融错教学：成长的意义与教育的境界
作者:北京第二实验小学 华应龙
人生自古谁无“错”，
人就是在“错”中生长的。
“错：不对?”不对，
“错>不对!”
“错”本来是打磨玉石的粗磨石，
因此，“错”是帮助我们玉汝于成的宝物。
我的追求与探索
18岁，想当一名好老师。
1984年，我从如皋师范学校毕业，被分配到海安县墩头镇中心小学当老师，兼任学校体育和数学两个学科的教学。
曾经有当体育老师的经历，我不但骄傲，而且感激。在我的随笔《篮球，我的导师》一文中，表达了体育让我从中学到了很多优秀的品质，比如拼搏、竞争、合作、平和„„
18岁的我非常简单，根本就不懂什么所谓的教育理想，只是骨子里有种很原始却很坚定的信念，那就是当一名好老师。对于当时被自己当作“副业”的数学课，我是这么认为的：“其实小学数学很简单，就只是些浅显的知识，算不上什么深奥的大科学，只要让学生感兴趣并且引导他们爱学乐学，那么每个学生都有可能把小学数学学得很好。”为了培养学生们的数学兴趣；我抱着一种带学生“玩”的心态，开始了我的数学教学生涯。
做老师了，上课时不太会说话是我的软肋。在如皋师范实习的时候，同组的一位女同学教给我一个方法，那就在上课说话打结的时候用说“好”字来连接，这样既不会被学生看出来，又能给自己一个缓冲思考的时间。结果有一天，课堂上发生的一幕让我尴尬难堪。当时课上有两个学生争起来了，原因居然是他们偷偷统计我上课说了多少个“好”字，结果统计数字有了出入，一个说是42个，一个是38个。这件事对我触动挺大。我突然也想知道自己一堂课究竟说了多少个“好”字。为什么自己的课堂语言会如此不连贯。于是，找来录音机，我录下自己的课，课后通过听录音反思，从而做到扬长避短。从那时候起，“听自己的课、反思自己的课堂”成了我一个保留至今的习惯。
除了在教学语言上改善自己，我还希望在教学设计方面能够有所突破。于是，各种书籍成了我最好的“老师”。上海教育出版社的《怎样教小学生学数学》，福建教育出版社的《优质课的设计与施教》，江苏教育出版社的《小学数学易混概念辨析》等等，我都爱不释手。由于当时在乡镇任教，买书不方便，邮购书成了我常用的方式。回想起宿舍里、窗户边，悬挂的一沓空白汇款单在风中摇曳生姿，我的心里充满了恬静。
我的努力得到了更多的回报。在学校带班，班上学生的成绩总是比第二名多出一大截；连续三次参加海安县里的教学比赛，没有一次铩羽；代表县里参加南通市的比赛，又是实至名归；1995年，作为南通市唯一的参赛选手，我荣获江苏省优秀课评比一等奖，完美的课堂演绎让众多教育专家赞不绝口„„ 29岁，想当一名特级教师。 过了初生牛犊不怕虎的阶段，我开始沉淀自己，静静地思考着该如何在教育教学领域争取更大的进步空间。
29岁的时候，我被县教育局推荐申报特级教师。我开始有了更大的梦想：“我想做特级教师，这不只是名誉，对我来说更多的是一种压力和动力。” 32岁，想做一个好人。
1995年，我第一次申报特级教师，在最后一个环节没有通过。相关部门的领导安慰我说：“你年龄太小。”对于这样的结果，我并没有灰心懊恼：“没被评上特级，是因为我确实很嫩。这样反而让我有更大的空间和动力去提升自己。”
我继续沉迷于自己的数学教学实践研究，继续阅读大量的图书报刊，继续脚踏实地地写着自己的教学反思日记„„“特级教师不能只是个名号，只有当一个教师的知识水平和能力结构足够丰盈时，他才对得起特级这么一个荣誉。”
两年过去了。1997年，再次申报特级教师。由于名额的限制，县教育局考虑到另外一位老教师年事已高，只能忍痛放弃了对我的推荐。但由于第一次申报的印象突出，南通市教育局领导特批“华应龙不占用名额申报”。得知这样的消息，我感激领导的厚爱，但考虑到教学实绩非常优秀且年龄较大的那位老教师可能会因为自己的原因不能通过市内初评，于是我果断地向市教育局提出请求：“如果我的申报会影响到别人，我选择放弃。”
