(数学分析教案)第七章

第七章 实数的完备性

(9学时) §1 关于实数完备性的基本定理

教学目的要求： 掌握实数完备性的基本定理的内容，知道其证明方法.教学重点、难点：重点实数完备性的基本定理.

难点是定理的证明,特别是柯西收敛准则和充分性的证明..学时安排:

4学时 教学方法:

讲授法.教学过程如下:

一、区间套定理与柯西收敛准则

定义1 设闭区间列{[an,bn]}具有如下性质： （1）[an,bn][an1,bn1],n1,2,; （2）nlim(bnan)0

则称{[an,bn]}为闭区间套，或简称区间套.定理7.1(区间套定理) 若{[an,bn]}是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点使得[an,bn],n1,2,,即 证: 先证存在性

anbn,n1,2,.

{[an,bn]}是一个区间套, 所以

a1a2anbnb2b,1

可设 limannn

nn且由条件2有 limbnlim(bnanbn)liman

由单调有界定理的证明过程有anbn,n1,2,.再证唯一性

bnan,n1,2,.设也满足anbn,n1,2,.那么,由区间套的条件2得

lim(bnan)0n故有

推论

若[an,bn](n1,2,)是区间套{[an,bn]}所确定的点,则对任给的0,存在N0,使得当

nN时有

[an,bn]U(,)

柯西收敛准则 数列{an}收敛的充要条件是: 对任给的0,存在N0,使得对m,nN有 |aman|.

证

[必要性] 略.[充分性] 已知条件可改为：对任给的0,存在N0,使得对m,nN有|aman|.取mN，有对任给的0,存在N0,使得对nN有|aman|，即 在区间[aN,aN]内含有{an}中几乎所有的项（指的是{an}中除有限项的所有项）

令12则存在N1，在区间

[aN112,aN11]2内含有{an}中几乎所有的项，

记该区间为[1,1].再令项， 122则存在N2(N1)，在区间

[aN1122,aN1122]内含有{an}中几乎所有的记该区间为满足 [2,2][aN1122,aN1122][1,1]也含有{an}中几乎所有的项,且[1,1][2,2]及

2212n12

.依次继续令几乎所有的项,且满足 123,,,,得一区间列{[n,n]},其中每个区间中都含有{an}中

[n,n][n1,n1],n1,2,;

nn12n10(n),

即时{[n,n]}是区间套.由区间套定理,存在唯一的一个数[n,n],n1,2,.再证nliman.由定理7.1的推论对任给的0,存在N0,使得当nN时有

[n,n]U(,)

liman即在U(,)内含{an}中除有限项的所有项,由定义1n.

二、聚点定理与有限覆盖定理

定义2 设S为数轴上产的点集，为定点，若的任何邻域内都有含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点.例如:{(1)n1n有两聚点1,1.}1{}

n有一个聚点0.

(a,b)内的点都是它的聚点,所以开区间集(a,b)有无穷多个聚点.聚点的等价定义; 定义2对于点集S,若点的任何邻域内都含有S中异于的点,即U(;)S,则称为S的一个聚点.0limxn{x}Sn2定义若存在各项互异的数列,则其极限n称为S的一个聚点.三个定义等价性的证明: 证明思路为:2222.定义22的证明: 由定义2设为S的一个聚点,则对任给的0,存在xU(,)S.

0令11,则存在x1U(,)S;

0令2min(,|x1|)2110,则存在x2U(;2)S,且显然x2x1; 

令异; nmin(,|xn1|)20,则存在xnU(;n)S,且显然xn与x1,,xn1互

得S中各项互异的数列{xn},且由由闭区间套定理可证聚点定理.

|nxn|n1limxn,知nn.定理7.2 (Weierstra聚点定理) 实数轴上的任一有界无限点集S致少有一个聚点.证 S有界, 存在M0,使得S[M,M],记[a1,b1][M,M], 将[a1,b1]等分为两个子区间.因S为无限点集,故意两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点,记此子区间为[a2,b2],则[a1,b1][a2,b2]且b2a212(b1a1)M.再将[a2,b2]等分为两个子区间,则其中至少有一个含有S中无穷多个点,取出这样一个子区间记为[a3,b3],则[a2,b2][a3,b3],且依次继续得一区间列{[an,bn]},它满足:

