1.问题解决教学的研究现状
1.1国外对问题解决教学设计的研究
对“问题”以及“问题解决”的关注可以追溯到古希腊。古希腊著名的哲学家苏格拉底创下了利用对话法进行问题解决的先例。人们很早就懂得用分析法和综合法来进行几何问题的解决[2]，但对“问题解决”进行科学系统的研究是从心理行为主义流派开始的。他们的研究以二十世纪中期的“认知革命”为标志，将其划分为前后两大阶段[3]。“认知革命”前的问题解决研究基本上都是用实验方法进行的。如桑代克的迷笼试验以及由此产生的“刺激——反应学习理论”。“认知革命”后的研究开始深入讨论问题解决的心理机制。从20 世纪80年代开始，“问题解决”就成为国际数学教育的主流。其间，影响较大的是G..波利亚（Courage polya）。波利亚在八十年代首先倡导在数学教学领域采用“问题解决教学”，先后写出了《怎样解题》，《数学与猜想》，《数学的发现》等脍炙人口的名著。由此，“问题解决”走向了与学科教学相结合的道路。此外，在问题解决教学领域中贡献较大的还有著名美国教育家约翰〃杜威（John Dewey）的“问题解决五步教学法”、美国教育心理学家布鲁纳的“发现学习法”、前苏联教育家马赫穆托夫的“问题解决”教学法等等。 当今世界上的不少教育大国也在其学校教育的纲领新文件中旗臶鲜明的打起了问题解决的大旗，并积极提倡教学要培养学生的问题解决能力。1980年，美国数学教师协会在《行动的议程》中提出：“问题解决应该成为学校教育的核心”；日本文部省颁布的“学习指导要领”，在1989年和1998年的修订中都明确指出：从小学到中学都要重视培养学生的问题解决能力；英国在新一轮课程改革纲要中也指出：培养学生的六项技能之一就是问题解决能力；我国台湾地区的课程改革中也明确提出要培养学生的独立思考和解决问题的能力。显然，问题解决在事实上已经成为为了一个世界性潮流。
1.2 国内对问题解决教学设计的研究
问题解决在国内的研究起步较晚。直到20世纪80年代以来，认知心理学在国内大量传播时，才进行了一些关于问题解决的研究，其中研究工作比较深入的有清华大学的张建伟[4]，他对建构性学习，基于问题式学习和基于问题解决的知识建构等方面研究的比较系统。此外，还有北京师范大学的辛自强从事认知方面的研究，华东师范大学的梁平从事问题解决的教学设计方面的研究。他们都是从心理学角度来研究“问题解决”的。
在我国教育教学改革浪潮的推动下，特别是素质教育理念的引导下，我国教师安于现状的局面被打破。“问题”导学、创设“问题”情景成为许多教师改革旧教学的一个共同法宝。“问题解决”教学在我国某些地区实施的历程已经正在经历如下三个发展阶段：以“问题”导学为特征的“问题解决”教学的探索阶段；以“问题连续体”的运用为特征的“问题解决”教学的规范阶段；以自由创造为特征的“问题解决”教学的重构阶段。由于“问题解决”教学在各个地区或学校的发展很不平衡，因此确切的说，这三个阶段实际为“问题解决”教学
的三个存在状态或体现的三个水平[5]。
随着对“问题解决”的认识的提高和观念的转变，人们对这一课题的研究由议论转为探究，由现象转为实质探索，由“分散”出击转为课题研究。从1992年开始我国每年举办一次全国大学生数学建模竞赛，1993年北京市数学会开始举办“方正杯”中学生数学知识应用竞赛；1993年在《数学通报》上严士健、张奠宙、苏式东联名发表文章《数学高考能否出点应用题》；1996年在全日制普通高级中学数学教学大纲中进一步强调“逐步运用数学知识来分析问题和解决实际问题的能力”。同时为了适应21世纪数学改革的需要，推动数学课程及教学的改革与发展；1996年7月启动了“问题解决教学”的研究课题组，并且得到了原国家教委师范教育科研项目的赞助。对于“问题解决教学”的研究，人们正试图从不
同的方面进行相关的研究[6]。
2.“问题解决”教学设计的理论依据
2.1问题与问题解决 2.1.1何谓问题
问题是多种多样的，“问题”这个概念涵义很广，具有一定的特性。
2.1.1.1对问题含义的不同理解
一个人在生活中每时每刻都会遇到各种各样的问题。古今中外，不同的学者有不同的观点：格式塔心理学家唐克尔（Karli Dunker）认为“当一个有机体有个目标，但又不知道如何达到目标时，就产生了问题”。目前西方心理学界比较流行的问题的定义是由美国心理学家纽威尔和西蒙提出的，即，问题是这样一种情境，个体想做某件事，但不能马上知道做这件事所需采取的一系列行动。”张大均主编的《教育心理学》中认为“问题是一种情境。一般来说，它不能直接用已有的知识解决” [8]。综合以上这些定义，我们可以这样认为：“问题”就是个体确定目标，又不能直接达到目标时所处的情景。
2.1.1.2教学中的问题
从教学的角度说，问题应该是能够引起学生思考的，学生想弄清或力图说明的东西。一
个教学问题至少应具备三个条件：
第一，它必须是学生尚不完全明确的或未知的，要让他们在解决问题的过程中发现他们不能很快的或直接的解决，从而引起学生认知上的矛盾和疑惑。 第二，它必须是学生想搞清楚或力图认识的，要能够引起学生的探究欲望，并亲身卷入问题的研究之中，在解决问题时作出努力。
第三，选择的问题应在学生的“最近发展区”内，与学生的认知水平相当，要能够让学生通过自己的努力，经过探索可以解决问题。
2.1.1.3问题解决教学中的数学问题
数学问题种类繁多，但用于“数学问题解决”教学的问题大致有以下三种：
（1）、可以建构数学模型的非常规的实际问题。将生活、生产等社会活动中发现的实际问题抽取出来，通过构建数学模型，化实际问题为数学问题，然后应用数学思想或方法来解决问题，这是人们认识是世界的重要途径。培养适应知识经济社会需要的高素质、创造型人才。就要进行数学建模的训练。数学问题要能够给学生提供尝试建立数学模型的机会，让