1998年的教师节，我和那位老教师一同接过了“特级教师”证书。当时的我不禁想起了第一次申报，我们海安县共有两个人参与了小学数学特级教师的申报，一个是我，另一个是我的“师傅”——陈今晨老师。他是县局数学教研员，在我成长的路上，给予了我很多的指导和很大的鼓励，我非常感激他。在第一次申报材料的最后，我写下了这么一句话：“如果没有陈今晨老师的栽培，就不会有我的今天。”想想两次申报特级教师的经历，我幸福地在心里说：“我要做一个好人。只有做一个好人，才有可能做一名好老师。”
后来，我在海安县实验小学当副校长，一如既往地好好教书，好好做人。 36岁，想做有影响力的数学特级教师。
1996年全国数学年会上，我做了一节《年、月、日》的公开课，听课的都是来自全国各地的教学名师，其中就有来自北京的李烈校长。丰满的教学目标、轻松有趣的课堂导人、严谨充盈的内容设计、工整漂亮的板书„„课堂完美得几乎折服了所有人。李烈校长在听课结束后对我说了一句话：“我希望你能到北京去。”
我只敢把这句话当作是李烈校长的一番鼓励之词，并没有过多地考虑。直到2001年在全国第五届小学数学教学比赛上，我再次碰到她。于是，我开始思考了，“我是不是该去试一下呢?：
2001年底，我到北京第二实验小学考察，发现实验二小的确是一块不一样的地方，很多新课程的教育教学理念已经呈现在课堂中。我觉得我应该给自己机会，去接触更广阔的舞台，去生成更多的精彩。
2002年3月，我恋恋不舍地告别生我养我的江苏，没有提任何要求，调到了北京第二实验小学。 放弃了在江苏已有的成绩，准备好一切从零开始。我一如既往地幸运，总是在很关键的时候得到很多好心人的帮助。李烈校长创造机会提携我，吴正宪、刘德武、谭晓培等数学教学名师毫无保留地帮助我„„江苏老家的领导仍然垂青我，给我很多很多和江苏同行交流的机会，2008年给我教海探航“杰出水手奖”的殊荣。
“我36岁来北京是为了给自己一个更大的舞台。”我现在的心愿不再只是单纯成为一名出色的数学老师，而是成为一名出色的、有影响力的数学特级教师，这样就能去影响和带动更多的小学数学教师共同演绎精彩的数学流年。
我的教学主张与风格
以下的一些主张，有我的风格，那是因为它们来自于我的课堂实践，来自于我实践失误后的感悟。
关于小学数学教学目标，我认为，学生心中有“数”是最大的目标。学生从心底里害怕数学，那是最大的失败。如果我们的教学不仅传授知识，而且启迪智慧，更在点化生命，那么，我要学生心中无“数”都不可能。
关于小学数学教学中的学生，我认为，学生都是天使，都是天生的学习者，他们往往是我的老师。
关于小学数学教学中的教师角色，我认为，是组织者，是引导者，是合作者，但更是欣赏者。会欣赏学生，会欣赏乍一看不怎样的学生，会从数学的角度欣赏生活，会欣赏自己。只有从心底里喜欢数学的老师才会带出从心底里喜欢数学的学生。只有在学生眼里“我就是数学”，我才能教好数学。
关于小学数学教学内容，我认为，数学是玩具，数学是前人留下的玩具；数学就是游戏，数学就是在统一规则下的游戏。别把小学数学说得那么高深，那么复杂，因为小学生的手很小，玩不下。
关于小学数学教学方法，我认为，教是因为需要教。不要在不需要教的地方孤芳自赏。学习本来像呼吸一样自然，教学就是带着孩子们一起玩好数学。道法自然，学生“水到”教师“渠成”，乃是至善。
关于课堂教学，我认为，课堂因融错而精彩。
“融错”是指把课堂差错融化为一种教学资源，为开展教学活动、达成教学目标服务，是化腐朽为神奇，这正好符合我国古代“相克相生，相反相成”的哲学思想。对于融错教学的要义，我认为有以下几点：(1)尊重学生的劳动。（2）鼓励学生积极地探索。(3)深化他们对数学知识的理解。(4)增强对错误的免疫力。(5)发展学生的反思力。(6)培育学生直面错误、超越错误的创新人格。
