解析几何教案

发布时间：2020-03-02 08:51:56 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

第一章矢量与坐标

教学目的：

1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;

2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;

3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;

4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。教学重点：矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。教学难点：矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。教学时数：18学时

§1.1~§1.3

矢量的概念,矢量的加法,数量乘矢量

由于这部分内容已下放到高中教材中,学生基本上已掌握,因此我们这里就不作重点讲解,只对某些基本知识作简单复习.§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

教学要求:掌握矢量线性组合的定义,共线矢量,平面矢量,空间矢量用其基底表示的方法,线性相关,线性无关的概念以及相关的重要定理.前面已学过矢量的加法和数与矢量的乘法,它们称为矢量的线性运算,且我们知道有限个矢量通过线性计算,它的结果仍然是一个矢量,下面首先给出 1线性组合

定义1.4.1 由矢量a1,a2,...,an与数1,2,...,n所组成的矢量a1a12a2...nan

称为矢量a1,a2,...,an的线性组合.注:线性组合也可说成线性表示,线性分解,a也称为a的线性组合.2 线性关系

(1)线性相关和无关性：(定义1.4.2) 对于n(n1)个矢量a1,a2,...,an,如果存在不全为零的n个

.nan0

(1.4.1) 数1,2,...,n,使得：

1a12a2..那么n个矢量a1,a2,...,an叫做线性相关。a1,a2,...,an

推论:一个矢量a线性相关的充要条件为a0

a1,a2,...,an线性无关, 当且仅当：

1a12a2...nan0时12...n0

例：判断下列向量组是相关还是无关？

(2)一些基本性质:

定理1.4.1 在n2时,矢量a1,a2,...,an线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合.

证明：

定理1.4.2 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关,那么这一组矢量就线性相关.

推论:一组矢量如果含有零矢量,那么这组矢量必线性相关.

定理1.4.3 矢量a1,a2,...,an线性相关, a1,a2,...,an1线性无关，则an可写成

a1,a2,...,an1的线性组合。

即an1a1n1an1，且系数由a1,a2,...,an唯一确定。

3线性组合及关系的几何意义：

定理1.4.4 矢量r与矢量e共线的充要条件r和e线性相关。

推论：如果矢量e0,那么r可写成e的线性组合,即

rxe

(1.4-2) 并且系数x被r,e唯一确定

定理1.4.

5三矢量共面的充要条件是它们线性相关

证明：

若r与e1,e2共面

若e1//e2 由定理1.4.4以及定理1.4.2结论显然。

若e1,e2不平行如图。

反过来若r与e1,e2线性相关

推论：如果矢量e1,e2不共线,那么矢量r与e1,e2共面的充要条件是r可分解成e1,e2的线性组合,即 rxe1ye

2(1.4-3) 并且系数x,y被r,e1,e2唯一确定这里e1,e2称为共面(平面)矢量的基底.定理1.4.6

空间任何四个或以上矢量总是线性相关

推论：如果矢量e1,e2,e3不共面,那么空间任意矢量r可由e1,e2,e3线性表示或r可分解成e1,e2,e3的线性组合,即 rxe2ye2ze

3 (1.4-3) 并且系数x,y,z被e1,e2,e3,r唯一确定这里e1,e2,e3称为空间矢量的基底.总结:这一节我们应重点把握好矢量的几个线性分解式和线性相关,线性无关的应用定理例题见书上

课堂练习：P24

7，8，9 作业:P24,10题

1.5 标架与坐标

教学要求:了解各种标架的定义,掌握坐标的定义,掌握坐标在标架中各个卦线的符号,掌握矢量的坐标运算.引言

前面我们已知道空间中任何矢量可由三个不共面的矢量来线性表示,于是在空间中任取一点O,再引出三个不共面的矢量e1,e2,e3,那么空间中任何矢量r可由e1,e2,e3线性表示,即

rxe1ye2ze3

（1）

并且这里的x,y,z是唯一的一组有序实数.我们把0,e1,e2,e3的集合称为仿射标架,记作0;e1,e2,e3的坐标。标架分为右手系和左手系标架.

