等差数列的前n项和教学设计
罗雪梅
一、教学内容分析
本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中第二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．
二、学生学习情况分析
在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．
三、设计思想
建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．
四、教学目标
1、知识目标
理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；
2、能力目标
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究
1 方法，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质．
3、情感目标
通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功。
五、教学重点和难点
本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得．
六、教学过程设计
（一）创设情景 ：问题1：如图,一个堆放铅笔 的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层 都比它下面一层多放一支铅笔,最上面一层放 100根, 这个V形架上共放着多少根钢管? [设计意图] 情境学习理论认为：数学学习总是与一定的知识背景，即“情境” 相联系．从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫．
[知识链接] 高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。高斯读四年级时他的算术教师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋„+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
首项与末项的和：1+100=101，
第2项与倒数第2项的和：2+99=101，
第3项与倒数第3项的和：3+98=101，
„„
第50项与倒数第50项的和：50+51=101，
于是所求的和是101×
100=5050． 2上面的问题可以看成是求等差数列1，2，3，„，n, „的前100项的和，
2 高斯算法的高明之处在于他将不同数的的求和问题转化为相同数的求和问题，将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.。
[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律．学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下两个问题．
（二）由易到难，在自主探究与合作中学习问题2：Sn=1＋2＋3＋„+（n-1）+n＝？
[学情预设] 学生通过激烈的讨论后，发现n为奇数时不能配对，可能会分n为奇数、偶数的情况分别求解，教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键．
学生可能出现以下求法：
方法1：（分类讨论）当n为偶数时，S nn(n1)2
当n为奇数时， Sn[1(n1)](n1)n(n1)n22
n(n1)2方法2：∵Sn =1 +
+
+ „+（n－1） + n 综上： Sn
Sn =n +（n－1）+ （n－2）+ „ +
+ 1 ____________________________________________________________________ 2 Sn = (n+1) + (n+1) + (n+1) + „ +(n+1) +
(n+1) ∴
Sn = 1 + 2 + 3 + „ + n =
n（n+1） 2 [设计意图] 从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进．
问题3：在公差为d的等差数列{an}中，定义前n项和 Sn=a1+a2+„+an，如何求Sn？
由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程： ∵Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d)
+„+[a1+(n－1)d]
Sn=an + (an－d) +（an－2d）+„+[an－(n－1)d] ∴2Sn(a1an)(a1an)(a1an)
n个Snn(a1an)
(公式1) 2组织学生讨论：
在公式1中若将an=a1+（n－1）d代入又可得出哪个表达式? 即：Snna1n(n1)d（公式2）
2（三）例题讲解
对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式．
例
1、一个梯形笔架，最下面一层放着20支笔，往上一层都比它往下面一层多放1支，最上面一层放100支，这个笔架上共放着多少支笔？
例
2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通” 工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通” 工程的总目标：从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式：
（四）课堂练习课本P46习题练习
1、3
（五）回顾反思，深化知识
组织学生共同反思本节课的教学内容及思想方法，共同完成课堂小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化．
1.数列{an}前 n项和公式的概念 2.等差数列前 n项和公式的推导过程 3.等差数列前 n项和公式及公式应用
（六）布置作业
课本P46习题2．3，第1题（1）（3），第2题（3）（4）
七、教学反思
“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路．本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．