为什么说是“融错”，而不是“容错”?因为课堂并不是容纳了“差错”就精彩，而是把“差错”融化为教学不可或缺的资源才精彩。精彩在教师艺术地处理了随机生成 的差错，巧妙地彰显了差错的宝贵价值，把真正富有价值的内涵、创新的人格植入了学生的生命之中。
早在1993年，我就申报研究《让学生从错误中学习》课题；”年来，锲而不舍。新课程推进以来，“自主、探究、合作”的学习方式更加呼唤尊重学生学习过程中的差错，迫切要求教师在课堂上能够精彩地“融错”。 融错包括：容错，错是错；融错，错不是错；荣错，错还是错三个阶段。
第一，容错，错是错。
美国数学家哈莫斯(Halmos，P．R)：“数学家X的一个漏失或一个误述，正好是数学家Y所需要用以发现真理的东西。”“学生(抑或老师)的一个差错，正好是老师所需要的用以帮助学生发现真知的东西。”
如果我们把学生宝贵的差错看作“加倍努力”的“乘号”、需要攻克的“城堡”；资源丰富的“矿场”、此路不通的“路标”，那么不但学生高兴得“又蹦又跳”，老师的嘴
角也会像一个个“对勾”那样“往上翘”，而且我们更能听到学生成长拔节的声音，课堂也会因此成为师生生命撞击的天堂。
首先，善待差错，不是鼓励出错，不是要纵容学生不负责任、“草率行事”，不是任由学生信马由缰，而是要鼓励学生探究的勇气，激发学生挑战的精神，保持学生创新的激情。苛求正确，无异于给学生戴上“金箍咒”，于无形中造成对创新的压力，导致学生因循守旧，甚至不择手段投机取巧，模仿造假。罗杰斯先生就曾指出，只有心理安全、心理自由，才能创造。
其次，讲数学家、科学家对待差错的故事，帮助学生认识到“错误是创造的开始”。开始是我讲，后来我把有关书籍借给学生；让学生利用“课前精彩两分钟”轮流讲。例如，北京出版社的《科学失误的故事》、河北少年儿童出版社的《科学家与错误》、天津教育出版社的《数学大师的创造与失误》。
再次，老师要做好善待差错的榜样。我批改学生作业时，看到学生的差错，我觉得好玩、有趣、有味，总是喜欢把自己的感受用一段话、一句话、一个词表达出来。我的学生毕业多年都会珍藏着我批改的作业本。
第二，融错，错不是错。
首先，给予学生出错的机会。传统的课堂教学，总是在学生探究前安排有大量的复习和铺垫，还有“越位”的提示或暗示。以往的我们喜欢未雨绸缪，喜欢防患于未然，喜欢防微杜渐，这是不是有些急功近利、揠苗助长? 心理学家盖耶指出：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”放弃经历错误也就意味着放弃经历复杂性，远离谬误实际上就是远离创造。过度的防错、避错，缺乏对差错的欣赏与容纳，大大减少了学生扩展认知范围、提高认知复杂度、接触新发现的机会，使天然的好奇心、求知欲以及大胆尝试的探索意识被压抑乃至被扼杀，所伴随生成的个性特征和思维特征必然是谨小慎微、害怕出错，这与敢于冒险，在失误中开辟新思路的创造型个性品质和创造型思维品质是背道而驰的。
老子说：“是以圣人欲不欲，不贵难得之货；学不学，复众人之所过；以辅万物之自然，而不敢为。”新课程倡导学生自主探究，我就更应该道法自然，让学生在自然状态下探究，让学生自由地呼吸，给学生出错的时空。例如，“平行四边形面积计算”的教学，我们总会给学生足够的铺垫，但前不久我再上这节课时，没有了铺垫，在创设出情景后，让学生大胆猜想，再顺着学生的猜想，组织探究，最后猜想平行四边形面积是两条相邻的边相乘的孩子叫了起来：“华老师，您误导!”同学们哄堂大笑。其实，他说出我“误导”，是有三个条件的：一是他有误，二是我导了，三是现在他醒悟了。因此，我眼睛里都笑出了泪水：“哈哈，我不是误导，而是导误!”