如果eiej,且ei

1 i，j=1…3 称0;e1,e2,e3右手直角坐标系.例：点关于坐标面、坐标轴、原点的对称点，

设P(x,y,z)

关于0点的对称点为x,y,z

关于xoy面的对称点为x,y,z

关于x轴的对称点为x,y,z

1矢量的基本坐标运算

(1) 矢量的坐标分量等于其终点的坐标减去其始点的坐标。., x,y,z称为向量r在该标架下

为直角标架，常用0;i,j,k表示空间



 

特别OP称为点P的径矢 P1x1,y1,z1,P2x2,y2,z2，则P1P2x2x1,y2y1,z2z1

(2) aX1,Y1,Z1(3)设aX,Y,Z,bX2,Y2,Z2，则abX1，则aX,Y,Z

X2,Y1Y2,Z1Z2 例：用坐标方法证明：四面体对边中点连线交于一点且互相平分

2共线和共面向量的坐标性质

(1)

aX1,Y1,Z1,bX2,Y2,Z2共线X1X2Y1Y2Z1Z

2当分母为0时，约定分子也为0 推论：三个点A（x1,y1,z1），B（x2,y2,z2）和C（x3,y3,z3）共线的充要条件是

AB//ACx2x1x3x1y2y1y3y1z2z1z3z

1(2) 三个非零矢量aX1,Y1,Z1,bX2,Y2,Z2和cX3,Y3,Z3共面的充要条件是

X1XX23Y1Y2Y3Z1Z20

Z3证明：

复习：平面向量aX1,Y1,bX2,Y2共线 X1X2X1Y1Y2Y1Y2Y30

Z1Z2称为三向量张成的有向体积

Z3四维向量共空间是否可以类似讨论？

事实上X2X3推论：四个点Aixi,yi,zii1,2,3,4共面的充要条件是

x2x1x3x1x4x1y2y1y3y1y4y1z2z1z3z10

z4z1x1x2x1x3x1x4x1y1y2y1y3y1y4y1z1z2z1z3z1z4z110000

或

x1x2x3x4y1y2y3y4z1z2z3z411110

(1.5-7’) 3定比分点

对于有向P1P2(P1P2)线段，如果点P满足P1PPP2，则称点P为P1P2的分点（定比分点）定理1.5.6 设有向线段P1P2的始点P1x1,y1,z1，终点为P2x2,y2,z2,则分P1P2成定比1的分点P的坐标是

x1x21y1y21z1z21x,y,z

(1.5-8)

推论：设Pixi,yi,zii1,2，那么线段P1P2的中点坐标是 xx1x22,yy1y22,zz1z22

(1.5-9) 总结：本节重点掌握用坐标进行矢量的运算，三矢量共面，两矢量共线的条件，有向线段的分点的坐标公式，应注意点和矢量坐标的区别和联系。课堂练习：P33，4，10题作业：P34，7(2),8(2)题例题见书上

1.6

矢量在轴上的射影

教学要求：了解射影的定义，掌握射影的公式。 1 基本概念

① 点在有向直线l上的射影定义：设有空间中的一点和轴l，过A作垂直轴l的平面交l与A点，则称A为A在轴l上的射影。 ② 矢量在有向直线上的射影矢量及射影：设A,B两点在轴l上的射影分别为A,B，则矢量AB称为AB在l上的射影矢量，记为射影矢量lAB。

规定l方向为正向，称线段AB的有向长度为AB在l上的射影，记为射影lAB。或射影eAB，

显然上述射影满足：ABxe

e为l方向的单位矢量

③ 矢量在矢量上的射影：设e是向量a方向的单位矢量，向量bxe，称x 为b在a上的射影记为射影ab 2 两向量的角

规定两矢量夹角在0到之间，即0(a,b)，若a,b同向a,b0，a,b反向，则a,b，在平面上，还可以定义方向角下面给出射影公式。

定理1.6.1 矢量AB在轴l上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦：射影lABABcos, =(l,AB).