[9]
[7]学生根据观察和实验的结果，尝试运用数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想，然后再进行证明。培养学生数学建模的能力，是学好数学、用好数学的保障，也是基础教育不可或缺
的任务之一。
（2）、探究性问题。通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的性质，发现数学规律和真理的问题教探究性问题。这里，对于对象之间的数量关系、图形性质及其变化规律，数学公式、法则、命题、定理等的探索和发现，虽然只是对前人工作的一种重复和再发现，但知识形成、发展过程的意义则被学习者重新建构。数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性和挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。数学命题的发现就是一个探索的过程。例如，在学习了线面平行的判定之后，教师可以让学生通过观察正方体去探索面面平行的条件，然后通过归纳得到面面平行的判定定理。通过探究，不仅可以培养学生的数学思维能力，科学探索精神，而且可以使学生在数学学习活动中获得成功的体验，从而建立自信心，这对于培养学
生形成完整的独立人格具有重要的作用。
（3）、开放性问题。在教学过程中，提供一些开放性（在问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度）的问题，使学生在探索过程中进一步理解所学的知识。开放性问题旨在培养学生思维的灵活性、发散性，因而也有利于培养学生的创新精神、创新意识。例如，在⊿ABC中，三边a、b、c成等差数列，由此可得到那些结果？这是一个结论开放的问题。由三边a、b、c成等差数列，联系三角形的有关定理、公式，如正弦定理、余弦定理、射影定理、面积公式以及其他三角、几何定理公式，可得到许多结果，诸如
sinA+sinC=2sinB等等。
2.1.2什么是问题解决
认识论对于“问题解决”的研究成果，心理学关于“问题解决”的论述，多元智能理论下“问题解决”的研究以及建构主义有关的“问题解决”的观点，都有助于我们对最基本的“问题解决”的理解，从而成为“问题解决”教学的借鉴理论和支撑依据。本文主要是研究建构主义理论下的“问题解决”教学，故在此主要介绍建构主义理论下的“问题解决”。对认识论、心理学和多元智能理论下“问题解决”只做简要的论述。
2.1.2.1认识论下的问题解决
按照辩证唯物主义认识论的观点，问题解决也是以马列主义认识论的反映论和矛盾论作[10]为哲学基础的。马列主义认识论认为：人认识事物的过程不仅是从感性认识，也能依概念、范畴、原理、规律来对客观现实做出理性反映，即创造性反应，而这种创造性反应的基础就是矛盾，矛盾又表现为“问题性”，即以问题的形式呈现在人的脑海中。就是说，客观对象的辩证矛盾经过人认识过程本身可以被感知为逻辑思维中的矛盾，即被感知为理论性问
题，解决逻辑矛盾就是解决问题的过程。
问题解决教学要解决怎样的问题呢？按辩证唯物主义认识论的观点，问题是从被认识的客体中产生的。问题法教学中解决的问题是在被认识的现象的性质当中隐藏着的。问题离不开“问题情境”。问题情境是以客观矛盾的存在为基础的，教师的工作是把客观现实的问题情境与引起学生的问题的可能性统一起来进行考虑和选择。
[11]
2.1.2.2心理学理论下的问题解决
问题解决是一种极为复杂的心理活动。在心理学界对问题解决的研究过程中，行为主义、格式塔学派、认知主义学派都曾经进行过实验并给出自己的理论解释。从早期的桑代克到纽维尔和西蒙，众多的心理学家都为问题解决理论的完善做出了自己的贡献。我们可以将他们归纳为基本的四类：联结说基于联结理论，重视过去的经验和错误；完形说重视问题解决过程中的顿悟；信息加工模式则重视问题解决的策略；现代认知说基于人类问题解决的实际过程，重视“问题图式”、“问题表”在解决问题中的作用。总之，他们关于问题解决理论方面的不同观点及其丰富的研究实践能给现在正在研究问题解决的人们以启迪。 大多数心理学家认为问题解决的一般心理过程分为以下五步：⑴发现问题；⑵了解问题的性质，这是表征问题的第一步，从了解问题的性质到决定如何寻求；⑶根据问题指明的条件，收集相关信息，寻求有关知识经验的储备；⑷解决问题的行动；⑸检验、评价。
2.1.2.3多元智能理论下的问题解决
多元智能理论简称MI理论
[12][2]
， 1893年由美国哈弗大学霍华德〃加德纳教授在《智能的结构》一书中提出。其理论的核心是：人的智力结构是多方面的，在每个人的智力结构中，包含有——语言智能、数理逻辑智能、空间感知智能、音乐智能、肢体运动智能、人际交往智能、内省智能和自然观察智能。加德纳认为智能就是解决问题的能力，每个人都不同程度的拥有彼此相对的八种智能，而且每种智能有其独立的认知发展过程和符号系统。对教学而言，问题解决教学的主体（学生）都是独立的，每个人的智能构型不同，智能的强项不同，认知风格和认知兴趣也各不相同，因此，他们理解、处理、利用信息和解决问题的方法、思路、策略也各有差异。所以，我们在教学过程中要允许学生根据自己的认知特点来认识事物，选择适合自己的强项智能来解决问题。相应的我们采取的教学方法和手段也就应当根据教学内容和教学对象而体现灵活性和多样性，根据不同的教学对象和教学内容采取不同的教与学的方式，即使相同的教学内容也可以通过不同的方式和手段来解决其中的问题。教师的职责就是提供多元的教学情境，使学生能够选择适合自己智能特点的有效方法解决问题，促进多元智能的开发和发展。问题解决教学把多种智能领域放在同等重要的位臵上，使人人可以用适合自己的方法去学习、解决问题，从而更好地运用并发展自己的各种智能。 总之，多元智能理论使“问题解决”教学获得有力的理论支持，多元智能理论也需要通