其次，分析差错背后的真正原因。
课堂是学生出错的地方，出错是学生的权利，帮助学生不再犯伺样的差错是老师的义务。
曾经看到一个有趣的问题：“一道数学题学生做错了，老师讲了三遍，学生还是做错了。谁笨?”明白人明白的算理是一样的，不明白的人却各有各的困惑。做教师的就必须明白学生的困惑，才能有效地帮助学生。我们对待学生的差错，是不能用“粗心”一词来打发的。例如，有学生计算出24x3=92，他可能是怎么思考的呢?可能是3x4=12，2+1=3，3x3=9，所以等于92；也可能3x4=12，2x4=8，8+1=9，所以等于92；还可能是把3和4交换了位置，于是23x4=92。 再次，让差错显露出可贵。
差错可能成为正确的先导。差错往往隐藏着正确的结论，或者成为引发正确结论的“基石”。那些差错大多是“差那么一点”、“拐个弯就对了”。我们在课堂上常常会看到这样的现象：老师提出一个问题，教室一片寂静，但当某个同学发表了一个有“差错”的意见之后，一只只小手举了起来。是同学的“差错”撞击出了其他同学思维的火花，使更多的同学更快地走向了“正确”。
差错除了具有启发功能外，还具有刺激、教育、醒悟、陪衬、免疫等功能。需要教师练就一双“慧眼”，敏于捕捉，善于发现差错背后隐含的教育价值、引领学生从错误中求知，在错误中探究。
对待学生的思维成果，不是着眼在对还是不对，而是应着眼于有价值还是没有价值，价值是大还是小，是现时价值还是长远价值。
鲁迅先生曾说：“我们先前的批评方法，是说：这个苹果有烂疤了，要不得，一下子抛掉„„此后似乎最好还是添几句，倘不是穿心烂，就说：这苹果有烂疤了，然而这几处没有烂，还可以吃得。”这岂止对文艺批评来说是至理名言，我们对待学生的差错不也应该这样吗?高明的老师总是善于从学生九十五分错误的解答中发现那仅有的五分正确的东西，给予热情的肯定，并积极加以引导，让学生一步步推倒那九十五分的错误。而后，再进一步地回过头来追寻产生错误的原因。久而久之，学生拿出来的“苹果”上的烂疤就会越来越少，自信心和主动性就越来越强。
“错得好!”是我课堂教学的口头禅，也是我每接一个新班，上第一节课都要写在黑板上的三个字。
另外，要用好教师自己的差错。‘
差错人皆有之，作为教师不利用是不能原谅的。当自身出现失误时，教师要冷静，及时做出分析、判断，调整活动方案，采取补救措施，让失误成为发展学生思维不可多得的契机，让教师处理事物的言行成为学生对待差错的榜样。
第三，荣错，错还是错。
首先，差错是贡献。爱因斯坦说：“在科学上，每一条道路都应该走一走。发现一条走不通的道路，就是对于科学的一大贡献。我们的科学史，只写某人某人取得成功，在成功者之前探索道路的，发现‘此路不通’的失败者统统不写，这是很不公平的。”一名学生出错，对于整个班级来说是很光荣的贡献，对于学生自己来说是一段很荣幸的经历——“我曾经这样错过”。
错了就是错了。在我们的课堂里，您会听到学生踊跃地介绍与众不同的想法，您也会听到有学生大气地站起来说：“刚才，我是这么错的„„”学生直面差错，甘愿分享的境界是多么的可贵。他们不怕失败，敢于创新，因此我们能够“听到学生思维真实的声音”，教学效果令人欣慰，学生喜欢学，不愿意下课，会学，学得棒。
其次，差错是创新。正确的解答，可能只是模仿；而错误的解答，却可能是创新。因此，可怕的不是学生犯错误，而是教师错误地对待学生的错误。我们要用“阳光心 态”来观照学生的差错，用放大镜来寻找学生思维的闪光点。对学生有价值的差错，我们会引导教室里响起三四次掌声——首先为他不盲从的坚持，其次为他有根有据的说理，再次为他接纳他人观点后的修正，最后为他带给我们思考的贡献。
《易经》表达的做人的最高境界是“无咎”。无咎，不是说没错，而是说错了没关系。课堂学习也应该如此。