[an,bn][an1,bn1],n1,2,; bnanM2n2b3a312(b2a2)M2

0(n),

即{[an,bn]}为闭区间套,且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点.由区间套定理, 存在唯一的一点使得[an,bn],n1,2,.由定理1的推论, 对任,).从而U(;)含有S给的0,存在N0,使得当nN时有[an,bn]U(中无穷多个点按定义2为S的一个聚点.推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列.证: 设{xn}为有界数列.若{xn}中有无限多个相等的项,显然成立.若数列{xn}中不含有无限多个相等的项,则{xn}在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,点集{xn}至少有一个聚点,记为.由定义2,存在{xn}的一个收敛子列(以为极限).由致密性定理证柯西收敛准则的充分性.柯西收敛准则 数列{an}收敛的充要条件是: 对任给的0,存在N0,使得对m,nN有 |aman|.证: [充分性] 先证{an}有界,由忆知条件取1,则存在正整数N, 则mN1及nN时有

|anaN1|1

由此得|an||anaN1aN1|1|aN1|.取Mmax{|a1|,|a2|,,|aN|,1|aN1|}则对一切的正整数n均有|an|M.再证{an}收敛,由致密性定理,数列{an}有收敛子列|aman|，|ankA|

|aA||anan||anA|2取mnk(kK)时得到 n

kk{ank},设klimankA

由条件及数列极限的定义, 对任给的0,存在K0,使得对m,n,kN有

所以klimankA

定义

3设S为数思轴上的点集,H为开区间集合(即H的每一个元素都是形如(,)的开区间).若S中的任何一个点都有含在H中至少一个开区间内,则称H为S的一个开覆盖,( H覆盖S).若H中开区间的个数是无限的(有限)的,则称H为S的一个无限开覆盖(人限开覆盖).如S(a,b),H{(xx,xx)|x(a,b)},H为S的一个无限开覆盖.定理7.3(海涅---博雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理) 设H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].证 用反证法

设定理的结论不成立,即不能用H中有限个开区间来覆盖[a,b].将[a,b]等分为两个子区间,其中至少有一个不区间不能用H中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为[a1,b1],则[a1,b1][a,b],且

b1a112(ba).

122再将[a1,b1]等分为两个子区间,同样,其中至少有一个不区间不能用H中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为[a2,b2],则[a2,b2][a1,b1],且依次继续得一区间列{[an,bn]},它满足:

[an,bn][an1,bn1],n1,2,; bnan12nb2a2(ba).

(ba)0(n),

即{[an,bn]}为闭区间套,且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖 由闭区间套定理, 存在唯一的一点使得[an,bn],n1,2,,由于H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖,故存在(,)H,使得(,).于是,由定理7.1的推论,当n充分大时有[an,bn](,).即用H中一个开区间就能覆盖[an,bn]矛盾.课后记: 这一节理论性强,学生学习困难较大,我认为应从以下几个方面和学生共同学习这一节.1 如何理解记忆定理内容.2 如何掌握定理的证明方法.3 怎样应用定理及定理的证明方法去解决问题.在应用闭区间套定理时,应先构造一个闭区间套,构造的方法一般是二等分法,在应用有限覆盖定理时,应先构造一个开覆盖构造的方法一般与函数的连续性定义结合.应用聚点定理时,应先构造一数列等.教材中P163[2,2]中包含{an}的几乎所有项,是因为它中包含{an}的第N2项以后的所有项,这里应强掉,容易被忽略.在下节的教学中就让学一注意到在什么时候用实数的完备性定理,这是一个难点,重点.

三、实数基本定理等价性的证明（未讲）

证明若干个命题等价的一般方法.

本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: Ⅰ: 确界原理 单调有界原理

区间套定理

Cauchy收敛准则

确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理

致密性定理

Cauchy收敛准则 ;

Ⅲ: 区间套定理

Heine–Borel 有限复盖定理

区间套定理 .

一.“Ⅰ” 的证明: (“确界原理

单调有界原理”已证明过 ).

1.用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理7.4 单调有界数列必收敛 .

2.用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理 7.5 设

是一闭区间套.则存在唯一的点,使对

有.

推论1 若是区间套

确定的公共点, 则对

, 当时, 总有.

推论2 若是区间套确定的公共点, 则有 ↗, ↘,

.3.用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:

定理 7.6 数列收敛 是Cauchy列.

引理 Cauchy列是有界列.( 证 )

定理 7.6 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 .现采用三等分的方法证明,该证法比较直观.

4． 用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ：

定理7.7 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设时 , 显然有上确

界 .下设为无限集, 取

, 使

不是

的上界,

为

的上界.对分区间 为

的上界.依此得闭区间列

收敛; 同理

为非空有上界数集 .当

为有限集, 取 .验证收敛.易见下证

不是的上界,

为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则,↘.设

↘

.有

↗

.

.用反证法验证的上界性和最小性.

