高等数学思想方法 第一章 函数与极限 主要的思想方法: (1)函数的思想
高等数学的核心内容是微积分,而函数是微积分的主要研究对象。我 们在运用微积分解决实际问题时, 首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间 的函数关系, 这是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程, 体现的是科学的抽 象是数学的一个思维方法和主要特征。
(2)极限的思想
极限的思想方法是微积分的基础。极限是变量在无限变化过程中的变 化趋势, 是一个确定的数值。 把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似 数值的变化趋势,即函数或者数列的极限,这是一种重要的数学思想方法。
第二章 导数与微分 主要的思想方法: (1)微分的思想
微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化, 一般地, 求导的过程就 称为微分 ; 导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中 可看出,在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现,而这也是微积分 的一个基本思想。
(2)数形结合的思想
书本中在引入导数与微分概念时, 也讨论了它们的几何意义, 这显然更 好地帮助我们理解这两个概念。 通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明 等等内容是高等数学中常用的方法, 这是抽象思维与现象思维有机结合的典型体 现。
(3)极限的思想
不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。 (4)逻辑思维方法
在本章中,归纳法(从特殊到一般) ,分类(整合)法等逻辑思维方法 都得到了充分的体现,理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。
第三章 中值定理与导数的应用 主要的思想方法: 导数本质上是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型, 它实质上反 映了函数在该点处的局部变化性态; 而中值定理则是联系函数局部性质与整体性 质的 “桥梁”, 利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质, 具体表现为在理论和实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点处的 导数与函数在该区间整体性质的关系。
导数是一种工具, 而中值定理 (微分基本定理) 则是微分学的理论基础, 它更加深刻地揭示了可导函数的性质。 一方面, 在中值定理及其推导过程中, 不 仅用到了演绎, 分析, 分类等数理逻辑方法 (锻炼提升逻辑思维能力 ) , 而且包含 了一些具体的数学方法,如辅助函数的构造(凑导数法,几何直观解题法,常数 替代法,倒推法,乘积因子法) ,这就要求我们要培养直觉思维,发散思维等创 新思维; 另一方面, 导数在解决实际问题中的应用广泛, 这要求我们要有 应用数 学 的意识。
第四章 不定积分 主要的思想方法: 积分法是微分法的逆运算,即已知函数的导数,求原函数问题 (由一个 函数的导数求这个函数 ) 。
不定积分的积分法 : (1)直接积分法:直接或将被积函数恒等变形后利用基本积分公式和不 定积分的性质求积分; (2)换元积分法 :1.第一类换元法(凑微分法) ; 2.第二类换元法(主要 有三角代换,根代换,倒代换) ; (3)分部积分法; (4) 几种特殊类型函数的积分:有理函数的积分, 三角函数有理式的积 分,简单无理函数的积分; (5)其它常见的积分方法:拆项法,加减项法,同乘以 (或除以 ) 一因式 法,降次法,先凑微分后化为同名函数法等。
第五章 定积分 主要的思想方法 : 定积分的几何意义是函数 f(x)在区间 [a,b]的图形与 x 轴所界定区域的 面积。 定积分完整地体现了积分思想——一种认识问题, 分析问题, 解决问题的 思想方法, 定积分的概念借助极限工具, 以一种结构式的形式严格定义, 理解掌 握这种通过“分割” , “近似” 。 “求和” , “取极限”的数学思想对后面重积分,曲 线积分与曲面积分的学习有重要作用。 定积分与微分学不仅是高等数学的重要内 容,也是研究科学技术问题的数学工具。