过“问题解决”教学实现其多元理念。
2.1.2.4建构主义理论下的问题解决
经过两千多年来的发展，建构主义到如今已经不是一个简单的或单纯的议题，而是一个相当复杂且具有多种含义的哲学层次的理论。从整体上看，建构主义大体可以区分为两大派别：激进的建构主义以及社会建构主义。建构主义强调知识的主观性、动态性和社会建构性，并认为知识是由学生主动建构的，而非教师灌输的结果，学生是知识意义上的主动建构者，在这个过程中，学生是学习的主体，教师则由教学活动唯一的主角转变为学习活动的辅助者、学生的合作者、教学的设计者。对于学习结果的评价，建构主义强调评价者和被评价者“协商”进行的共同心理建构的过程，学生也应是评价的参与者、评价的主体，并采取多样化的评价方式，但基本方式应是质性评价，评价应具有变通性、弹性化和多元化的特点。 依据这些观点，建构主义取向的“问题解决”提出了一些新的教学原则：⑴把所有的学习任务抛锚在较大的任务和问题中。也就是说，学习者清楚的感知和接受学习活动与较大复杂任务的关系。⑵支持学习者对问题和问题解决过程的自主权。学习者不仅应该确定所要学的问题，而且必须对问题解决过程拥有自主权。教师应该刺激学生的思维，激发他们自己去解决问题，而不是告诉他们问题的结果。⑶设计任务和学习环境。活动是建构主义学习环境的重要特征，我们要根据课程计划和教学环境尽量设计真实的教学情境，同时，还要设计能激发学习者思维的学习环境。⑷提供机会并支持学习者对所学内容和学习过程提供反思，同时以质性评价为主，为学习者提供多样化的评价方式。
在建构主义理论指导下的“问题解决”教学主要有以下几种教学方式：
支架式教学：这种教学方式主要是在学生现有知识水平和学习目标之间建立一种帮助学生理解的支架，在这种支架的支持下帮助学生一步步把学习从一个水平提升到另一种水平，真正做到使教学走在发展的前面。支架式教学主要由以下几个环节组成：搭脚手架，即围绕学习主体建立概念框架；进入问题情景，让学生独立思考；进行小组协作学习；对学习效果
进行评价。
抛锚式教学：又称实例教学或基于问题的教学，它是一种以真实实例为基础，让学生在真实环境中去感受、体验教学方式。其主要目的是“使学生在一个完整、真实的问题背景中，产生学习的需要，并通过镶嵌式教学以及学习共同体中成员间的互动、交流，凭借自己的主动学习、生成学习，亲身体验从提出问题到解决问题的全过程”。抛锚式教学由以下几个环节组成：创设情景；确定一个与当前学习内容密切相关的问题作为学习内容，选出的问题就是“锚”，这一环节的作用就是“抛锚”；自主学习；协作学习；效果评价。 认知灵活理论和随机通达教学：认知灵活理论是建构主义的一个分支，它主张不仅要提供建构理解所需要的知识基础，还提倡要给学生广阔的建构空间。它把问题分为结构良好领域与结构不良领域问题，前者的解决过程和答案都是稳定的，而后者则没有规则和稳定性，需要根据具体的问题情境，通过多种知识和技能的综合运用而加以解决。根据这个观点，斯皮罗等人按照学习达到的深度不同，把学习分为初级学习和高级学习。初级学习只要求学生知道主要的概念并在考试中加以应用即可。而高级学习则是要学生把握概念间的复杂关系，并能灵活的运用到具体情况中。随机通达教学就是适合高级学习的教学。这一教学方式认为对同一内容的学习要在不同的时间进行，每次的情景都是经过改组的，且目的不同，分别着眼于问题的不同侧面，有利于学习者针对具体情景建构有利于指引问题解决的图式。它主要包括以下几个环节：呈现基本情况——随机进入教学——思维发展训练——小组协作学习—
—学习效果评价。
总之，建构主义不仅主张以“问题解决”作为学习载体，而且强调在教学中让学生亲自实践来解决问题，通过开放性问题来促进学生进行自由讨论，学生通过亲身实践来解决问题，与教师共同反思和评价活动效果，共同享受问题解决成功带来的喜悦。而问题解决教学也最能体现建构主义所强调的主动性、情景性、合作性、建构性四大特征。也正因为如此，建构主义教学改革的思路是：基于问题解决来建构知识，通过问题解决来学习。
2.2“问题解决”教学设计的理论基础
[9]在西方，教学设计理论自二次世界大战后开始受到重视
[13]
。“第一代教学设计理论”主要是以加涅为代表，自20世纪80年代开始成熟。1985年加涅《学生的条件和教学论》一书的论述中把问题解决作为智慧技能的最高层次，并提出了相应的教学设计理论与技术，同时研究者把研究热点集中在问题解决的思维策略训练和学科问题解决能力的培养上，关注不同类型的知识对问题解决的影响。发现策略性知识对问题解决起着关键作用，并由此提出了一系列提高问题解决效率的策略。到了20世纪90年代，随着计算机、网络技术在教学领域的应用和发展，“第二代教学理论”迅速崛起。在这样的背景下教学设计专家更加关注问题教学设计的研究。由于问题可分为结构良好问题和结构不良问题，故问题解决教学设计模型也可分为两类。这两类教学设计模型的理论基础及复杂程度有所不同，但他们是同一连续统一体上的两点，并不互相矛盾，而是互相补充，分别适用于不同的教学内容。Jonaen(1997)的模型包括：以信息加工理论为理论基础的结构良好问题的教学设计模型和以建构主义理论为基础的结构不良问题的教学设计模型。Mayer(1994)认为，常规问题与解题者已解决的问题完全一样或非常相似，即学生在学校中经常解决的常规问题及教科书中的练习题；而非常规问题就是创造性问题。依据现代化教学设计理论，问题解决的教学设计分为以下四个环节：⑴明确并陈述教学目标，提出要解决的问题：在教学过程中能提出有启发性的问题，激发学生的求知欲和好奇心，使他们积极地寻找解决问题的方法是很重要的。