《17.1变量与函数（1）》教学设计
一、教学目标
1．知识技能目标
（1）掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念；
（2）了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图像法，并会用解析法表示数量关系．
2．过程性目标
（1）通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；
（2）引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式．
二、教学过程
（一）创设情境
在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题． 问题1 如图是某地一天内的气温变化图．
看图回答：
（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．
（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
解：（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃； （2）这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；
（3）这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T（℃）也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？
（二）探究归纳
问题2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：
观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的． 解：随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长．
问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数值：
观察上表回答：
（1）波长l和频率f数值之间有什么关系? （2）波长l越大，频率f 就________． 解：（1） l 与 f 的乘积是一个定值，即 lf＝300 000，或者说f300000． l（2）波长l越大，频率f 就 越小．
问题4 圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝_________．
利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1．5 cm、2 cm、2．6 cm、3．2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________． 解：S＝πr2．
圆的半径越大，它的面积就越大．
在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量（variable）．
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量（independent variable），y是因变量（dependent variable），此时也称y是x的函数（function）．表示函数关系的方法通常有三种：
（1）解析法，如问题3中的f系式．
（2）列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表． （3）图像法，如问题1中的气温曲线．
问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（constant），如问题3中的300 000，问题4中的π等．
（三）实践应用
例1 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高．
300000，问题4中的S＝π r2，这些表达式称为函数的关l
（1）从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗? （2）该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?
（3）上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量? 解：（1）平均身高是146.1cm；
（2）约从14岁开始身高增加特别迅速；
（3）反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量．
例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量： （1）圆的周长C与半径r的关系式；
（2）火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；
（3）n边形的内角和S与边数n的关系式． 解：（1）C＝2π r，2π是常量，r、C是变量； （2）s＝60t，60是常量，t、s是变量；
（3）S＝（n－2）×180，
2、180是常量，n、S是变量．
（四）交流反思 1．函数概念包含： （1）两个变量；
（2）两个变量之间的对应关系．
2．在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．
3．函数关系三种表示方法： （1）解析法； （2）列表法； （3）图像法．
（五）检测反馈
1．举3个日常生活中遇到的函数关系的例子． 2．分别指出下列各关系式中的变量与常量：
（1）三角形的一边长5cm，它的面积S（cm2）与这边上的高h（cm）的关系式是S5h； 2（2）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β（度）与α间的关系式是β＝90－α ；
（3）若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y（元）与x间的关系是：y＝ax．
3．写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：
（1）每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y（元）与学生数n（个）的关系；
（2）计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系． 4．填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式．