“分割” , “近似” , “求和” , “取极限”所反映出来的积分思想是微积分 的核心思想。 第六章 定积分的应用 主要的思想方法: 定积分的应用实质上是运用定积分理论来分析与解决一些几何与物理 学中的问题。 定积分解决实际问题的方法 : (1)根据定积分的定义,利用分割,近似替代,求和,取极限这四个步 骤来推导出所求量的积分表达式; (2) “元素法” :将实际问题(几何,物理)转化为定积分,如计算平面 区域的面积,平面曲线的弧长,用截面面积计算体积,计算旋转体的体积,计算 变力做功等。
在本章的学习中可以增强我们的应用数学的意识并且有助于我们提高 我们应用定积分解决实际问题的能力。
第七章 空间解析几何与向量代数 主要的思想方法: 空间解析几何借助于空间坐标, 建立空间的曲面曲线方程, 利用代数方 法研究图形的几何性质; 向量代数在高等数学中为空间解析几何服务, 它实质是 作为一种研究空间图形性质的重要工具。 空间解析几何与向量代数是学习多元函 数微积分的基础, 学习这部分知识的主要目的是为研究多元函数微积分理论提供 一个直观的空间几何图形。
借助向量研究空间图形的性质, 建立空间图形的方程, 这是本章中体现 的一种重要的数学思想方法, 我们要树立应用向量这一重要的数学工具研究与解 决问题的意识;此外本章中最基本的数学思想是“数形结合”的思想。
第八章 多元函数微分学 主要的思想方法: 多元函数微分学是一元函数微分学理论的推广与发展, 因此运用类比的 思想方法来学习这一章内容会起到事半功倍的作用。 我们要培养类比思想这一创 新的思维。
第九章 重积分 主要的思想方法: 本章中着重讨论的二重积分与三重积分的理论是多元函数积分学的重 要内容。 重积分与定积分一样, 都是某种特殊形式和的极限, 基本思想是 “分割,近似,求和,取极限” ,定积分的被积函数是一元函数,积分区域是一个确定的 区间,而二,三重积分的被积函数是二,三元函数,积分区域是一个平面有界闭 区域和一个空间有界闭区域,因此重积分是一元函数定积分的推广与发展。 重积分的计算方法中体现的基本思想是:将重积分化为累次积分, 而化 为累次积分的关键是由被积函数的积分区域的特性来确定定积分的次序和积分 限。
第十章 曲线积分与曲面积分 主要的思想方法: 曲线积分与曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分, 对弧长的曲线 积分和对面积的曲面积分是定积分和二重积分的直接推广, 两者又均有物理学背 景, 因此它们在解决几何与物理学的实际应用问题中有重要作用。 在计算上, 将平面或空间曲线积分化为定积分的计算, 将空间曲面积分化为投影区域上的二重 积分的计算; 在理论上, 建立了平面闭曲线上对坐标的曲线积分与该曲线围成的 闭区域上的二重积分的关系, 建立了闭曲面上对坐标的曲面积分与该闭曲面围成 的空间闭区域上的二重积分的关系。 这些就帮助我们更加深刻地掌握高等数学的 思想方法。
格林公式的思想方法:格林公式实现了闭区域上的二重积分与区域的边 界曲线上的曲线积分的相互转化,它可视作是定积分中的牛顿 -莱布尼茨公式的 一个推广。
高斯公式的思想方法:高斯公式描述了在空间立体上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系,它可视作是牛顿 -莱布尼茨公式和格林公式的 推广,同时它还是计算曲面积分的一个重要手段。注意在曲面不封闭的情况下, 应先添补曲面构成封闭曲面,再利用高斯公式,这是计算曲面积分的常用方法。
第十一章 无穷级数 主要的思想方法: 无穷级数是一种研究与表示函数及数值计算的专门工具与重要方 法,是高等数学的一个重要组成部分。
在本章中,收敛与发散及其重要理论是建立在极限的基础之上的, 函数展开成幂级数的主要依据是微分学中的泰勒定理, 幂级数的运算中要用到求 导数与定积分的计算, 由此可见, 无穷级数与微积分的其它内容之间有非常紧密 的联系。
第十二章 常微分方程 主要的思想方法: 常微分方程是指含有一元未知函数及其导数或微分的方程, 它是研 究函数的重要工具。 建立常微分方程要用到导数的概念, 而解常微分方程则要用到积分 法,因此常微分方程是在微积分基础上的发展与应用。
每种类型的常微分方程都有广泛的实际背景, 因此我们要有应用数 学的意识, 通过建立数学模型来求解实际问题中的微分方程, 在求解前需要分析 与明确常微分方程的类型, 并在掌握各种微分方程的相应的解法的基础上求解答 案, 同时掌握变量替换法, 常数变易法, 待定系数法等具体的数学方法对求解微 分方程有重要的作用。
七大基本数学思想方法
