《高等数学Ⅰ》教学大纲
一、课程说明
数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。现代数学的内容更丰富、方法更综合、应用更广泛。数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化。能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才中越来越显示出其独特的、不可替代的重要作用。
高等数学课程是高等学校各专业学生的一门必修的重要基础理论课。通过本课程的学习，要使得学生获得：一元函数微积分学；向量代数和空间解析几何；多元函数微积分学；无穷级数；常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，逐步培养学生的探索精神和创新能力。
本大纲的用语，将基本要求分成由低到高的二个层次，对概念理论的要求分为“了解”、“理解”；对方法、运算的要求分为“会”或“了解”、“掌握”。
在教学时数安排上，本课程可安排二个学期，每周6个学时，实际教学时数约180学时。由于我校为三本，学生入学水平较低，教学时数比较紧张。
二、教学要求及教学要点 第一章 函数与极限
（一）教学基本要求： 1.理解函数的概念
2.了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性 3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念 4.掌握基本初等函数的性质及图形 5.会建立简单实际问题中的函数关系
6.理解极限的概念（对极限的N、定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N或不作过高要求） 7.掌握极限四则运算法则
8.了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限 9.了解无穷小无穷大，以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限 10.理解函数在一点连续的概念
1 11.了解间断点的概念，并会判别间断点的类型
12.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大值最小值定理）
（二）教学要点：
1.函数复习（函数的概念、单调性、周期性、奇偶性，基本初等函数的性质和图形），反函数及复合函数的概念，初等函数，简单实际问题中的函数关系
2.数列的极限，函数的极限，极限的四则运算，极限存在准则，两个重要极限，无穷小和无穷大
3.函数的连续性、间断点的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质
第二章 导数与微分
（一）教学基本要求：
1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性的关系，会用导数求有关函数的变化率问题
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性 3.了解高阶导数的概念
4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法
5.会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数
（二）教学要点：
1.导数的概念、几何意义、可导与连续的关系
2.导数的基本公式，复合函数求导法则，反函数，隐函数，参数方程所确定的函数的导数，初等函数的导数，高阶导数
3.微分概念、求法、几何意义，一阶微分形式不变性，微分在近似计算和误差估计中的应用
第三章 中值定理和导数应用
（一）教学基本要求：
1.理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理和泰勒定理
2.理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法
3.会用导数判断函数图形的凹凸性；会求拐点，会描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题 4.会用洛必塔法则求未定式的极限
5.了解曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径 6.了解 方程近似解的二分法和切线法
（二）教学要点：
1.罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理、洛必塔法则、泰勒定理 2.函数的增减性和极值，最大值和最小值 3.曲线的凹凸和拐点，函数图形的描绘 4.弧微分、曲率、曲率半径、方程的近似解
第四章 不定积分
（一）教学基本要求：
1.理解不定积分的概念和性质
2.掌握不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法 3.会求简单有理函数的积分
（二）教学要点：
1.不定积分的概念、性质、基本积分表 2.不定积分的换元法和分部积分法
3.有理函数的积分（含三角函数有理式、简单无理函数），积分表的使用
第五章 定积分
（一）教学基本要求： 1.理解定积分的概念及性质
2.理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式 3.掌握定积分的换元法和分部积分法
4.了解广义积分的概念，了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）
（二）教学要点： 1.定积分的概念、性质 2.微积分基本公式
3.定积分的换元法和分部积分法 4.定积分的近似计算
5.广义积分（含函数的概念和性质）
第六章 定积分的应用
（一）教学基本要求：
掌握用定积分的元素法表达一些几何量与物理量（面积、体积、弧长、功、水压力和引力等）的方法
（二）教学要点：
3 1.定积分的元素法
2.平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长 3.功、水压力和引力 4.函数的平均值
第七章 空间解析几何与向量代数
（一）教学基本要求：
1.理解向量的概念，掌握向量的运算（线性运算、点乘、叉乘运算），掌握两个向量夹角的求法与垂直、平行的条件
2.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法
3.掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题
4.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程
5.了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解曲面的交线在坐标面上的投影
（二）教学要点：
1.空间直角坐标系，向量的坐标
2.向量的线性运算、向量的数量积、向量积 3.平面及其方程（点法式、一般式、两平面夹角）
4.空间直线及其方程（一般式、对称式、参数方程、直线与直线及直线与平面的夹角） 5.曲面及其方程（旋转曲面、柱面） 6.空间曲线及其方程 7.二次曲面