一般来说，我们可以从以下几个方面入手：从数学与社会生活的联系中提出问题。在实际的社会生活中，处处充满着问题，教师要认真观察，从平常的事物现象中寻找可以利用的情景，引导学生发现问题；在课堂教学设计过程中设计问题。课堂教学的时间是有效的，要认真培养学生的能力，就要引导学生主动探索，使学生的课堂学习成为“带着教材走进教室”到“带着问题走出教室”的过程。⑵分析学习任务，了解问题的性质，分析自己已有的经验，寻找尚缺少的条件：学生在数学学习中产生的问题很多，针对不同的数学问题要设计不同的情景给与解答。归纳起来，学生的问题一般有三个层次：是什么，为什么，怎么做。“是什么”是一般性的问题，通过查阅资料或实验验证就可以解决；“为什么”的问题往往包含数学知识的应用与探究；“怎么做”的问题通常包含上述两个环节，再加上新信息或信息重组来解决。⑶选择教学方法和教学媒体，收集相关信息。根据问题结构是否良好，选择相对应的问题解决方式；对于结构良好的一般性问题，采用查阅资料或应用所学知识等通常方法即可。对于结构不良的开放性问题，就要选择探究式的解决方式。教师要引导学生根据问题来查阅资料、研究资料，彼此交流讨论，得到解决问题的方案并进行验证。⑷运用多种评价方式，在教师的指导下评价学习结果。对于问题解决教学的评价要采用质性评价方式，学生能有始有终的完成学习过程更好。但是如果不能完成也不意味着学习的失败。评价主要是看学生在问题解决的过程中学到了什么知识，发展了什么能力，而不是最终结果。
5.数学问题解决的教学设计
5.1数学问题解决教学设计的原则我们依据问题解决理论和教学设计理论的相关研究成果，并结合中学数学教学的实践，提出了以下几条数学问题解决的教学设计的原则：知识问题化原则、学生主题性原则、注重过程性原则、合作学习原则、递进性原则、系统性原则。实际的教学是极为复杂的过程，我们这里提出的这些原则不可能包括所有的方面，只是为问
题解决教学设计提供一些借鉴和指导。
5．1.1知识问题化原则
问题解决教学是让学生在进行问题解决的过程中获得知识，发展能力培养创造性和提高素养。在问题解决过程中，学习是围绕问题展开的，把要学习的知识以问题的形式提出来开始教学，又以问题的解决、知识的掌握和各种能力的发展作为目标，学习过程成为一个不断发现问题、分析问题和解决问题的过程。因此对问题解决的教学来说，问题是整个学习进行的主线，问题贯穿整个学习活动的始终。那么，如何根据所要学习的知识，设计和选择恰当
的学习问题就变得至关重要。 要恰当的设计问题要注意以下几个方面：首先要遵循问题的真实性原则。来源于生活、生产和社会中的诸多现实问题能强烈地吸引学生的注意力和兴趣，让其在解决问题的过程中深深感受到知识的应用性，感受到解决“真实问题的成就感”让学生喜欢学习，乐于学习；其次，要明确问题的类型。有研究表明，并不是所有的问题都能启发学生促进学生思考。
要遵循可行性原则，即不能是为了追求问题解决的形式而寻找问题。在问题解决的教学中我们所设计和选择的问题必须能引出与所学领域相关的概念、原理，要蕴含丰富的知识点和科学理念，而且问题能随着问题解决的进行自然给学生提供反馈，让学生能很好的对知识、推理和学习策略的有效性进行评价，并能提高学生的预测能力和判断能力；最后，问题的难度要适中，教师要了解每个学生的知识起点，以学生现有的认知结构和思维水平为基点来设计问题，使问题符合学生的“最近发展区”，也就是说在学生新旧知识的结合点上产生的问题最能激发学生的认知冲突，最能激发学生的学习兴趣。
5.1.2学生主体性原则
在新课程理念下的问题解决教学的过程中，教师是学习活动的设计者和指导者，学生才是学习活动的主体，即学生要在教师的引导和支持下，学生自己负责控制和管理过程，逐步
成为问题的发现者和解决者。
在这样的学习过程中，学生的主体性主要体现在整个学习过程都围绕着五个主要的目标进行：①建构灵活的知识基础；②发展高级思维能力；③成为自主的学习者；④成为有效的合作者；⑤进行反思概括[15]。总之，在问题解决的教学过程中，学生必须自己担负起学习的责任，主动去学习，凭借已有的知识基础和个体经验来解决学习中的问题，并在解决问题的过程中学习新知识，发展发现问题、分析问题和解决问题的能力和创新精神。教师在此过程中的责任是提供学习资料，引导学生逐步走过问题解决的每个环节，鼓励学生自己讲出自己的思维过程并对自己和他人的信息进行批判性评价，监控整个学习过程顺利进行。这样的学习过程才体现了学生的主体性原则，是以学生为主体的教学。
5.1.3注重过程性原则
在问题解决教学中，解决问题的程序、方法和问题的结论是同样重要的。要注重学生对问题的认识和对方法的理解。学生在问题解决的教学过程中不仅要掌握传统的“双基”（基本知识和基本能力），还要在解决问题的过程中掌握分析问题和解决问题的方法，提高解决实际问题的能力和创新精神。而学生就是在提出问题、表征问题、分析问题、形成假设、检验假设、解决问题的过程中发展各种能力和创新精神的。实际上，学生没能完满解决的开放性问题比解决一个简单的封闭性问题更能发展学生的能力和创新精神。这就要求我们在评价问题解决教学时要注重过程性评价，而且要以动态持续的、透明的、整合的、真实性评价方
式来实施。 5.1.4合作学习原则 问题解决教学一个很重要的特征就是学生在教师的设计和指导下进行生生合作和师生合作学习，共同探究解决问题的方式。在生生合作学习中，教师要根据班级学生的不同特征合理搭配，科学的分成几个小组，并为小组合作创设一个民主、和谐、宽松的学习氛围，让学习者积极主动的就所提出的问题与学习伙伴交流，共同探讨问题、解决问题。学习者在探索和交流的过程中，不仅可以共享专业知识和思维过程，共同实现对问题的理解以至最终解决，还可以通过语言的表达，思想的沟通，智慧的整合等实现交流能力和学习能力的提高，
