《函数单调性》教学设计
基于函数单调性概念是高中教材中形式化程度较强，学生较难理解以及要让学生充分了解概念后面所蕴涵的数学思想的主张，笔者以“数学本原性问题驱动”数学概念教学为指导理念，在对函数单调性概念在高中教材中的地位和作用进行详细分析的基础上进行了新的教学设计及课堂实录。
◆教材分析 教材的地位和作用
《函数的单调性》是《高中数学人教A版》（必修1）第一章1.31节的内容。它既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数等各类函数的单调性的基础，在整个高中数学中起着承上启下的作用。研究函数单调性的过程体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。函数的单调性是函数的四个基本性质之一,在比较几个数的大小、对函数作定性分析（求函数的值域、最值，求函数解析式的参数范围、绘函数图象）以及与不等式等其它知识的综合应用上都有广泛的应用；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合的思想将贯穿于我们整个高中数学教学。
教材的重点与难点
教学重点：（1）领会函数单调性概念，体验函数单调性的形式化过程，深刻理解函数单调性的本质，并明确单调性是一个局部概念；（2）函数单调性概念的应用 教学难点：突破抽象，深刻理解函数单调性形式化的概念。 ◆教学目标分析
根据新课标的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习认知的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，本节课教学目标如下：
知识目标：（1）从本质上理解函数单调性概念；（2）运用形式化的函数单调性概念进行判断与应用。
能力目标：（1）培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会归纳转化的思想方法。（2）使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。（3）培养学生从具体到抽象的能力。
情感目标：（1）培养学生主动探索、不畏困难、敢于创新的意识和精神。（2）通过本课的学习，使学生能理性地思考生活中的增长、递减现象。
◆设计理念
本教学设计是基于用数学本原性问题来驱动数学概念的理念进行设计的。主要目的是为了突破函数单调性这个概念的抽象性，能让学生体验概念的形成过程，形成对概念的正确理解。因此教学设计在课堂教学中的概念引入的情景设计、概念形成的过程分析、概念运用的问题强化、原发性问题的价值挖掘这四方面应用了“用数学本原性问题驱动数学概念教学”这一理念，突破传统的教学设计，从一个新的角度对教学进行了设计：第一阶段函数单调性概念由实际背景转化为文字语言的叙述；第二阶段函数单调性概念由文字语言的叙述转化为数学叙述；第三阶段函数单调性概念由数学叙述转化为数学符号叙述；第四阶段函数单调性概念由数学符号叙述抽象到了形式化。这一设计符合新课程标准强调的加强对数学概念本质的认识，，并且能适度地进行形式化的表达这一理念。
五、教学过程设计：
一、问题情境
1.如图为某市一天内的气温变化图：
（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．
（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？
2.分别作出下列函数的图像：
（1）y＝2x．
（2）y＝－x＋2．
（3）y＝x．
根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？
二、建立模型
1.首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析
观察函数y＝2x，y＝－x＋2，y＝x图像，可以发现：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y2＝x在（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝2x在（－∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？
22以函数y＝x，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“任意性”．所以，在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝
2
2，f（x2）＝．当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）．这时，我们就说f（x）＝x在区间（－∞，0）上是减函数．
注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．
2.在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括 设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］． 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．
如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．
3.提出问题，组织学生讨论
（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？
（2）定义在R上函数f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．
（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． 强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．
三、例题解析 ［例 题］
1.证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数． 注：要规范解题格式．
2.证明函数f（x）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．
思考：能否说，函数f（x）＝在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？
3.设函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x）＝在区间D上为减函数．
证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，
∵f（x）在区间D上保号，∴f（x1）f（x2）＞0．
又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上为减函数．
［练习］
1.证明：（1）函数f（x）＝在（0，＋∞）上是增函数．
（2）函数f（x）＝x－x在（－∞，
2］上是减函数．
2.判断函数的单调性，并写出相应的单调区间．
3.如果函数y＝f（x）是R上的增函数，判断g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．
四、课后拓展
1.根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．
2.判断二次函数f（x）＝ax＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明． 3.如果自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？
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高中数学 1.3函数的性质及综合应用1教案 新人教A版必修1
