一、列方程解应用题的基本步骤
1.设未知数应认真审题,分析题中的数量关系,用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法,当直接设法使列方程有困难可采用间接设法,注意未知数的单位不要漏写。
2.寻找相等关系可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系,列出等式两边的代数式,注意它们的量要一致,使它们都表示一个相等或相同的量。
3.列方程列方程应满足三个条件:各类是同类量,单位一致,两边是等量。
4.解方程方程的变形应根据等式性质和运算法则。
5.写出答案检查方程的解是否符合应用题的实际意义,进行取舍,并注意单位。
二、解行程问题的应用题要用到路程、速度、时间之间的关系,如果用s、v、t分别表示路程、速度、时间,那么s、v、t三个量的关系为s=vt,或v=s÷t,或t=s÷v。
三、相遇问题
1.相向而行同时出发到相遇时甲、乙两人所用的时间相等。
2.基本公式:速度和×相遇时间=相遇路程
四、追击问题
1.同向而行同时出发到相遇(即追击)时,甲、乙两人所用的时间相等。
2.基本公式:速度差×追击时间=追击路程
例1.A、B两地相距960千米,甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发,相向开出,6小时后两车相遇;已知甲车的速度是乙车的1.5倍。求甲、乙两车的速度各是多少?
例2.A、B两地相距230千米,甲队从A地出发两小时后,乙队从B地出发与甲相向而行,乙队出发20小时后与甲队相遇,已知乙的速度比甲的速度每小时快1千米,求甲、乙的速度各是多少?
例3.甲、乙两车自西向东行驶,甲车的速度是每小时48千米,乙车的速度是每小时72千米,甲车开出2小时后乙车开出,问几小时后乙车追上甲车?
行程应用题的解题关键是掌握速度、时间、距离之间的数量关系: 距离=速度×时间速度=距离÷时间时间=距离÷速度 按运动方向,行程问题可以分成三类:
1、相向运动问题(相遇问题)
2、同向运动问题(追及问题)
3、背向运动问题(相离问题)
知识点一 相向运动问题
相向运动问题(相遇问题),是指地点不同、方向相对所形成的一种行程问题。两个运动物体由于相向运动而相遇。
解答相遇问题的关键,是求出两个运动物体的速度之和。 基本公式有:
相遇时间=相隔距离(两个物体运动时)÷速度和;
相隔距离(两物体运动时)=速度之和×相遇时间;
甲速=相隔距离(两个物体运动时)÷相遇时间-乙速
例
1、两列火车同时从相距540千米的甲乙两地相向而行,经过3.6小时相遇。已知客车
每小时行80千米,货车每小时行多少千米?
例
2、两城市相距138千米,甲乙两人骑自行车分别从两城出发,相向而行。甲每小时行
13千米,乙每小时行12千米,乙在行进中因修车候车耽误1小时,然后继续行进,与甲相遇。求从出发到相遇经过几小时?
知识点二同向运动问题(追及问题)
追及问题是指两个运动物体同向而行,一快一慢,慢在前快在后,经过一定时间快的追上慢的,称为追及。 解答追及问题的关键,是求出两个运动物体的速度之差。
基本公式有: 追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差 速度差=追及距离÷追及时间
例
1、甲乙两人在相距12千米的AB两地同时出发,同向而行。甲步行每小时行4千米,
乙骑车在后面,每小时速度是甲的3倍。几小时后乙能追上甲?
例
2、一个通讯员骑摩托车追赶前面部队乘的汽车。汽车每小时行48千米,摩托车每小时
行60千米。通讯员出发后2小时追上汽车。通讯员出发的时候和部队乘的汽车相距多少千米?
例
3、一个人从甲村步行去乙村 ,每分钟行80米。他出发以后25分钟,另一个人骑自行
车追他,10分钟追上。骑自行车的人每分钟行多少米?
知识点三 背向运动问题(相离问题)
背向运动问题(相离问题),是指地点相同或不同,方向相反的一种行程问题。两个运动物体由于背向运动而相离。
解答背向运动问题的关键,是求出两个运动物体共同走的距离(速度和)。
基本公式有: 两地距离=速度和×相离时间
相离时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相离时间
例
1、甲乙两车同时同地相反方向开出,甲车每小时行40千米,乙车乙车每小时快5.5千
米。4小时后,两车相距多少千米?
例
2、甲乙两车从AB两地的中点同时相背而行。甲车以每小时40千米的速度行驶,到达A地后又以原来的速度立即返回,甲车到达A地时,乙车离B地还有40千米。乙车加快速度继续行驶,到达B地后也立即返回,又用了7.5小时回到中点,这时甲车离中点还有20千米。乙车加快速度后,每小时行多少千米?
总结
行程问题:
1.弄清物体运动的具体情况。如运动的方向(相向,相背,同向),出发的时间(同时,不同时),出发的地点(同地,不同地),运动的路线(封闭,不封闭),运动的结果(相遇、相距多少、交错而过、追击)。
2.两个物体运动时,运动的方向与运动的速度有着很大关系,当两个物体“相向运动”或“相背运动”时,此时的运动速度都是“两个物体运动速度的和”(简称速度和),当两个物体“同向运动”时,此时两个物体的追击的速度就变为了“两个物体运动速度的差”(简称速度差)。
课堂练习
1、甲、乙两人驾车自A地出发同向而行,甲先出发,半小时后乙以hkm80的速度追赶甲。若乙行进了h5.3后追上甲,求甲车的速度。
2、甲、乙两人同时从相距27km的A、B两地相向而行,3h后相遇,甲比乙每小时多走1km,求甲、乙两人的速度。
3、A、B两地相距20km,甲、乙两人分别从A、B两发出发,甲的速度是6km/h,乙的速度是8km/h。
(1)若两人相向而行,甲先出发半小时,乙才出发,问乙出发后几小时与甲相遇?
(2)若两人同时同向出发,甲在前,乙在后,问乙多少小时可追上甲?
4、甲、乙两人骑自行车,同时从相距65千米的两地相向而行,甲的速度为每小时17.5千米,乙的速度为每小时15千米,求经过几小时,甲、乙两人相距32.5千米。
5、甲、乙两人生产同一种零件,甲每天生产30个,乙每天生产24个,当乙生产这种零件3天后,甲开始工作,求甲工作几天后产量可赶上乙?
课外作业
1.两辆汽车同时从相距560千米的两个车站相对开出。4小时后在途中相遇,已知一辆汽车每小时行68千米,另一辆汽车每小时行多少千米?
2.两辆汽车同时从相距380千米的甲乙两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行50千米。两车开出几小时后还相距95千米?
3.A、B两地相距580千米,甲车从A地出发1小时后,乙车从B地出发相向开出,6小时后两车相遇;已知乙车的速度是甲车的1.5倍。求甲、乙两车的速度各是多少?
4.甲、乙两人自A地出发同向而行,甲以hkm5的速度先出发,半小时后乙以hkm7的速度追赶甲。几小时后乙能追上甲?
5.张宁与张宇两兄妹早上以60米/分钟的速度同时从家出发去学校,6分钟后,张宇发现忘带铅笔盒,遂叫妹妹继续前行,他以90米/分钟的速度跑步返回。问:从张宇离开到又追上张宁需要多少分钟?(假设学校足够远)