复不遗漏。例1下面的“做一做”属于组合，选定的一组事物与顺序无关。教学中，给学生提供充分的数学活动和数学交流的机会，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、基本的数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。 我把这节课的目标定位为：
1、通过猜测、操作、实验活动，使学生能够找出最简单的事物的排列数和组合数。
2、使学生能进行简单的、有条理的思考。初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。教学过程中，我用学生熟悉的《喜羊羊与灰太狼》之《羊羊运动会》来贯彻始终，通过小羊拜访村长、参加乒乓球比赛等活动使学生能够找出最简单的事物的排列数和组合数，学会按照一定的顺序去观察、分析和思考问题，从而达到培养学生有序思考的目的。
教学片断：
片断一：感知“排列”
师：三只小羊高高兴兴的来到了村长家。可是村长家的门却锁着，仔细一看，这是一把密码锁，上面还有一张字条呢！（课件出示闪动的密码锁。）
师：密码锁的提示是：用
1、
2、3这三个数字组成一个两位数。这下可难住了它们，怎么办呢？大家愿意帮助它们吗？
生: 愿意！
【设计了破解密码锁的情境，进一步调动了学生的学习好奇心和求知欲。】
师：猜一猜这个密码会是什么呢？ 生1：12 生2：33 生3：23……
（学生猜测的答案较多，课堂气氛再一次活跃。）
师：有这么多答案，那么谁能想个好办法一个不漏的写下来？请同学们先独立思考，用你喜欢的方法在草稿纸上写一写，有困难的小朋友可以借助桌上的数字卡片摆一摆。 （学生活动，教师巡视指导。）
【学生在一年级的学习中已经有了用两个一位数来摆成一个两位数的经验，所用的方法一般都是交换两个数的位置使它组成一个新的数。现在用
1、
2、3这三个数字组成的一个两位数，增加了难度，学生在最初的学习中可能会经历无序思考的过程，看到数字只要能把它组成一个两位数就行了，没有考虑到可不可以同时拿出相同的数字来组成一个新的数以及如何才能不遗漏，需要教师的及时引导。学生可以通过写一写、用卡片摆一摆的方法慢慢尝试。】
师：下面我们以小组为单位四人一组，合作交流一下：你们各自摆了几个两位数，分别是怎么摆的，怎样才能做到不遗漏不重复的？ （小组交流摆法） 汇报摆法：
师：你摆出了哪几个数？
生1：
12、
23、
21、13（这个学生汇报到这里停住了，其他成员要求补充）
【在小组合作交流摆法这一过程中，虽然老师提出了合作的要求，但并不是每个小组的每位成员都能落实，学生之间是有差异的。有些学习能力稍差的同学也许只能摆出4个两位数，在别人交流的过程中（把各自组成的数汇报一遍）他知道自己少了两个数，但对于“为什么会少？怎么才能做到既不遗漏也不重复？”这些问题，就思考得不是太深入了。所以当课堂上学生汇报完后，就算汇报的结果臻于完美，教师还是要顾及到不同层次的学生，做到讲解清晰，引导到位。】
师:仔细想想还有其他可能吗？（其他学生补充） 师：那你们有比他好的办法吗？谁来说一说。 生2：
12、
21、
23、
32、
31、13。 师：说一说你是怎么摆的？
生2：我是先挑出1和2，摆成12，然后交换位置变成21，再挑出2和3，摆成23，再交换位置变成32，最后挑出1和3，摆成13，交换位置变成31。
师：小朋友们，你们听懂他的方法了吗？看一看这种方法有漏掉吗？
生异口同声：没有！
师：下面老师就拿活动的数字（三块磁铁上面分别贴着
1、
2、3）在黑板上演示。我们可以先选1和2这两个数字，组成12，交换这两个数字位置后就组成了21；接着可以选1和3……；最后选2和3……
师：为什么这种方法一个都没有漏掉呢？
生：因为它是有规律的 ，交换了两个数的位置又变成了一个新的数。
师：我们在考虑选哪两个数时，也要注意有序地选择。
师：你能为这种方法取个名字吗？ 生：交换法。
师：你取得名字真不错！我们就把这种方法叫“交换法”。
还有其他的好办法也能做到一个不漏吗？ 生3：
12、
13、
21、
23、
31、32 师：你是怎么摆的？有没有什么规律？
生3：左边选1，那右边就可以选2和3，可以组成
12、13；左边选2，那右边就可以选1和3，可以组成21，23；最后左边选3，那右边就可以选1和2，摆出的数有31，32。
师：你这种方法真棒！我们给它取个名字叫“确定十位法”。 教师在黑板上写上“十位、个位”，拿活动的数字（三块磁铁上面分别贴着
1、
2、3）在黑板上演示。
师：首先我们在十位上可以摆1，那个位上可以摆2,组成12。十位上的1不变，个位上还可以摆3，组成13。
接下来十位上可以摆什么数字? 个位上呢？
最后还可以怎么摆？（教师可以引导学生回答，结合学生的回答移动数字，写出新组成的数）
师：除了用以上两种方法来解决问题，你还能想出其他方法吗？ 生：能！（学生积极性可高了，纷纷举手，迫不及待地想说。学生们在“确定十位法”的启发下想出了先确定个位上的数的方法。）
