高等数学课 讲 教 案 主讲人
课 题 第七章习题课
目的任务
重点难点
教学方法
使用教具
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备课时间
查 阅 使学生进一步巩固和掌握本章的知识要点,掌握有关计算。
本章的知识要点的进一步巩固和掌握,有关计算的熟练掌握。讲练结合
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教学过程:
第一部分 知识归纳
一、空间直角坐标系及向量代数
1、空间直角坐标系的基本问题
1)坐标系的建立;2)卦限的划分;3)两点间的距离公式
2、向量:
1)定义及记法;2)模;
3)方向角与方向余弦;4)单位向量;
5)负向量;
6)零向量; 7)向量在轴上的投影;8)向量的坐标表示
3、向量的加减法及数乘运算: 1)向量的相等;
2)向量的加法—平行四边形法则和三角形法则
3)向量的减法:aba(b); 4)数乘运算;
5)加减法与数乘的坐标表示;
6) 线性关系:a与b共线;a,b,c共面.
4、向量的数量积(点积、内积)
1)定义;2)投影公式;3)坐标表示式;4)性质;5)运算律.
5、向量的向量积(叉积、外积)
1)定义; 2)坐标表示式;3)性质;4)运算律;5)几何意义.
6、向量的混合积
1)定义;2)坐标表示;3)性质;4)几何意义.
7、二重积.
二、曲面、平面与直线
1、曲面与方程;
2、空间曲线;
3、球面与柱面方程;
4、平面方程:
1)一般方程;2)点法式方程;3)截距式方程;4)三点式方程
5)*法式方程:xcosycoszcosp0.(,,为平面法向量的方向角,p为原点到平面的距离)
5、直线方程
A1xB1yC1zD101)一般方程(交面式)
AxByCzD022222)标准方程(对称方程,点向式)
xx0yy0zz0 lmnxx0l3)参数式方程 yy0m (是参数)
zzn04)两点式方程 xx1yy1zz1 x2x1y2y1z2z
16、两平面的夹角
cosA1A2B1B2C1C2ABCABC212121222222
7、点到平面的距离
dAx0By0Cz0DABC222
8、两平面1,2平行、垂直的充要条件是
ABC
1∥2n1∥n2111
A2B2C2 1⊥2n1⊥n2n1n2A1A2B1B2C1C20
9、两直线的夹角
s1s2l1l2m1m2n1n2 cos
222222s1s2l1m1n1l2m2n
210、两直线平行、垂直的充要条件
lmn
l1∥l2s1∥s2111
l2m2n2 l1⊥l2s1⊥s2l1l2m1m2n1n20
11、点到直线的距离
ix0x1l2M1M2s dsjy0y1mlmn2kz0z1n2
12、两直线共面的条件
l1,l2共面M1M2(s1s2)0x2x1l1l2y2y1m1m2z2z1n1n20
13、直线和平面间的夹角:
nsAlBmcn sin222222nsABClmnl∥s⊥nsnAlBmCn0
lmnl⊥s∥n
ABC
二、二次曲面的标准方程
x2y2z21)椭球面: 2221;
abcx2y2z22)单叶双曲面:2221;
abcx2y2z23)双叶双曲面:2221;
abcx2y24)椭圆抛物面:222z;
abx2y25)双曲抛物面:222z;
abx2y2z26)二次锥面:2220.
abc第二部分 例题分析
例1 在什么条件下,下列式子成立:
① abab ② abab ③ abab 解:(略)。
例2 已知向量a,b,以a,b为邻边作平行四边形,求平行四边形中和a所在边垂直的高线向量.解:(略)。
2222 例3 证明(ab)(ab)2(ab),并给出几何解释。 解:(略)。
例4 设aik,bi2jk,ci2jk,求
① ab,ba ② a(bc),(ab)c ③ a(bc),(ab)c 解:(略)。
例5 证明
① a(bc)b(ac)和c垂直;
② ap,aq,ar三向量共面.解:(略)。
例6 已知向量p和q及x轴均垂直,其中q3i6j8k,p2,求p.解:(略)。
例7 已知两定点F1,F2相距为2a,动点到两定点的距离的平方和为4a,求动点轨迹.、解:(略)。
例8平面过原点o,且垂直于平面1:x2y3z20及2:6xy5z230,求此平面方程。
解:(略)。
2x4yz10例9 将直线的一般方程l:化为对称方程和参数方程。
x3y50解:(略)。
例10平面过z轴,且与平面2xy5z0的夹角为解:(略)。
,求此平面方程。 34xz10例11 试证:直线l1:与l2x2y30解:(略)。
3xyz40相交。 :y2z80y3x5y4x7例12 直线过点A(3,5,9),且和两直线l1:及l2:相交,求此
z2x3z5x10直线方程。
解:(略)。
x3y5zx10y7z及l2:相交,且和231541x2y1z3l3:平行的直线。
871解:(略)。 例13 求与已知直线l1:A1xB1yC1zD10例14 要求直线l: (1)与x轴平行;(2)与y轴平行;
A2xB2yC2zD20(3)与z轴重合;(4)经过原点。
解:(略)。
例15 指出下列方程所示之曲面
(1)x2y2x2y222z0
(2) 99z21 解:(略)。
例16 画出x2yz2和x2z24y的图形。 解:(略)。
三、作业