二次函数在实际问题中的应用教学案例
一、案例背景
《新课标》要求改善学生的学习方式，教师要彻底改变过去那种满堂灌的现象，注重以生为本，一切为了学生，一切为了学生的学习。教师要当好学生数学学习的成功组织者、有效指导者和真诚合作者。
本节课是2012年3月我上的一节数学复习课，本节课主要是通过创设问题情境，给学生充分的时间和空间来搭建展示自我的舞台，让教学真正实现教与学的交往、互动，在交往与互动的合作过程中师生分享彼此的思维、经验和知识，交流彼此的情感、体验和观念，彼此形成一个真正的“学习共同体”。
二、案例主题
课 题：二次函数在实际问题中的应用 素质目标：
1、知识技能目标：让学生进一步掌握二次函数的知识，了解二次函数与二次方程之间的联系和转化关系。
2、过程与方法目标：通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。
3、情感态度与价值观目标：通过实例让学生了解数学源于生活而服务于生活，培养学生用数学的意识和创新能力。 重 点：二次函数在实际问题中的应用
难 点：如何用二次函数的数学模型解决实际问题 教法与教具：合作探究法 多媒体
三、案例回放
(一)[创设情景 导出新课] 用多媒体播放一男生推铅球的情形，数学科代表说：这个男生推铅球的距离正好符合我们学习的二次函数：铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)间的关系式为 。问其他同学：该男生铅球推出的距离为多少米？
科代表这话题一打开，一石激起千层浪。同学们说：“二次函数在实际问题中的应用非常广泛”。
有的同学说：将铅球换成足球，反过来可看成踢足球射门；有的同学说：电视中跳水运动员在空中运动路线形如一条抛物线；有的同学说：农村的自动喷灌的水流呈抛物线状；有的同学说：军事频道中防空导弹运行的轨道是一条抛物线…等等。 这样课堂气氛开始活跃起来。
下面我们来研究一下刚才同学们想到的“二次函数在实际问题中的应用情形”。
(二)[精讲变式，巩固提高] 用多媒体播放踢足球的射门的慢镜头，展示问题1：在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门。球在空中的路线形如 的抛物线，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米。已知球门高2.44米，假定在无人拦截的情况下能否射中球门？ [分析]学生们一看果然是踢足球，兴致大增。
教师与学生共同参与探讨：①能否射中的含义是什么？②“当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米”给你什么启示？③球飞行到水平距离为10米时，其高度是比2.44m大还是小？如何来求这个高度呢？
通过分组讨论，同学们很快发现：必须将足球飞行高度与水平距离的关系式找出来？一位平时不爱学习但非常喜欢踢足球的学生恨不得下位进行演示，并用很快地参与到和本组成员的讨论之中，主动地将自己的结果拿出来进行展示， ， ， ，而不知道怎样计算足球能否射中？此时，同学们哄堂大笑。我在一旁启发：足球踢了多远？这时，这位男生才悄然大悟，计算出了当 时， ，可以射中。
[示范]将每个小组推选出的有代表性的作品进行展示，并让学生点评、指正，教师点拨。
点评：通过合作探究，学生对数学学习兴趣增强了。打开了学生思维的闸门，使学生进入“求通而未通，欲言而未能”的境界，增强了学生的学习内驱力，学生的学习由被动接受到积极参与，主动探究。
抓住时机，教师在屏幕上播放郭晶晶跳水的画面，问学生：她为什么跳得那么完美？
展示问题2：某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标下经过原点O的一条抛物线，在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面高为 米，入水处距池边的距离为4米。同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为 米。问：此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。
[分析]在屏幕上再次播放郭晶晶跳水的镜头，然后把她放到直角坐标系中，让学生利用二次函数的模型来解释她跳水这么完美的原因？分组交流，教师点拨。跳水运动员在空中的运动路线是经过原点的一条抛物线，要求其解析式。（1）如何设出其解析式？（2）该抛物线经过哪几个点？（3）其坐标怎样表示？（4）会不会失误的标准是什么？[即在距水面高度为5米以前完成动作] 点评：对解释好的同学给予鼓励，甚至可以赞赏他具备担任跳水运动员教练的天赋。这样在许多公众场合，一些以前躲于人后、怕抛头露面、羞于启齿的学生也开始有了探究地欲望、交往的愿望、展示自我的渴望。 (三)[变式训练，深化提高] 用电脑播放农村改革开放后自动喷灌的景象，让学生用所学的知识来帮助农民设计出最好的喷灌方式，展示问题3：改革开放以后，不少农村用上了自动喷灌设备，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个旋转的喷水头。一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高C点成45°角，且比喷头B高出2米。在所建坐标系中，求水流落地点D到A点的距离是多少米？
让学生分组合作，并根据题意画出图形，并进行展示，鼓励学生致力于用科学知识帮助农民提高生产力，做改革的工程师。
最后用多媒体播放防空导弹射击训练的画面，引出问题4：如图，是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标中示意图，在地面上O、A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为 和 ，OA=1千米， ，位于O点正上方 千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导师弹，该导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E点）。（1）若导弹运行轨道是一抛物线，求该抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由。
让学生分组讨论，合作交流，并进行展示。得出“二次函数在实际问题中的应用是非常广泛的”。还有哪些生活知识可以用“二次函数的模型”来解决？学生们会有意欲未尽，余味无穷的感觉。 (四)[归纳小结，形成能力]让学生自我归纳
1、二次函数的解析式有哪几种不同的形式？适用的范围是什么？
2、利用二次函数数学模型解决实际问题时，应注意数形结合的思想。
3、函数在实际生活中应用非常广泛。
四、案例反思
以前我们的教学，总是生怕学生听不懂，特别对于重点难点的内容，以为这部分讲得多，讲得透，就能突出重点了，实际上教师讲得多并不代表学生都能听明白，要使学生真正掌握知识点，最好的方法还是创设问题情景，为学生搭建学习的“脚手架”，寻找学生认知的“最近发展区”，采 用分小组合作探究，给学生以探究和思考的空间。形成一种生动活泼、潜力无穷、人人参与、主动积极学习的活动形式。
本节课通过一系列的问题设计，以“生活与数学”、“活动与思考”、“表达与应用”为主线开展课堂教学，让学生在轻松、快乐而紧张的课堂氛围中自主探索，我通过精心预设，为学生搭建个性张扬的舞台，并把竞争引入到课堂中去,让课堂充满了活力。让我感受较深的一点是：课堂上多给学生尝试归纳，教师要及时给予一定的鼓励，并继续给予引导，培养学生归纳总结的能力，让学生形成自己独特的学习方法。遗憾的是：本节课容量较大，最后的变式训练题让学生探索稍微显得过快。
