固体物理答案

发布时间：2020-03-02 08:50:42 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

第一章晶体结构

1.1、（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）

43r，Vc=a3，n=1 34343rr33∴x0.52 336a8ra=2r， V=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=3a4ran=2, Vc=a3

43x 32∴x434r2r33330.68 38a433(r)3（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=2a4r,a22r n=4，Vc=a3

444r34r3233x0.74 336a(22r)（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6SABO6晶胞的体积：V=SCaasin60332a =223328aa32a3242r3 23n=12121123=6个 6246r323x0.74 36242r（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a42ra8r

3 n=8, Vc=a3 448r38r3333x0.34 336a8r333

aa12(jk)a1.3证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：a2(ik)

2aa32(ij)由倒格子基矢的定义：b12(a2a3) 0,a1(a2a3)a,2a,2a,20,a,2ai,2aa3a，a2a3,242a0,2j,0,a,2kaa2(ijk) 2404a22b123(ijk)(ijk)

a4a2(ijk)a同理可得：即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

2b3(ijk)ab2所以，面心立方的倒格子是体心立方。

aa12(ijk)a（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：a2(ijk)

2aa32(ijk)由倒格子基矢的定义：b12(a2a3) aaa,,i,j,k222aaaa3aaaa2a1(a2a3),,，a2a3,,(jk)

22222222aaaaaa,,,,2222222a22b123(jk)(jk)

a2a2(ik)a同理可得：即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

2b3(ij)ab2所以，体心立方的倒格子是面心立方。

1.4、

1.5、证明倒格子矢量Ghb1h2h3)的晶面系。 11h2b2h3b3垂直于密勒指数为(h

证明：因为CA

a1a3aa,CB23，Ghb11h2b2h3b3 h1h3h2h3利用aibj2ij，容易证明

Gh1h2h3CA0Gh1h2h3CB0

所以，倒格子矢量Ghb1h2h3)的晶面系。 11h2b2h3b3垂直于密勒指数为(h1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系，面间距d满足：d2a2(h2k2l2)，其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。解：简单立方晶格：a1a2a3，a1ai,a2aj,a3ak 由倒格子基矢的定义：b12倒格子基矢：b1a2a3a3a1a1a2，b22，b32

a1a2a3a1a2a3a1a2a3222i,b2j,b3k aaa222ikjlk 倒格子矢量：Ghb1kb2lb3，Ghaaa晶面族(hkl)的面间距：d2G1

h2k2l2()()()aaaa2 d222(hkl)2面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。

第二章固体结合

2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（2ln2）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N。

＜解＞设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有

rj(1)1111 ]2[...rijr2r3r4r前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为 111 2[1...]2342xx3x4...n(1x)xx34111...234n当X=1时，有1

22n22.3、若一晶体的相互作用能可以表示为

u(r)试求：（1）平衡间距r0；

（2）结合能W（单个原子的）；

（3）体弹性模量；

rmrn

（4）若取m2,n10,r03A,W4eV，计算及的值。解：（1）求平衡间距r0 由du(r)0，有：

drrr01mnmmn0r0m1n1r0r0.nnm1nm

结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示）（2）求结合能w（单个原子的）

题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin

即：WU(r0)（3）体弹性模量

rm0rn0 （可代入r0值，也可不代入）

r02由体弹性模量公式：k9V02Ur2 r0（4）m = 2，n = 10，r03A， w = 4eV，求α、β

10 r02

U(r0)1858

① 1r20r.1045r02(r085代入)

WU(r0)44eV

② 25r019将r03A，1eV1.60210J代入①②

7.2091038Nm2 9.45910115Nm2详解：（1）平衡间距r0的计算晶体内能U(r)N(mn) 2rr1nnmn)m 0，m1n10，r0(mr0r0dU平衡条件drrr0（2）单个原子的结合能

11nnWu(r0)，u(r0)(mn))m ，r0(2mrrrr01mnnmW(1)()m

2nm2U)V0 （3）体弹性模量K(2V0V晶体的体积VNAr，A为常数，N为原胞数目晶体内能U(r)3N(mn) 2rrUUrNmn1(m1n1) 2VrV2rr3NAr2UNrmn1[()] 2m1n12V2Vrrr3NAr2UV2N1m2n2mn[mnmn] 29V02r0r0r0r0VV0由平衡条件UVVV0mnNmn1，得n (m1n1)0m2r0r02r0r03NAr02UV22UV2VV0N1m2n2[mn] 29V02r0r0N1mnNnm[mn][n] 2mn2m29V0r0r029V0r0r0VV0U02UV2N(mn) 2r0r0VV0mnmn(U)

体弹性模量 KU009V029V0（4）若取m2,n10,r03A,W4eV

1nn1mnnmmr0()，W(1)()m

m2nmW10r0，r02[102W] 2r01.210-95eVm10，9.01019eVm2

第三章固格振动与晶体的热学性质

3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当M= m时与一维单原子链的结果一一对应。

解：质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。

牛顿运动方程

m2n(22n2n12n1)M2n1(22n12n22n)

N个原胞，有2N个独立的方程

设方程的解2nAei[t(2na)q]2n1Bei[t(2n1)aq]，代回方程中得到

2(2m)A(2cosaq)B0 2(2cosaq)A(2M)B0A、B有非零解，2m22cosaq22cosaq2M20，则

1(mM)4mM2{1[1sinaq]2} 2mM(mM)两种不同的格波的色散关系

1(mM)4mM2{1[1sinaq]2}2mM(mM)22(mM)4mM2{1[1sinaq]}2mM(mM)12

一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.

当Mm时4aqcosm24aqsinm2，

两种色散关系如图所示：长波极限情况下q0，sin(qaqa)， 22(2m)q与一维单原子晶格格波的色散关系一致.3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为和10，令两种原子质量相等，且最近邻原子间距为a2。试求在q0,qa处的(q)，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如H2这样的双原子分子晶体。

答：（1）

浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。

第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程：

m2n(12)2n22n112n1m2n1(12)2n112n222n体系N个原胞，有2N个独立的方程

1i[t(2n)aq]21i[t(2n1)aq]21iaq2

方程的解：2nAe，令121/m,222/m，将解代入上述方程得：

2n1Be21222()A(e(e1iaq22121e221iaq2)B0e1iaq222

2)A(1222)B0A、B有非零的解，系数行列式满足：

(),(e21211iaq22121222(e211iaq2e221iaq2)e1iaq2220

1iaq21iaq21iaq21iaq22),(1222)()(e()(e2222212222211iaq21iaq2ee222221iaq21iaq2)(e)(e2121ee2222)0 )0

因为1、210，令0124(1102)2(10120cosaq)00

2c10c22,2100得到 mm22两种色散关系：0(1120cosqa101)