再次，差错是珍珠。有些差错总是要犯的，犯得越早，损失就越小。因为差错经过融化已经成为了系在“学习心”上的珍珠和奖牌。差错对于学习就像砂粒之于河蚌，起初是拒绝，不愿意接纳，但又没法排斥，后来改变策略，分泌汁液来包容砂粒，反而培育出了珍珠。
不怕出错，允许犯错，不等于鼓励和提倡犯错。少犯差错仍然是一条必须坚持的原则。只有学生在尽最大努力避免出错的前提下所犯的错，才可能最具有融化的价值，才是值得荣幸的。
我的课堂教学实践
1．《我会用计算器吗?》一课中，“融”预设的“错”。
师：下面我们用计算器来玩一个“猜数字”的游戏。从1~9这9个数字中选一个你最喜欢的数字，别说出来，想在心里。我最喜欢数字“2”，就输入9个“2”，然后把它除以\"12345679\"。除完以后你只要把结果告诉我，我很快就能知道你最喜欢的数是几。
生：(充满怀疑地)嗯? 师：试一试。 生：(认真地计算起来) 师：算出来了么?谁来告诉我你的结果? 生：结果是2.700000022。
师：好，现在我告诉你，你的结果是错的，你等会可以再重算一遍，看看错哪儿了。
生：72。
师：你喜欢的数字是8。
生：(惊讶却又很佩服地)对! 师：谁再来试试7 生：27。 师：你喜欢的数字是3。
生：(同时，有个学生也说出了答案)3。
师：嗯?你也知道了?那哪位会哪位来，我先下岗一会。
生1：我算出来的结果是45。
生2：你喜欢的数字是5。(大家异口同声地说出了答案。) 生3：52。
生4：52，嗯?错了! 师：看来你真的会猜!同学们知道诀窍在哪了吗? 生：知道!得数除以9。
师：真棒!刚才得出“2.700000022”的同学，你再算一遍，也可以重选一个数字试一试；然后想一想错在哪里了。
师：算完了么?有的人错了但可能还不知道问题在哪。请哪位同学来说说? 生：我喜欢的数字是“1”，我输入9个“1”然后除以“123456789\'’，得出来的数字是0．900000007。
师：谁来帮她分析? 生：屏幕上没有8，你把8给输进去了。 师：其他算错数的同学是不是也把8给输进去了? 生：(部分同学有些羞愧地说)是。
师：现在再算一遍。
生：(那些同学高兴地举起手，轻声地对老师说)这回对了! 师：(摸了摸学生的头)看到你的笑容我真高兴，有的时候观察不仔细那可麻烦了。
师：好，算完了吗?这个游戏好玩吗? 生：好玩。
师：玩过之后，有什么收获呢? 生：我知道了计算器不光是帮助人们学习的，也是帮助人们计算的，并且它不是按照一个整的公式，它有的时候还是活灵活现的。
生：自己要把数据看准确，而且操作要精确。
师：说得真好，就是要看清数据，正确输入。
借助计算器可以让我们发现一些数和运算的美妙。但一些传统的题材我做了教学加工。不只是一种展示和欣赏，更多的是一种激发和挑战。在这节课上，我正视并接纳学生学习过程中的差错。课中创设的“猜数字游戏”，由于数位多确实需要用计算器，但正由于数位多，学生可能会把9个“5”输成8个或10个“5”，“12345679”也可能输成“123456789”。“计算器算的也会错?”分析错因的过程就是学习使用计算器的过程，也是破除迷信计算器的过程。
我用计算器尝试了学生可能出错的各种类型，以便自己心中有数，但在执教过程中，又不是直接指出学生错在何处，那样就剥夺了学生自己“反省”的机会。想到郑板桥的“难得糊涂”的名言，课上的我装糊涂，学生报出“2.700000022”时，我愣住了，好像被难住了，过了一会才说“你算错了”，给学生的印象是老师思考后作出的判断，应好好“反省”。板桥先生说“由聪明而糊涂难上加难”，看来也不一定，只要把学生放在主体的位置上，做老师的就好“糊涂”了。
2．《游戏公平》一课中，“融”生成的“错”。
教学《游戏公平》一课，我创造性地提出抛啤酒瓶盖 来决定“输赢”是否公平的问题。