第八章 多元函数微分法及其应用
（一）教学基本要求：
1.理解多元函数的概念，了解二元函数的极限、连续性等概念以及有界闭区域上连续函数的性质
2.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件 3.了解方向导数和梯度的概念及其计算方法
4.掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数 5.会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组的隐函数）的偏导数 6.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程
4 7.理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题
（二）教学要点：
1.多元函数的概念，二元函数的极限、连续 2.偏导数的概念及其计算法，高阶偏导数 3.全微分及其在近似计算中的应用
4.多元复合函数的求导法则，隐函数的求导法则 5.空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线 6.方向导数和梯度
7.多元函数的极值，条件极值和拉格朗日乘数法，最大值和最小值
第九章 重积分
（一）教学基本要求：
1.理解二重积分的概念，了解二重积分的性质 2.掌握二重积分的计算法（直角坐标、极坐标） 3.理解三重积分的概念，了解三重积分的性质
4.了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱坐标、球坐标）
5.会用重积分求一些几何量与物理量（体积、曲面面积、重心、转动惯量、引力等）
（二）教学要点：
1.二重积分的概念、性质
2.二重积分的计算（直角坐标、极坐标） 3.三重积分的概念、性质
4.三重积分的计算（直角坐标、柱坐标、球坐标）
5.重积分在几何、物理上应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量、引力等）
第十章 曲线积分与曲面积分
（一）教学基本要求：
1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 2.会计算两类曲线积分
3.掌握格林公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件 4.了解两类曲面积分的概念及斯托克斯公式，掌握高斯公式 5.会计算两类曲面积分 6.了解散度，旋度的概念
7.会用曲线积分和曲面积分求一些几何量和物理量（曲面面积、弧长、质量、重心、5 转动惯量、功、流量等）
（二）教学要点：
1.两类曲线积分的概念、性质及两类曲线积分的关系 2.两类曲线积分的计算
3.格林公式，曲线积分与路径无关的条件 4.两类曲面积分的概念与性质 5.两类曲面积分的计算 6.高斯公式、通量与散度 7.斯托克斯公式，环流量与旋度
第十一章 无穷级数
（一）教学基本要求：
1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件 2.掌握几何级数和p级数的收敛性
3.了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法 4.了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差
5.了解无穷级数绝对收敛和条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念
7.掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求） 8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质 9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件
10.会利用e,sinx,cosx,ln(1x)和(1x)的麦克劳林展开式，将一些简单函数间接展开成幂级数
11.了解幂级数在近似计算上的简单应用
12.了解函数展开为傅立叶级数的狄里克利条件，会将定义在[,]和[l,l]上的函数展开为傅立叶级数，并会将定义在[0,l]上的函数展开为正弦或余弦级数
（二）教学要点：
1.常数项级数的概念、性质及收敛的必要条件 2.几何级数和p级数
3.正项级数的比较审敛法和比值审敛法 4.交错级数的莱布尼茨定理
5.任意项级数的绝对收敛和条件收敛以及它们的关系 6.函数项级数的收敛域及和函数的概念 7.幂级数的收敛区间及其求法 xn 6 8.幂级数在其收敛区间内的一些基本性质
9.函数展开成泰勒级数的充分必要条件，将函数展开成幂级数（间接法） 10.幂级数在近似计算上的简单应用
11.傅立叶级数，正弦和余弦级数，周期为2l的周期函数的傅立叶级数
第十二章 常微分方程
（一）教学基本要求：
1.了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念 2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法
3.会解齐次方程和贝努利方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解全微分方程
4.会用降阶法解下列方程：y(n)f(x),y\'\'f(x,y\')和y\'\'f(y,y\') 5.理解二阶线性微分方程解的结构
6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法
xx7.会求自由项形如：Pm(x)e,e(AcosxBsinx)的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
8.会用微分方程解一些简单的几何和物理问题
（二）教学要点： 1.微分方程的基本概念
2.可分离变量的微分方程、齐次方程，一阶线性微分方程，贝努利方程，全微分方程 3.可降阶的高阶微分方程 4.二阶线性微分方程解的结构 5.二阶常系数齐次线性微分方程 6.二阶常系数非齐次线性微分方程
三、课程教材及主要参考资料
教材：
同济大学数学教研室主编.《高等数学》.高等教育出版社.1996年12月第四版（本教材获1997年普通高等学校国家级教学成果一等奖）
主要参考资料: [1] 国家理科基地创名牌课程课题组组编,王丽燕,秦禹春编著.《高等数学全程学习指导》（配同济大学高等数学
四、五版）.大连理工大学出版社.2000年11月第一版
[2] 同济大学基础数学教研室编.《高等数学解题方法与同步训练》（配同济四版）.同济 7 大学出版社.2000年4月第二版
四、其他说明
1.本大纲是以全国高等学校工科数学课程教学指导委员会下发的“工科数学课程教学基本要求”为依据，在总结以往教学经验基础上制订的。
2.习题课是完成高等数学教学基本要求的一个重要环节，因此要加强习题课教学。 3.为掌握本课程内容，学生在一年内应该完成约900道练习题。
执笔人签名：
