竞赛中的不等式证明方法和技巧
蔡玉书
一 比较法
1.证明Schur不等式：设x, y, z≥0, r是实数,则
xr(x－y)(x－z)＋yr(y－x)(y－z)＋zr(z－y)(z－x)≥0.2.已知a,b,c≥0,求证: (a2＋b2)2≥(a＋b＋c)(a＋b－c)(a＋c－b)(b＋c－a).(2007年英国数学奥林匹克试题)
3.已知a, b, c是非负实数, 证明：(a＋b)3＋4c3≥ab＋cca).(2008年波兰数学奥林匹克试题)
4.设x, y, z是正实数, a＝x(y－z)2, b＝y(z－x)2, c＝z(x－y)2,求证：a2＋b2＋c2≥2(ab＋bc＋ca).(2009年中国东南地区数学奥林匹克试题)
3(x－y)23(y－z)23(z－x)25.设x,y,z是实数,证明x＋y＋z－(xy＋yz＋zx)≥max{年波444222
斯尼亚数学奥林匹克试题)
二均值不等式
3
6.设a,b,c为正数,证明不等式：ab+bc+ca≤3•(b+c)(c+a)(a+b).(1992年波兰―奥地利数学奥林匹克试题)
7.证明：对任意正实数a,b,c,均有(a2＋2)(b2＋2)(c2＋2)≥9(ab＋bc＋ca).① (2004年亚太地区数学奥林匹克试题)
(2a+b+c)2(a+2b+c)2(a+b+2c)2
8.设a,b,c是正实数, 求证：＋＋≤8.(2003年美国数学奥林
2a+(b+c)2b+(c+a)2c+(a+b)匹克试题)
x3y3z312
9.设x, y, z是正实数, 且x＋y＋z＝3, 证明: ≥＋xy＋yz＋zx).(2008年伊
y＋8z＋8x＋8927朗数学奥林匹克试题)
x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zxx＋y＋z
10.设x, y, z是正数,证明： 63学奥林匹克试题)
11.正数x, y满足(1＋x)(1＋y)＝2,证明：xy＋≥6.(2009年Costa Rican数学奥林匹克试题)
xy
111
12.设a、b、c是正实数，且满足abc＝1，证明: (a－1＋)(b－1＋)(c－1＋)≤1.
bca
(第41届IMO试题)
1113
13.已知a,b,c是正数, 则＋.(2006年巴尔干数学奥林匹克
a(1＋b)b(1＋c)c(1＋a)1＋abc
试题)
14.设a,b,c是正实数,且a2＋b2＋c2＝1,求证：a＋b＋c4年哈萨克斯坦数学
abc
奥林匹克试题)
＋y＋z.(2009年匈牙利数
315.设n是正整数, a1,a2,…,an; b1,b2,…,bn都是正数, 证明:(a1＋b1)(a2＋b2)…(an＋bn)＋2n1(11＋…＋≥2n1(n＋2).(2007年保加利亚数学奥林匹克试题) a2b2anbn
1a1b1
16.求最小的实数k, 对于一切正实数x, y, z, 使得不等式y＋yz＋x≤(x＋y)(y＋z)(z＋x)成立.(2008年伊朗数学奥林匹克试题)
三柯西不等式
1113
17.设a, b, c为正实数,且满足abc＝1,试证:＋＋(第36届IMO试题)
a(b+c)b(c+a)c(a+b)
218.设a、b、c、d都是正数，求证不等式：
abcd2
＋＋第34届IMO预选题)
b+2c+3dc+2d+3ad+2a+3ba+2b+3c3
19.已知a,b,c,x,y,z是正实数,且x＋y＋z＝1,证明: ax＋by＋cz＋(xy+yz+zx)(ab+bc+ca)≤a＋b＋c.(2001年乌克兰数学奥林匹克试题)
1113
20.已知a,b,c是正数,＋＝2, 求证: ab＋bc＋ca.(2005年伊朗数学奥林
a+1b+1c+12匹克试题)
11
21.已知a、b为正实数，且有＝1，试证：对每一个n∈N*，都有(a＋b)n―an―bn≥22n
ab－2n+1.(1988年全国高中数学联赛题)
22.求函数y＝x＋27＋13－x＋x的最大和最小值.(2009年全国高中数学联赛试题)
23.设a,b,c是正实数,且a＋b＋c＝1,证明：(2007年土耳其国家集训队试题)
1111
＋ab+2c+2cbc+2a+2aca+2b+2bab+bc+ca
a2b2c24(ab)2
24.设a,b,c是正实数，求证：+a＋b＋c＋.(2005年巴尔干数学奥林匹克试
bcaa+b+c
题)
四分析法
36
25.已知a,b,c是正实数,且abc＝1，证明：1＋.(2005年中国台湾数学
a＋b＋cab＋bc＋ca奥林匹克试题)
26.已知a,b,c≥0,且a＋b＋c＝1,证明林匹克试题)
a－bcb－cac－ab3
27.已知a,b,c是正数,且a＋b＋c＝1,证明：＋年加拿大数学奥
a＋bcb＋cac＋ab2林匹克试题)
111
28.已知a,b,c是正数,且abc≥1,证明：≤1.(1999年韩国数＋a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c学奥林匹克试题)
(a－b)2
29.已知a,b是正数,2(a＋b)克试题)
a＋b(a－b)2
－≤年南斯拉夫数学奥林匹24ab(b－c)a＋bc≤3.(2007年中国女子数学奥
a2－b22ab
30.已知a,b是正数,且a≥1,b≥1, 证明：3()＋≥
8a＋b学奥林匹克试题)
a＋b1111
31.已知a,b,c,d是正数,且＋＋＝4,证明abcd2
≤2(a＋b＋c＋d)－4.(2007年波兰数学奥林匹克试题)
a＋b年南斯拉夫数8
b＋c＋
2c＋d2
d＋a2
32.设a、b、c是实数,2(a＋b)2(b＋c)2(c＋a)3(a＋b)＋3(b＋c)＋3(c＋a).(200?年波兰数学奥林匹克试题)
五变量代换
33.设x,y,z≥0,且满足xy+yz+zx＝1,求证：x(1－y2)(1－z2)+y(1－z2)(1－x2)+z(1－x2)(1－y2)≤43
.(1994年香港数学奥林匹克试题) 9
a4+b4b4+c4c4+a4
34.设a,b,c是正数,满足ab+bc+ca＝abc,证明不等式:≥1.
ab(a+b)bc(b+c)ca(c+a)(2006年波兰数学奥林匹克试题)
35.已知a,b,c＞0,且a+b+c＝abc, 证明：克试题)
其他 36.求证：－1＜(
k1∑k＋－lnn≤n＝1,2,3,….(2009年全国高中数学联赛试题)
21
k＝1n
1113
年韩国数学奥林匹1+a1+b1+c2
x2+yzy2+zxz2+xy
37.设x,y,z都是正实数,且满足x＋＋z＝1,证明不等式2x(y+z)2y(z+x)2z(x+y)≥1.(2007年亚太地区数学奥林匹克试题) 38.设an＝
∑k(n+1, 求证:当正整数n≥2时,a
－k)
k＝1n
n＋1＜an.(2007年全国高中数学联赛试题)
39.已知正整数n＞1, 求证:
苏省数学竞赛试题)
2n11125
+…+《数学通报》问题1522, 2007年江3n+1n+1n+2n+n36
40.已知a,b,c都是正数, 且ab＋bc＋ca＝1,a＋ab＋bc＋c≥a＋b＋c.(2008年伊朗国家集训队试题)