二.“Ⅱ” 的证明:

1.用“区间套定理”证明“致密性定理”:

定理7.8 (Weierstra ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）

定理7.9 每一个有界无穷点集必有聚点.

2．用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ： 定理7.10 数列

收敛

是Cauchy列.

有收敛子列

验证收敛子列的极证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy列有界限即为的极限.

三.“Ⅲ” 的证明: 1.用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”: 2.用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:

§2 闭区间上连续函数性质的证明

教学目的要求：

掌握定理的证明方法.教学重点、难点：重点是定理的证明方法,难点是什么情况下用哪一个定理.学时安排:

2学时 教学方法:

讲授法.教学过程: 一.有界性: 命题1

,

在

上

.

证法 一 ( 用区间套定理 ).反证法.证法 二 ( 用列紧性 ).反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二.最值性: 命题2 ( 只证取得最大值 )

证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法二 ] 后半段.三.介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 ( 零点定理 )

证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用确界原理 ).不妨设 令有

.现证

, ( 为此证明.

由 ,

.因此只能有

.在点连续和.于是

,

.由

,

在点

连续和

且

).取

>

且

, 则

非空有界,

.

有上确界.设

,

在

上取得最大值和最小值.

证法 三 ( 用有限复盖定理 ).四.一致连续性: 命题4 ( Cantor定理 )

证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用列紧性 ). 五.实数基本定理应用举例： 例1 设, 则是闭区间

, 使

上的递增函数, 但不必连续 .如果

.( 山东大学研究生入学试题 )

,

证法 一 ( 用确界技术 .参阅[3] P76例10 证法1 ) 设集合

有界 .由确界原理 ,下证 ⅰ） 若 由 ., 有递增和, ⅱ） 若, .于是 , 只能有, 则存在

↘

,

内的数列

.由

., 使递增,

↗

, 以及, 得

; 也存在数列 , 就有式

; 又, 有

, 得, 可见

. .由

有上确界.设

.则

, , 则

不空 ;

.

,

对任何成立 .令

于是有.

证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77例10 证法2 ) 当时,或就是方程间, 设分

, 就是方程

在

在

上的实根 .以下总设

或

.对分区点为 .倘有下总设不会

出现这种情况 ) .若如此得一级区间

上的实根.(为行文简练计, 以

, 取; 若, 取, .依此构造区间套, 使对

. .

时

↗

, 对,有 .由区间套定理, 任何,有现证事实上, 注意到和↘以及递增,就有 .

令 , 得例2 设在闭区间

于是有上函数

连续,

.

递增 , 且有

内有实根 .

.由区间套定

,

.试证明: 方程

证 构造区间套理,有, 使对,

,使

在区间

.现证

的构造以及

↗

. 事实上, 由在上的递增性和和↘,, 有

.

注意到在点连续，由Heine归并原则, 有

,

,

.

为方程

在区间

内的实根.例3 试证明: 区间

上的全体实数是不可列的 .

上的全体实数是可列的,即证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间 可排成一列:

把区间

.把区 三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含，记该区间为一级区间间三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含.„„ .

，记该区间为二级区间依此得区间套, 使对 而 , 有

, 其中区间

.当然有

,

不含.由区间套定理,

.但对

有

.矛盾.

习题 课

（ 3学 时 ）

一．实数基本定理互证举例：

例4 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证 设数列递增有上界.取闭区间

, 使内含有数列

, 取

不是

的上界,

是的上界.易见在闭区间 外仅含有质.„„.于是得区间套的无穷多项而在其外仅含有

的有限项.对分

的无穷多项, 而在使有

的性

,有公共点.易见在点的任何邻域内有数列

的有限项,

.

例5 用“确界原理”证明“区间套定理”. 证 界.由确设 由为区间套.先证每个界原理 , 数列,

，

为数列

的下界, 而每个

为数列的上

有上确界, 数列.易见有

.

有下确界 .

和

.

例6 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证 ( 用反证法 ) 设是的聚点, 则对的有限个点.„„ .

例7 用“确界原理”证明“聚点原理”.证 设为有界无限点集.构造数集

中大于的点有无穷多个.

为有界无限点集,

, 存在开区间

.反设, 使在

的每一点都不

内仅有易见数集,由 非空有上界, 由确界原理,

不是

的上界

有上确界.设 .则对中大于的点有无穷多个; 由是内有

的上界, 中大于

是

的一的点仅有有限个.于是, 在个聚点 .

的无穷多个点,即课后记

强掉应先构造闭区间套、构造开覆盖、构造数列等的方法.通过大量的例子让同学们体会在什么时候用哪一个定理.

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