《三角函数模型的简单应用》教学设计交流
镇海中学数学组
钟清
各位专家，各位老师：
大家好！很高兴今天有这么一个机会与大家进行交流。
我们镇海中学在每年的12月份都有一个课堂教学创新周活动，去年的主题是“新课程背景下学科教学的探索”，数学组由我和沈虎跃老师接受了开设公开课的任务，我们根据当时高一新课程的进度，选择了新课程新增内容《三角函数模型的简单应用》开设了两堂公开课，现在我把我们当时的一些想法与做法向大家进行简单的汇报。恳请各位老师的批评指正。
新课程专门设置“三角函数模型的简单应用”一节，目的是加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，这是以往教学中不太注意的内容。书上选择了4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用：
例一：根据图象建立解析式。（研究温度随时间呈周期性变化的问题）； 例二：根据解析式作出图象。（研究与正弦函数有关的简单函数y=|sinx|的图象及其周期）； 例三：将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。（研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题）；
例四：利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型。（研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题）。
根据教材的安排，我们分两个课时完成这部分内容：例
一、例
二、例三为第一课时，例四为第二课时。在上第一课时时，由于考虑到例二这个内容，在上正弦函数的图象与性质时已提前讲解过，学生也已基本掌握，同时也考虑到本堂课时间的限制，在这里就不再重复。
根据新课程标准，我们将第一课时的教学目标，教学重难点定为：
1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；b体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；c体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．
3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
教学重点：根据已知图象求yAsin(x)b的解析式；将实际问题抽象为三角函数模型。
教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．
教学过程如下：
首先从同学们比较熟悉的“物理中单摆、弹簧振子对平衡位置的位移与时间的关系”引入，说明在现实世界中存在着不少周而复始，循环不息的现象，包括有物理，地理方面的，也有心理、生理现象以及日常生活现象等，而这些具有周期性变化的现象在数学上有时就可以借助三角函数来描述。这里完全可以让学生举几个例子。学生们的想象是很丰富的，比如说这里的峰谷电，自行车车轮转动，温度变化等就是由学生提出来的。这个界面（幻灯片5）可以体现三角函数应用的广泛性。也可以由这个界面超级链接到各个例题，起到一个提纲挈领的作用。
接下来是例一，已知函数图象求函数解析式，这是老教材就有的内容，只不过套了一个“温度”的外壳。为了体现数学的实用性，即由图象求得解析式后，解析式有什么用，在这里我补充了第三小题“求出8时的近似温度”。这（蓝线）是为了说明如果拿平衡点代入求值时会出现增根，需检验。
接下来是例二（也即书上的例三），为了增加亲切感，我把书中的“北京地区”改为了“宁波地区”，一些数值也进行了相应的改动。本来对这道题我有点担心，觉得“太阳高度角”这个概念自己理解起来都有点费力，学生能理解吗？但实际上我的担心是多余的。学生的地理知识远远超过我，他们很快就能反映过来，“要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡”，只需考虑冬至那天，太阳直射南回归线的情况，因为那一天太阳高度角最小，物体的影子最长。而他们也很快反应到：地球表面某地正午太阳高度角为900减去太阳直射纬度与该地纬度差的绝对值（即900||）。因此解这道题并不是特别困难。我们只需通过这几张幻灯片帮同学们理解一下这个公式的由来，这道题便迎刃而解。
为了进一步拉近数学与我们生活的距离，让学生真实感受到数学来源于生活，生活中就有数学，我们还可以在这里补充这样的反面问题：比如有一天你想买房，某住宅小区楼与楼之间相距15米，你要使所买的楼房一年四季正午的太阳不被前面楼房遮挡，应选择哪几层的房子？
其实我们接触到的三角函数模型的应用有两类：一类是已知模型将其具体化，如例1；另一类是模型未知，需要你根据题目情况选择合适的数学模型加以解决，如例二。当然第二类难度更大。因此为了更好地突破难点，也根据我校学生的实际情况，在做了简单归纳总结后，我补充了例三。
例三的数学模型是未知的，要学生自己寻找合适的数学模型，它对学生思维层次的要求比较高，学生可能会感到困难。因此我借助几何画板加以不停的水轮旋转演示，使学生能够发现角与高度的关系，帮助学生理解题意。经过讨论探究，学生结合正弦函数的定义，给出正确解答。
至于本课的课后体验探究是希望进一步拉近三角函数与学生的距离，激发学生的兴趣。这是可以证明的，留给有兴趣的学生完成。也可以试着让学生自编题目。