师：那就请你写一写。
生：可以先确定个位上的数选1，能摆出21，31；个位上选2，能摆出12，32；个位上选3，能摆出13，23。
师： 你能为这种方法取个名字吗？ 生：确定个位法。
师：你们真了不起！我们给这种方法取个名字叫“确定个位法”。 师：这几种摆法好吗？它好在哪儿？ 生：不重复不遗漏。
师：那这几种摆法有什么共同的特点？ 生：都按照了一定的顺序。
师小结：像刚才先选两个数再交换位置或者先定个位、定十位这几种摆数的方法都能按顺序有序地思考问题，那排列出的数就不会重复或漏掉，看来按一定顺序、一定规律进行思考问题是一种很好的思考方法。
师：你喜欢哪一种方法呢？说一说为什么？同桌讨论。（讨论气氛激烈，几种方法难分优劣。）
师：用
4、
5、6这三个数字组成的一个两位数，你会吗？ 选择你喜欢的一种方法在草稿本上一个不漏的写一写。
【这一环节让学生经历：“猜想—独立思考—操作实践—合作交流—归纳比较”等一系列思维过程，从中提炼出如何做到有序思考。让学生说一说各自的想法、有什么规律、有序思考有什么好处等，最后说说自己喜欢的方法，既体现了课标提倡的“方法多样化”，也体现了“不同的人在数学上有不同的发展”。教师的适时讲解、演示、练习，照顾到了学困生，使他们也能跟其他学生一样体会到学习的乐趣。本片断循序渐进地突出了本课重点。此外给这种方法取名字，提高了学生观察、思考、归纳的能力。】
片断二：感知“组合”。
师：小羊们成功地来到了村长家，村长邀请它们参加即将开始的乒乓球比赛。准备就绪，选手上场了，分别是①美羊羊、②喜羊羊、③懒羊羊，瞧，他们还在互相握手问好呢！
师：喜羊羊正在思考什么：我们三位运动员，每两人握一次手，一共得握几次手？
师:小组合作，三人模拟小动物握手，一人数握手次数。 反馈交流： 生1：握6次。 生
2、生3:握3次。
师：到底应该握几次？我们请A、B、C三位小朋友上台表演握握一握。
师：A和B握或B和A握，能算两次吗？ 生：不能。
师：那老师就用图示来表示一下他们握手的场景。（两种都可以）
师：现在我们知道应该握几次了呢？ 生：3次。
师：现在老师产生了一个疑惑：排数时用了3 个数，可以摆出6个两位数；握手时是3人，却只能握3次，这是为什么呢？先独立思考，再同桌交流。
师：现在谁来说一说？
生:摆数可以交换位置，而握手不能交换位置。
教师总结：排数时，两个数字的排列顺序不同，就表示不同的两位数，而握手时即使交换位置，还是那两个人握手组合，只能算作一次，它选定的一组事物与顺序无关。
【从三只小羊参加乒乓球比赛前运动员握手问好的简单生活事例中，使学生经历和体验到有序、全面的数学思想方法，从而感受到数学思想来源于生活。同时把排列和组合进行对比：感知排列与组合的不同之处。排数时，两个数字的排列顺序不同，就表示不同的两位数，而握手时即使交换位置，还是那两个人握手组合，只能算作一次，它选定的一组事物与顺序无关。从而突破本课难点。】
案例反思：
《数学广角-------简单的排列组合问题》是义务教育课程标准实验教科书新增设的内容，目的是向学生渗透数学思想方法，并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。那么如何使小学生能够接受、理解和掌握这些看似高深莫测的“数学思想方法” ，培养他们有序思考的能力呢？
有序思考既是一种良好的思维习惯，也是一种科学的思维方法。它指按照一定的顺序去观察、分析、思考问题。培养孩子有序思考的能力，可以优化解题策略，增强孩子思考问题的严密性。这种思维能力对于学生学习数学非常重要，但这种思维习惯不是一朝一夕养成的，因此在日常教学中应随时注意引导学生进行有序思维。
不同层次的学生思维水平也会不同。学生之间的差异是客观存在的，并非每个学生都能一下子体会到我要怎样做到有序思考。在《数学广角-------简单的排列组合问题》这节课中，我让学生先经历无序思考带来的后果：遗漏或重复；然后引导学生思考怎样才能做到不重复、不遗漏？使学生逐步学生认识到思考问题要有条理、有序；最后通过练习体验有序思考的价值，增强思维的条理性和严密性。教师的引导要适当，可以不断地用启发性语言，引导学生自主思考。例如：在节课中，我问学生“你能想到比他更好的方法吗？你发现了什么规律？它们有什么不同的地方？”等，引导学生独立思考。也可以结合课件演示、图示说明等方法慢慢启发学生，遇到问题我该怎么下手。我用连线的方法来演示三个小动物要握几次手，表达清晰明确，学生一看就理解了。最后再通过巩固练习，使学生能及时消化所学的知识，学以致用。在这样螺旋式上升的思考方式中，使学生慢慢学会了有序地思考问题，感受到了数学的逻辑美、简洁美。
专家点评:
《数学广角-------简单的排列组合问题》这节课是我送教下乡讲的一节课，得到了郧西县观音镇小学听课教师的一致好评。能做到创设情境，贴近学生生活实际；培养了学生有序思考的能力；体现了以学生为主体的思想，注重学生自主探究；关注情感与评价激励。