学习数学可以简要地分为三个层次(或称境界) :第一层次,深刻 和熟练地掌握基础知识和基本概念及其本质并且初步拥有运用数学思想方法的 意识, 明确各类基础题型的解题方法与步骤, 在不断的练习中锻炼与加强自己的 准确的抽象运算能力和严谨的逻辑推理能力; 第二层次, 在进一步加深对数学思 想方法的理解的基础上, 进行专题性质的知识总结从中发现各部分数学内容内在 的紧密联系并逐渐做到掌握与运用, 与此同时, 加强数学建模的意识与应用能力, 能够发现实际问题中的数学模型并凭此解决联系生产生活实际的应用问题; 第三 层次, 深刻地理解与把握各类数学思想方法, 对某一具体问题有更加深层的研究 (譬如求极限的方法的归纳总结, 涉及绝对值的问题, 高等数学中应用微积分证 明不等式的探讨等等) ,在面对新情境新背景下的理论或实际问题时,既能快速 明确问题中的知识载体, 也能在数学解题能力得到提升与强化的基础上, 能够综 合运用基础知识与数学思想方法, 分析与解决具有综合性的新数学问题 (平时就 需要加强这一方面的能力) 或更高知识层次的数学问题 (为此可略览硕士阶段数 学知识做个大概的了解) 。以此提高数学思维品质(想象力,创新思维,抽象性, 灵活性,深刻性) 。
基本概念与基础知识是“载体” ,解题方法是“手段” ,数学思想才 是“深化与核心” ,是分析与解决问题的“灵魂” ,深刻理解与熟练运用数学思想 有助于我们锻炼与形成高层次的数学思维,高水平的数学素质。
数学思想是指人们对数学理论与内容的本质的认识, 而数学方法则 是数学思想的具体化形式,两者本质相同,因此通常混称为“数学思想方法” 。 下面是七大基本的数学思想方法(前四个为常用的思想方法) : 一 .函数与方程思想
1.函数思想是对函数内容在更高层次的抽象,概括与提炼,它要求 我们要用函数的概念与性质去分析问题,转化问题和解决问题;在实际问题中, 函数思想通过提出该问题中的数学特征, 建立与构造函数关系型的数学模型 (方 程, 不等式或方程与不等式的混合组) 并利用函数的性质, 最后通过求解函数解 析式来解决问题。
2.方程思想:实际问题 ~数学问题 ~代数问题 ~方程问题;方程思想 是解决各类计算问题的基本思想,也是运算能力的基础。
二 .数形结合思想
1.数学研究的对象是数量关系与空间形式,即数与形两个方面,在 高等数学中,关于空间解析几何的内容就是数形结合思想的体现。
2.数形结合思想的实质:将抽象的数学语言与直观的几何图形有机
结合; 关键在于代数问题与几何图形之间的转化, 而代数问题几何化 (数到形的 转化) 相对简便, 几何问题代数化则需要严密的推理论证, 它考察我们的逻辑推 理能力的高低。
3.运用数形结合思想分析与解决问题的三点注意:掌握相关概念与
运算的几何意义及几何图形 (曲线, 曲面 ) 的代数特征, 对具体题目而言, 要分析 条件与结论的几何意义和代数意义; 恰当设参, 合理用参, 建立关系, 由数思形, 以形想数,完成数与形的转化;正确确定参数的取值范围。
三 .分类讨论思想
1.分类是自然科学研究中的一种逻辑方法, 是一种重要的数学思想, 也是一种重要的解题策略, 它体现了化整为零, 积零为整的思想与归类整理的方 法。 2.分类讨论分为三种情形 :问题涉及的数学概念是分类进行定义
的,如绝对值问题,此为概念型分类讨论题型;问题所涉及的数学定理,公式与 运算性质, 法则有范围或有条件限制抑或是分类给出的, 此为性质型分类讨论题 型; 问题中含字母参数, 这需要根据参数的不同取值范围进行讨论, 此为含参型 分类讨论题型。
3.进行科学划分(不漏不重)是解决问题的手段,分类研究才是根 本目的。 4.解决分类讨论问题的基本方法与步骤为:首先确定讨论对象及所
要讨论对象的全体的范围; 其次具体问题具体分析, 选取适当的分类标准, 合理 分类; 对所分类逐步进行讨论, 分级进行, 获得阶段性结果; 最后进行归纳总结, 综合得出结论。
四 .化归与转化思想
1.化归与转化的目的:将复杂问题化归为简单问题,将较难问题化 为较易问题,将未解决的新背景下的陌生问题转化为已解决的熟悉问题。 2.此数学思想灵活度高,具有多样性,无统一模式,我们要用动态 思维来寻找有利于解决问题的变换(转化)途径与方法。
3.常用的变换方法:一般与特殊的转化,繁与简的转化,灵活巧妙 地构造转化,命题的等价转化。
4.等价转化思想方法:它可以实现数与数,形与形,数与形的相互
转换; 在分析与解决实际问题的过程中, 实现普通语言向数学语言的翻译; 函数, 方程,不等式之间的恒等变形。消去法,换元法,数形结合法,求值求范围问题 都体现了等价转化思想。
五 .特殊与一般思想
1.特殊到一般的本质:通过对个例的认识与研究, 形成对事物本质的 认知; 这是一个由浅入深, 由现象到本质, 由局部到整体, 由实践到理论的过程。 2.该思想的具体应用:构造特殊函数,特殊数列;寻找特殊点,确立 特殊位置;利用特殊值,特殊方程。
六 .有限与无限的思想
1.解决无限问题:将无限问题转化为有限问题。
2.实例 :利用定积分的定义求曲边梯形的面积,先进行有限次分割, 再取近似,最后求和取极限,这是典型的有限与无限这一数学思想的应用。 七 .或然与必然的思想
1.随机现象两个最基本的特征:结果的随机性和频率的稳定性。 2.从偶然中寻找必然,再用必然规律解决偶然。 3.等可能性事件的概率; 互斥事件中有一个发生的概率; 相互独立事件同时发生的概率; 独立重复试验 +随机事件的分布列 +数学期望。