以上是第一课时，这堂课通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实际问题，使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界，它是认识和解决我们生活工作中问题的有力武器。同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力，增强了他们对数学的理解和应用数学的信心。
《三角函数模型的简单应用》的第二课时便是书上的例四“港口海水深度随时间呈周期性变化的问题”，这是继必修1函数这一章节以后，第二次出现的函数拟合问题。但由于陌生的背景，复杂的数据处理，函数思想运用等学生还是会感到困难，我们对它的教学目标定位是：
知识目标：能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴涵的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据。
能力目标：体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模学习过程，使学生逐步养成运用信息技术工具解决实际问题的意识和习惯； 使学生进一步提升对函数概念的完整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力，培养学生理论与实践相结合，用科学、辩证的眼光观察事物，进而抓住事物的本质。 情感目标：体验探索和创造过程，从中获得成功的快乐，体会学习数学知识的重要性，激发对数学的兴趣和树立自信心，渗透数学与现实统一和谐之美。
教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化的规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。
教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。
由于这堂课当时是沈虎跃老师开的公开课，因此在这里我给大家演示的绝大部分也是沈老师的课件，稍做改动。我觉得他是从五个步骤来实现教学过程的。
（一）设置情境，呈现问题
为了增加趣味性，从法国圣米切尔山的涨潮、落潮引入。圣米切尔山是继巴黎铁塔同凡尔赛宫之后，法国第三大景点。它的最大特点是\"在水中央\"，潮涨时整座山几乎四面环\"海\"，潮退时则一片荒漠。 这个引入大受学生欢迎，激发了他们学习的兴趣。另外也可以这样引入：这是冲浪，依据规定，当海浪高度高于1米时，才对冲浪者开放；这是我们的宁波港。、随后提出问题（幻灯片23）。这两个问题实质上就是本堂课要研究的重点问题，在这里先给学生一个直观感觉，为接下来的例题出现提供背景。
（二）探索实践，寻找模型 (1)初步认识
更进一步地提出具体问题（幻灯片24）。
作散点图时，注意引导学生与“五点法”相联系，这样很容易联想到三角函数。我们也完全可以借助计算机exsel来完成作图，由于考虑到潮水涨落的实际情况，我们考虑采用平滑线散点图，而不是折线散点图.根据图象可以考虑用函数yAsin(x)b来刻画水深与时间的关系.由图象求出解析式。求出解析式后便可依赖计算器或计算机求得各整点时的水深的近似值。
(2)深入探索 （幻灯片27~30）。问题二也就是说只有当海水深度超过5.5米时，货船才能够安全进出港口，并在港口停留。它的求解如果只利用表格或图象，只能看个大概。要想得到相对精确的数值必须如书上写的依靠计算机或计算器通过函数解析式结合函数周期进行数据运算。
“试试看”是问题二的反面问题，可以借助图象解决，但最快的是利用表格里面的数据。 问题三货船的安全水深由一个常量改为了变量，把它抽象为关于时刻x的一个一次函数。我们在列出函数表达式后，也采用数形结合的方法加以解决。可以看到在P点之前必须将船驶向较深水域。书上结合图象用两头逼近的方法非常近似地求得在6点半前驶向较深水域，那么如何比较精确地求得P点的时间值呢？书上注解说用二分法求解，但课堂时间有限，用二分法求解会化费太多的时间，这时我们可以用计算机excel的单变量求解功能来快速求解，以节省时间。
(三)回归现实.提出问题
考虑到问题的实际意义，待问题解决以后，我们要回归现实提问学生：“在货舱的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货，行吗？”。事实上这是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨。因此虽然我们得出比较精确的时间6.715,但最后我们仍旧要答“为了安全货船最好在6点半之前停止卸货，将船驶向较深水域。”因此书上只求近似值，未求精确解的做法是完全可行。但我们这种求精确点，答近似值的做法可以向学生更好地说明建立数学模型解决实际问题所得的模型是近似的并且得到的解也是近似的，这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析，得出合乎实际的回答。其实刚才的问题二也有同样的情况。
(四) 练习反馈,提高能力 在解决好上述问题之后，如时间允许，可进行一些练习，一则可以改编一些问题让学生试着解决；二则也可以让学生就此模型再提出一些其它问题，并加以解决。这里的“练习”是与引入中的“冲浪”相呼应。
(五) 总结提炼,延时探究
课后探究：宁波港潮汐与**广场国旗的升降时间，并向学生提供网站与信息。将探究活动延续到课后,切实提高学生的数学探究能力与解决问题的能力.以上是我们对>这一节知识的肤浅的认识，其中必有很多不足.两堂课上下来之后，我自己也感到有一些困惑，比如说信息技术应用的度的把握，课堂上放手让学生探究与课堂效率的矛盾等等,在此也恳请各位专家老师多提宝贵意见!谢谢大家!