最终成为有效的合作者和问题解决者。
5.1.5递进性原则
递进性原则即数学问题解决发展的循环递进性原则。按照认识论的观点，人类认识事物的过程是由易到难，由简单到复杂，循序渐进的过程，学生的学习知识过程也是如此。在教学过程中，对于一些难度较大和范围太大的问题，教师可以从问题类型和答案开放度等方面把这些问题设计成一组有层次、有梯度的问题，以降低问题的难度，使我们设计的问题适合学生的实际情况，而且教师在设计实际问题时，要注意各问题之间的衔接和过渡，从封闭型问题到开放型问题，每个层次的问题都要有所涉及。
5.1.6系统性原则
系统性原则即强调学生“双基”的掌握、能力的发展和情感态度价值观的培养在问题解决教学中的统一。在新课程理念下的问题解决教学中，这三个目标不是对立的，而是统一的，相互联系的。学生在学习过程必须做到三者之间的统一发展。但是由于问题解决教学是以问题为纲的，所涉及的知识不可避免的会偏重问题的设计和解决，知识的系统性可能不够强，教师在教学的过程中一定要加以弥补，尽量以系统的知识为基础来设计问题，进行问题解决
教学。
5.2数学问题解决的教学设计案例
问题解决教学作为一种以培养学生分析和解决问题能力为目的的教学方式，以建构理论为支撑，在理论应用和实践探索方面都有丰富的研究成果。按照新课程培养学生的收集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力、交流和合作的能力以及创新能力的要求，依据课程类型、不同层次教学设计的目标和教学过程所涉及到的问题的真实性水平，我们可以从以下四个方面来对问题解决式教学进行科学的设计。[9]
5.2.1基于真实问题情境的教学 5.2.1.1基于真实问题情境教学设计的方式
这些问题是要现实生活中的人或组织解决的实际问题。通过解决这类问题，学生可以获得完善的分析问题和解决完问题的能力。重视创设一种接近生活原型的教学背景，让学生产生问题，领受真实的任务，形成迫切的需要，并开展一系列的探究活动，在解决问题的过程中高水平的掌握知识，获得知识和个性的发展。这就是基于真实问题情境的教学设计的主要
特征。 在实际的数学课堂教学中，教师要善于确定一些数学学科领域中的日常问题，这些接近生活的复杂任务整合了许多知识和技能，有助于学生在真实的问题情境中应用所学知识，有助于学生明确所学知识的相关性和意义性，有助于提高学生分析和解决问题的能力。一般来说，基于真实问题情境的教学有以下的步骤设计：
第一步：提供一个与当前学习主体密切相关的真实事件或问题，作为学生学习的中心内
容。 第二步：教师提供解决问题的有关方法（例如，在哪里搜集资料，筛选有用资料的原则，科学家探究问题的过程等等），而不是直接告诉学生应当如何解决问题。 第三步：引导学生进行自主学习，利用自己查找的资料分析和解决问题，同时在解决问
题的过程中学会自我评价。
第四步：协作学习。通过同学间的交流、讨论，使得学生对于问题及其解决方式的不同看法得以交流，从而完善、修正、加深自己对问题的理解。 第五步：反思讨论。问题解决后要引导学生学会对自己和同学的解决问题的过程加以比较，分析各自的不足，预测这次所学的知识和方法在以后什么样的情况下会遇到。同时，通过学生的自我评价和同学间的相互评价，引导学生方式自己学习过程的有效性。
数学问题解决教学高效益途径的探讨
数学问题解决教学是中学数学教学的一个重要组成部分，它对于深化学生的认知过程，发展认知结构，培养学生分析问题解决问题的能力都有十分重要的作用。当前中学数学问题解决教学中普遍存在这样一个现象，教师去找大量的习题让学生练，企图以此来加深印象从而掌握数学知识。教师疲于找题，无精力找规律，学生疲于解题，无精力求消化，高耗低能的题海战术导致师生负担加重，教学效益不佳。那么怎样才能提高数学问题的教学效益呢？本人认为必须先研究学生在解决数学问题时存在的思维障碍，教师在问题解决教学中的认识误区，然后对症下药。下面对此作初步探讨。 一 学生解决数学问题时思维障碍的主要表现 学生是学习过程的主体，学的规律决定了教的规律，所以在进行教学研究时，必须先研究学生在解决数学问题时存在的思维障碍。在学习数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很\"明白\"，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；有时，在课堂上待我们把某一问题分析完时，常常看到学生拍脑袋：\"唉，我怎么会想不到这样做呢？\"事实上，有不少问题的解答，同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，这时候，学生的数学思维存在着障碍。由于高中学生数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，不同的学生会出现不同的思维障碍，但这些思维障碍具有相似
性和重复性，可以概括为：
1、数学思维的肤浅性
由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的理解，仅仅停留在表面的概括上，无法把握事物的本质。因此学生在分析和解决数学问题时，往往只善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体的，抽象的数学问题，往往不能抓住本质，不会变换思维方式，缺乏解决问题的途径和方法。
1、重“量”轻“质”的误区