当学生小组抛完10次啤酒瓶盖后，既有“正面5次，反面5次，推断游戏公平的”，也有“正面8次，反面2次，推断正面朝上可能性大的”，还有“正面1次，反面9次，推断反面朝上可能性大的”。试验之后，没有达成一致意见，怎么办?学生想到把四个小组的数据合计起来再判断。以下，是学生合计小组数据之后，全班6个大组汇报的片段——
师：第一大组来汇报——
生：我们组正面有8次，反面有32次。
师：(在PPT上输入数据)第二大组——
生：我们组正面有16次，反面有15次。
师：孩子们看看，他们组正面有16次，反面有15次，你们觉得这个数据有没有问题? 生：有问题，总数不对。
师：合计起来总数应该是多少? 生：40次，他们只有31次。
师：对了，你们组赶快重新汇总。 (其他小组汇报) 师：第二大组你们的答案出来了吗? 生：正面有16次，反面有14次。 (马上有学生笑了起来。) 师：我们一起来看看，合计怎么会是30次呢?(从学生手中拿起记录单，查看之后露出恍然大悟的样子。)你们开始就数错了。我们看看这位同学的记录单，抛完10次以后，数出正面有6次，反面有1次。这是谁统计的? (小姑娘不好意思地微笑着点头。) 师：(轻拍学生后背)哈哈哈，没关系。其他同学的记录单呢，核对一下。 (老师俯下身子，查看这一组每位同学的记录单。) 师：再来合计一下。我们一起算算。先说正面的次数。(6次，2次，4次，4次) 师：(老师带着全班同学逐一口算)一共是16次。继而，我们可以算出反面的数据应该是40—16=24。是不是呢?再算一下。看看每位同学反面的数据。(4次，8次，6次，8次) (老师带着全班同学逐一口算出26次，全班同学哄堂大笑。孩子们纷纷说应该是24次，还有的说，正面应该是14次。) 师：(尴尬地笑着)怎么会是26次呢?咱们冷静下来，重新算算。 (老师挠着头认真地看着全班的那个汇报单。) 师：怎么会是26次呢?咱们还是从头再来吧!先说反面。 师：26次，没错。正面呢?(4次，2次，4次，2次) 师：一共12次。(学生却抢先说：14次) (全班同学哄堂大笑。老师笑着俯下身看最后一位同学的数据。) 师：没事，没事，非常有意思，非常有意思。我们再看正面。(4次，2次，4次，2次) 师：怎么又是12次了? (老师这次真的是彻底晕了。摸着后脑勺退回到讲台上。) 师：怎么会是正面12次，反面26次，也不对呀? (有学生喊道：正面应该是14次。老师再次走下讲台来到这组同学身边，认真查看每位同学的记录单。) 师：咦?好玩，错在哪里了?今天我们四年级同学怎么连一年级的都不会算了?我们重新来，我觉得这个事我们一定要认真对待。
(老师来到黑板边上，准备板书。) 师：请这组同学报出你的数据。 生1：正面6次，反面4次。 生2：正面2次，反面8次。 生3：正面4次，反面6次。 生3：正面2次，反面8次。
师：横着看一下，每一个人的试验次数都是10次，没问题。(利用板书再竖着和学生一起算)正面：6+4=10，2+2=4，10+4=14。反面：4+6=10，8+8=16，10+16=26。(老师笑着走回到学生中间)刚才这个片段很有意思。我们怎么算出12呢?我们都不知道哪儿错了，还是老师和大家一起算的。
师：(在PPT上改正第二大组的数据。)哈哈哈，真有趣!刚才这个片段是不是告诉我们，要根据数据进行推断，所以对数据千万不能马虎，要几个方面都能合上。如果刚开始我们用40减掉正面的次数，得到反面的次数，那就发现不了这样的问题了。这个片段真好!感谢第二大组的同学带给我们的经验! (教室里响起热烈的掌声。) 用6分钟的时间，翻来覆去算了5遍，算对了2个数据。值得吗?怎么才能节省时间呢?节省时间又是为了什么呢?统计概率教学的重点是什么? 小学统计与概率教学的核心目标是发展学生的统计观念。什么是统计观念呢?教育部基础教育司组织编写的《数学课程标准解读》中指出，主要体现在以下三个方面：认识到统计的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集、描述、分析数据的过程，做出决策；能对数据的来源、收集和描述的方法、分析的结论进行合理的质疑。