认为学生分析、解决问题的能力与所练的题量是一种线性关系，所练的题量越大，能力就越强。因而在课内、课外带领学生演算各种类型的习题，不重视对习题典型性、启发性、针对性的分析。这种机械重复的、目的性不强的大剂量训练，常常只能在学生认知结构中增加经验的分量，而很难使学生的认知结构得到发展，所以对于提高能力是收效甚微的。另外由于大量做题而造成的学生负担过重。影响他们对知识形成过程的了解，这就使得本末倒臵。可见，想通过多做题的方法去提高能力是一种低效的、得不偿失的方法。
2、重“难”轻“基”的误区
认为提高学生的能力，必须通过学习很深的内容，做很难的题才能奏效，所练的题越复杂，难题练得越多，能力就会提高得越多。而在新课教学中就给学生布臵一些很难、很复杂的习题，在各个复习阶段更是大量收集偏题、难题给学生做，不重视基础题的训练价值，不重视基本方法的指导和基本观点的形成。将过量的难题过早交给学生做，复杂的条件反而容易掩盖对方法的掌握和能力的培养。陷入“欲速则不达”的境地，造成学习中“难而不化”，形高(难度大)而实低(能力低)的状况。特别是大量高难度训练，对学生学习兴趣和学习动的削弱作用，更将给物理教学造成深远的消极影响，所以这也是一种低效的、得不偿失的方法。
3、重“结果”轻“过程”的误区 认为让学生知道正确的结果，就可以避免再出现类似的错误，让学生知道一套套分析问题的方法、类型，就可以免去他们认识上的弯路，提供一条学习上的捷径。因而对于学生的作业，常只简单的标以“钩”或“叉”，评讲时往往只给出正确答案；对于学生的独立思考，常常由教师总结出的一套套程序、方法、类型代替，只让学生通过做题练习“模仿”、“记忆”。这些只看“结果”，不看“过程”的方式，使学生虽然记住了正确答案，但错误的根源还存
在，只要题目形式稍加变换，错误又会出现；使学生被动接收教师的经验，只会在繁杂的题目中按“套套”思维，形成“题目即使难，只要学过就能模仿做；即使简单，但只要没
有见过，就不会分析”的怪现象。 数学问题解决教学中的这三个误区互为关联：由于缺乏对认知过程的准确分析，忽视对题目训练价值的分析，轻视对学生独立思考的培养，因而讲不到“点”、练不对“路”、思不到“位”；形成题练得越多、越难，学生的实际能力却越弱，教学效益却越差这一怪圈。
三 提高问题解决教学效益的途径
低效高耗的“题海战术”，苦了学生，也苦了教师。怎样才能在问题解决教学中减轻师生负担，提高教学效益呢？以下从三个方面作一探讨。
1、全面培养学生的思维能力
教学的效率 ，根本上是由学生的效率决定的。从前面的研究我们已经知道，问题解决活动，常需要抽象思维、形象思维和直觉思维这几种思维形式同时参与，然而我们的教学却偏重于抽象思维能力的培养和训练，导致问题教学枯燥、乏味、抽象、难懂，学生思维发展不均匀，极大地影响了学生问题解决的效率。因此，要提高解决问题的效率，必须全面培养思维能力。
（1）形象思维能力的培养形象思维是依靠形象材料的意识领会得到理解，以表象、直感和想象为其基本形式，以观察与实验、联想与类比，以及猜想等形象方法为其基本方法的思维方式。形象思维是数学思维的先导。在获取数学知识与解决数学问题的过程中，形象思维是形成表征的重要思维方式。它还渗透于思维过程，如果没有形象思维的参与，逻辑思维就不可能很好地展开和深入，也不能使思维较好地求异和发散。因此，在数学教学中，培养学生的形象思维能力是思维训练的基本任务之一。激发兴趣，提供思维动力心理学告诉我们，兴趣制约思维，在教学中若给学生感兴趣或符合学生需要的材料，学生思维就易被激活；相反，若给学生不感兴趣的东西，学生只能死记硬背，那就难以形成思维。因此，教师在教学时就要根据学生的心理特点，创设问题情境，利用多种方法和手段，让学生心情愉快、趣味盎然的环境中学习，不断调整其心态，激发并不断强化其兴趣，以提供思维动力。如：“225是几位数？用对数计算。”该问题提出后，学生不怎么感兴趣。若创设问题情境：“某人听到一则谣言后一小时内传给两个人，这两人在一个小时内每人又分别传给另外两人，如此下去，一昼夜能传遍一千万人口的大城市吗？”这样一发问，学生有了解决此问题的兴趣和积极性，思维被积极调动起来，效果剧增。起先，谁都认为这是办不到的事。经过认真计算，发现确能传遍。结论出人意料，但又在情理之中，这样发问最能引起学生跃跃欲试。建构观念，发展表象思维表象是在知觉的基础上所形成的感性形象，即人在思想中形成的保持事物的印象.例如，在金字塔、帐篷的形象基础上概括出来的一般的锥体的感觉形象就是表象，更具体地说构成锥形的那些面、线在人脑中的表征，就是一种数学表象。数学表象思维的载体是客观实物的原型或模型以及各种几何图式、代数图式，包括数学符号、图象、图表与公式等形象性的外部材料。数学学习中的表象思维是普遍存在的，不仅存在于几何学习中，而且也存在于代数、三角等内容学习中。如正方体、抛物线等语词概念能唤起主体头脑中一般的正方体、抛物线形象的浮现。说到复数，人的图式表象是□＋□i（□表示数字），函数的图式表象是f(□)。学生的表象思维的形成有一个逐步产生、发展的自我建构空间观念的过程。通过对表象进行加工、调整、积累、补充、修改、提炼，最后真正建构起完整准确的表象。例如，“珠算式脑算法”就是数学表象思维方法运用的范例。这是一种利用珠算形象在脑中浮现进行脑算的方法。它是在熟练珠算的基础上，先眼看算盘，但手指不拨珠而计算，再去掉算盘而辅以手指空拨动作进行计算，从而逐渐地把算珠形象移入脑中，形成算盘式脑算。这种算法的运算速度非常快，对于十几个、几十个二三位数的加减，三位数的乘、除，无论看算或听算，只要报数者报数一结束，答数便能脱口而出，与电子计算机相比不相上下，显示了强化表象在提高计算技能方面的重要作用。因此，教学中，教师可以以表象相近的正确部分为起点，引导学生对基本的图形形成正确的表象，抓住图形的形成特征与几何结构、辨别不同的各种表象，同时也重视各种表达式和数学语句等蕴含的结构表象，推动学生深入建构和理解，建立起学生自己的一定的空间观念。
加强变式，提高直感思维
直感是运用表象对具体形象的直接判断和感知，是直觉形成的基础之一。在教学中应加强变图、变式，丰富外延表象和主体头脑中的表象模式。这样在面对数学问题时，利用图形、图式的表象，就不会屡屡受挫。例如，立体几何中的“割”与“补”；垂直、平行等；代数中的0与1的变形，配方、拆项、构造等都离不开头脑中已有表象逐步建构。再如，在学习线面垂直关系时，依以下变式图形，可较好地建构起完善的直感思维。本文从中学生数学问题解决效率归因研究的现状出发,对数学问题解决效率的归因进行了初步研究。研究发现,目前对于中学生数学问题解决效率的研究是数学问题解决研究的一个薄弱环节,特别是对数学问题解决效率的归因研究更是一个空白点。本文对数学问题解决效率归因的概念进行了界定,并且在已有的理论性研究、实证性研究的基础上初步分析了中学生数学问题解决效率的归因现状、影响中学生数学问题解决效率归因的因素以及如何引导中学生在数学问题解决中进行科学归因来提高其数学问题解决的效率。具体来说,全文重点阐述了以下几个方面:1.数学问题解决效率研究的现状。目前的数学问题解决研究,更多地是针对数学问题解决的概念、教学、思维策略等方面,较忽视数学问题解决的过程、数学问题解决的成败结果和效率高低对学生非认知因素的影响以及动机、情感等非认知因素对数学问题解决效率的影响。对于数学问题解决效率高、低的原因分析大多偏重问题的具体的知识性和方法性错误分析和矫正,较少关注数学问题解决效率的归因研究。2.归因理论。归因理论是关于人们如何解释自己或他人的行为以及这种解释如何影响他们的动机、情绪和行为的心理学理论。该理论为揭示动机作用的内在规律提出了相对可操作的研究手段。通过一系列恰当的、有目的、有计划、有针对性的归因训练,可使学生对影响其数学问题解决效率的因素有正确的认识,使之能够正视数学问题解决学习中遇到的困难,并激发起战胜困难,不断超越自己的潜在能量。对于提高学生数学问题解决的效率具有重要的现实意义。3.归因对数学问题解决效率的影响。归因对数学问题解决效率的影响表现在两个方面:在数学问题解决过程中对问题解决者行为的影响;在数学问题解决的结果出现后对问题解决者行为的影响。通过案例发现,归因对数学问题解决者的影响是不容忽视的,不同的归因风格在很大程度上能导致出现不同的结果。从而对数学问题解决的效率产生很大的影响。4.学生的归因风格调查。通过调查了解中学生数学问题解决效率的归因状况,探索能有效改善中学生归因状况的归因训练模式,以帮助学生提高数学问题解决学习的自信心,改善其自我效能感,激发其学习积极性,养成良好的学习习惯,从而提高数学问题解决的效率。通过对中学生数学问题解决效率归因现状的调查与分
问题解决一直是国际数学教育研究的一个热点。随着现代认知心理学对问题解决的研究与具体学科的结合日益紧密，运用认知心理学来研究数学领域的高级认知活动，已成为数学教育研究的发展趋势之一。对于频繁出现在近年数学高考中的一类新题型——高观点题，由于其在形式、内容上具有一定衔接高等数学与中学数学的特征，已受到国内研究者的普遍关注。本文结合已有的研究成果，在对高观点题进行分类的基础上，编拟符号高观点、知识内容高观点、理解水平高观点三类相关试题，分别在三所层次不同的学校的高三年段开展实验。一方面通过数据收集，从量化角度直观反映高中生解决这三类问题的困难程度，另一方面通过访谈，运用专家——新手的比较研究方法，从问题表征、问题解决两大环节来分析学生的困难原因。并根据研究所得结果，提出相应的教学意见。 本文共分为四部分：第一部分概述问题解决与认知心理学研究的背景，以及高观点下中学数学问题解决研究的现状。第二部分在对高观点题进行分类的基础上，介绍本研究的相关理论支持。第三部分开展实验研究，并对结果进行深入分析。第四部分对实验结果进行总结，并给出相应的教学意见。同时提出
本研究的不足及有待进一步研究的问题。
2006年秋季开始，福建省正式进入新一轮中学数学教育改革阶段，即实施高中新课程标准。新课程与以往的高中数学课程相比，在内容编排方面有了较大的变更，新增了大量与高等数学密切联系的知识内容。相对应，在数学高考命题方面，一类具有衔接高等数学与中学数学作用的新题型——高观点题，越来越受到命题者的青睐，频繁地出现在近些年的数学高考题中，因而得到了国内学者们尤其是一线教师的普遍关注。但研究成果多局限于题型归纳和如何解题方面，对学生心理方面的探讨似乎不多。本人试图借用认知心理学的工具来分析学生解决这类高观点题的思维过程，从而探索其困难成因。 本论文共分为四部分： 第一部分绪论，包括以下三个方面内容：
1、课题背景 高等数学与中学数学的衔接问题在高中数学新课改与高考命题两大领域上已逐渐凸显其重要性。中学生在解决一类涉及高等数学和中学数学衔接的问题上，认知状态如何，困难在哪，都成为教育工作者关心的问题。
2、研究综述 此部分对问题解决与认知心理学，以及高观点下的中学数学研究的起源、发展、现状进行了大致的概述。
3、问题的提出与本文的主要工作在研究综述的基础上，提出本文的主要工作——借用认知心理学的工具来分析学生解决一类涉及高观点的中学数学问题的思维过程，从而探索其困难成因。 第二部分是理论研究，包括以下四个方面的内容：
1、“高观点下中学数学”的内涵在提出初等数学、经典高等数学、现代数学以及中学数学的划分的基础上，给出“高观点下中学数学”的界定。笔者认为“高观点下的中学数学研究”应包括教和学两方面。教的方面主要指的是高等数学与中学数学知识形态之间联系的研究，学的方面主要指的是学生在学习这类涉及“高观点”的中学数学问题的认知发展及学习心理方面的研究。