我们以往的统计与概率教学，对前两个方面比较重视，对“能对数据的来源、收集和描述的方法、分析的结论进行合理的质疑”没有意识，也没有设计过专门的教学环节。学生当堂生成的差错反而补上了这一课。有意思的是，好像是为了加深这一印象，就不让老师和学生一下子得出正确的结果。如此想来，四年级学生算不出一年级的题，是多么的珍贵! 面对着如此的美景，我心醉神迷。
“落花有意，流水无情。”课上6分钟的时间啊，多么宝贵。我又追问自己：是不是可以让第二大组学生自己算就行了，布置另外的任务给其他五个大组呢?我回答自己：怎么有那么多的任务呢?埋头赶路是任务，抬头欣赏风景算不算任务?除了算算算，是不是还可以仰望星空?我们的心态是不是平和、怡然一些，课上“舍得浪费时间”(卢梭语)更美妙? “你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你。明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦。”卞之琳的《断章》告诉我，第二大组学生是一道可遇不可求的风景，其他五大组同学是在欣赏这道风景，他们又共同构成一道美景，装饰着我们的课堂，装饰着新课程的梦。因为，教育教学的要义不是告诉，而是体验。
“落花若有意，流水亦含情。”课堂教学互动的本质决定了课堂上一定会频繁生成若干即时资源。捕捉住那些“旁逸斜出”的差错资源，放大“不可预约”的精彩，突显数学学习的本质，拓展价值创造的空间，是我不懈追求的。 3．《角的分类》一课中，“融”教师的“错”。
课上，讨论这样一道题：3点钟时，钟面上的时针和分针的夹角是( )度，再过1小时，时针和分针成( )角。
在用手势比划出时针和分针，作了评讲之后，我发现这是一道可以渗透极限思想的非常好的题，因此就问学生：“如果不是问再过1小时，而是问再过1分钟，那么时针和分针成什么角呢?”学生始作茫然状，三四秒钟之后，有几个学生答：还是钝角。我正中下怀。“对!哪怕是再过1秒钟，时针和分针的夹角就会大于90度，所以是钝角!”学生纷纷点头，佩服老师的高明，我也有几分自鸣得意。
下课了，仲伟平和邵炜晖两位同学走到我跟前，“华老师，您课上讲错了。”我莫名其妙，想了想说：“怎么会呢?今天华老师的课上没错。”“我们算过了„„”语气中有些不容置疑。我觉得应凝神静听。“分针比时针走得快，所以再过1分钟，时针和分针的夹角是锐角，不是钝角。”
哎呀，确实是我错了。
我“狠狠地”把他俩夸奖了一番。
第二天的课上，我当众承认自己的错误，表扬了他俩善于独立思考和敢于坚持自己意见的科学精神，赠送给他俩我的名片，反面写着：“敬赠我的一题之师!”
“天下只有哑巴没有说过错话；天下只有白痴没想错过问题；天下没有数学家没算错过题的。”(华罗庚语)教师在课上一样可以出错，并且也一定会出错。如果我们向学生讲授了差错的价值，教育学生怎么面对差错，可是当自己错了，就惶恐不已；如果以“我是考你们的”或“别钻牛角尖”来搪塞或推诿，不敢肯定学生，不能正视差错，自然会受到学生的鄙弃。如果我们懂得了“弟子不必不如师，师不必贤于弟子”和“教学相长”的道理，教师就应该有勇气承认自己的差错与不足。当然，也不能因为有个“弟子不必不如师，师不必贤于弟子”，就放弃教师自身的业务进修。
理想的教学应该是对话式的，师生相互请教，双方互为先生和学生。作为教师，要不断丰厚自己的学识，提升自己的理性。因为只有丰厚的学识与彻底的理性才能赋予人一种大气。这种大气，对于教师是非常重要的。因为只有大气，才能真诚地鼓励学生放飞想象的翅膀，才能去拓展教师自己已经变得十分狭窄的心灵空间，才能让学生明白“吾爱吾师，吾更爱真理”!