2、高观点题的界定及分类所谓高观点题是指一些与高等数学相联系的数学问题，这种联系大致包括形式上、知识内容、数学思想方法及理解水平方面的。并就上述四个维度对近年来出现的一些高观点题目分为：符号高观点、知识内容高观点、解决方法高观点、理解水平高观点四类题型。
3、高观点题的问题特性分析从接受性、障碍性、探究性三个维度进行详细地阐述高观点题的问题特性。
4、相关理论支持高观点下中学数学问题解决的研究涉及教育学和心理学的相关理论。包括“初等化”、认知学习及皮亚杰．(J.Piaget)的儿童智力发展三个理论。初等化理论为如何根据中学数学课程的内容与实际情况编制这类问题提供了方向；认知学习理论是分析学生在解决这类问题时思维发生过程的主要依据；皮亚杰的儿童智力发展理论则是为选取的这类问题的难易程度符合中学生的认知水平提供参考依据。这三个理论为研究的可能性、可行性、合理性奠定了理论基础。三者相互联系、相互作用，辩证统一于研究的实践中，为研究提供了必要的指导思想。 第三部分是高观点下中学数学解题心理实验，包括以下三个方面：
1、研究目的 随着认知心理学的发展，其研究与数学教学的关系日益紧密，认知心理学家对数学中的解决问题的过程有着浓厚的兴趣，他们希望从心理学的角度来回答有关学习、思维、智力等问题。同时数学教育学家也越来越对认知心理学产生兴趣，希望借此工具探究隐藏在学生解题行为背后的思维是如何开展的。对此，国内外关于数学问题解决的研究已取得了累累硕果。近年频繁出现在高考中的一类新题型——高观点题，也已受到国内学者们尤其是一线教师的普遍关注。但研究成果多局限于题型归纳和如何解题方面，对学生心理方面的探讨似乎还未见到。本人试图借用认知心理学的工具来分析学生解决这类高观点题的思维过程，从而探索其困难成因。希望得到的研究成果能给数学教学实践一点启发。
2、实验设计说明： 认知心理学常采用专家一新手的比较研究来帮助我们确认构成某一特定领域专业的认知成分及操作状态。对于本实验，在解决这类高观点题的过程中，学生到底是如何进行思考的，仅从量化的结果上分析，我们尚不清楚。如果直接观察非成功生的解题，并不能精确指出他们的障碍所在，因此运用专家一新手的比较研究来比较成功生与非成功生认知过程的差异，有助于我们更准确的把握学生思维上的困难。在对高观点题进行分类的基础上，编拟符号高观点、知识内容高观点、理解水平高观点三类相关试题，分别在三所层次不同的学校——福州三中、福州十一中、福州金桥中学的高三年段开展实验。一方面通过数据收集，从量化角度直观反映高中生解决这三类问题的困难程度，另一方面通过访谈，运用专家——新手的比较研究方法，从问题表征、问题解决两大环节来分析学生的困难原因。
3、实验方法 本实验采用质化研究和量化研究相结合的方法。重点是质化研究。这是一种以收集和解释描述性资料为主的教育科研方法，是与量化研究相对的研究范式。是以研究者本人作为研究工具，通过观察、访谈和文件分析对研究现象进行深入的整体性探究，从原始资料中形成结论和理论，通过与研究对象互动，对其行为和意义建构获得解释性理解的一种研究活动。
4、实验量化研究结果福州三中、福州十一中、福州金桥三所学校的被试学生解决三组题型的困难程度逐级递增，从直观上反映题目具有一定的区分度。同时研究发现，三所学校的被试学生对符号题组的把握都存在较大的困难，其测试难度系数均低于0.5，而对于后两组题型，一类校学生解决的较好，
二、三类学校的学生难度系数均在0.5左右徘徊。从整体上考虑，三所学校的学生解决这三组题型，均存在一定程度的困难。
5、实验质化研究结果(1)关于符号高观点题组的研究发现： 成功生： ①在问题转化方面，对于仅具有描述性特征的符号形式，能正确地进行转化。而对于本身蕴含某些运算规律的较为复杂的符号形式，虽转化时间较长，但基本都能正确描述其含义。 ②大部分的成功生在内部整合上能明确已知与未知条件间的联系，在外部整合方面也能很好地与原有知识进行联系，使新信息顺利嵌入原有认知结构。由于以抽象符号形式为主的新信息与同化它的原有观念间的可辨别程度较低，使得部分成功生在外部整合时，没能成功激活相应的认知结构，但经提示，均表示理解。 非成功生： ①在问题转化方面，对于仅具有描述特征的符号形式的题目，非成功生能正确地对符号形式进行描述。而对于较为复杂的，如蕴含某些运算规则的符号题型，非成功生转化时间长，存在较大障碍。主要反映在难以区分本质信息与无关信息。②内部整合方面表现出在对符号形式的运算方面，理解上存在障碍，反映出对数学符号概念“对象性”特征上的把握存在困难。外部整合方面，难以建立与原有知识的联系，在建立新的认知结构与旧的认知结构之间的连线即模式的迁移上存在困难，反映其认知结构原有观念的不稳定性。 (3)关于理解水平高观点题组的研究发现成功生： ①在问题转化上表现出对函数方程所确定的函数性质有正确完整的认识。 ②在问题整合方面，明确概念具有的整体特征，并能借助构造特例来探究整体隐含的其它性质。 ③在解题计划上，目标明确，能借助特例进行猜想整体特征，并能采用适当有效的解题策略建立解题步骤。 非成功生： ①在问题转化上表现出对函数方程所确定的函数性质的理解停留在单纯的形式记忆上，存在机械学习的现状。 ②在问题整合方面，对函数方程所代表的一类函数的“整体性”特征认识不到位，缺乏通过特例研究整体的能力。 ③难以从现有提供的条件信息推演出隐含性质，反映出“组合学习”能力的薄弱。 ④原有认知结构中相关观念具有不清晰性⑤原有认知结构中缺乏相应的策略经验。 ⑥原有认知网络结构中缺乏稳定灵活的“产生式”。 第四部分对实验结果进行总结，给出相应的教学意见，并提出本实验的不足及有待进一步研究的问题。