(1.6-2)

注：定理1.6.2和1.6.3表明矢量的射影满足加法和数乘两种运算。总结：本节内容相对简单，重点掌握矢量在轴l上的射影的计算公式。作业：P38，1题

1.7

两矢量的数性积

教学要求：掌握两矢量数性积的定义，两矢量垂直的充要条件，数性积的运算律，利用矢量的坐标（分量）表示数性积，两点距离公式，方向余弦，两矢量的夹角余弦。 0引言

前面我们已学过矢量的加法和数乘运算，这两种运算的结果仍然是矢量，这一节我们将进行两矢量的一种乘积运算，这种运算的结果是一个数，一个非常典型的例子是物理学上一个外力，经过一定的位移所作的功Wfscos

1 定义：两个矢量a和b的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量a和b的数性积（也称内积），记或，即ab或ab

ababcosa,b

注：数性积是一个数，零矢量与任何矢量的数性积为0。由上一节射影公式，

ab=a射影ab=b射影ba

若be，则，ae射影ea

2若ab，则aaa，记作a，为a的数量平方。 2下面给出

定理1.7.1 两矢量a与b互相垂直的充要条件是ab0 该定理有许多应用，值得重视。

定理1.7.2 矢量的数性积满足下面的运算规律 1）交换律

abba

2）关于数因子的结合律

(a)b(ab)a(b) 3）分配律

(ab)cacbc 推论：(ab)c(ac)(bc)

我们在这里指出，矢量的数性积运算可以像数的乘法那样进行。现在给出数性积的坐标表示。

定理1.7.3 设aX1iY1jZ1k,bX2iY2jZ2k 那么abX1X2Y1Y2Z1Z2

(1.7-6) 推论：设aXiYjZk，那么下面给出几个重要的公式 1）两点距离公式

定理1.7.4 设aXiYjZk，那么 aa2X2Y2Z2

(1.7-8)

定理1.7.5 空间两点P1X1,Y1,Z1,P2X2,Y2,Z2间的距离是 d(x2x1)(y2y1)(z2z1)

(1.7-9) 2222）矢量的方向余弦：矢量与坐标轴所成的角叫方向角，而方向角的余弦叫矢量的方向余弦，我们有定理1.7.6 非零矢量aXiYjZk的方向余弦是

XaYaZaXXXX2cosα=YY2Z2

cosβ=2YZ2Z2

(1.7-10) cosγ=2Y2Z2

且cos2α+cos2β+cos2γ=1

(1.7-11) 这里α,β,γ分别为矢量a与x轴，y轴，z轴的交角，即矢量的三个方向角。特别地，a0={cosα,cosβ,cosγ}

(1.7-12) 3）两矢量的交角

定理1.7.7 设空间中两个非零矢量a{X1,Y1,Z1}和b{X2,Y2,Z2}，那么它们夹角的余弦是 cos(a,b)ababXX1X2Y1Y2Z1Z221Y1Z221X22Y22Z22

(1.7-13) 推论：矢量a{X1,Y1,Z1}和b{X2,Y2,Z2}相垂直的充要条件是

X1X2Y1Y2Z1Z20

(1.7-14)平面的两矢量有类似的结论。

总结：这一节重点掌握数性积的定义，利用分量表示数性积及其应用。作业：P48，5题例题见书上。

1.8 两矢量的矢性积

教学要求：掌握矢性积的定义，几何意义，运算律，坐标表示。引言

前面已学过数性积，它表示一个数，这一节我们将引入两矢量的饿乘积运算的另一种形式，它的结果是一个新的矢量。首先看一下它的定义：

定义1.8.1 两矢量a与b的矢性积（也称外积）是一个矢量，记做ab，它的模是 ababsin(a,b),

(1.8-1) 它的方向与a,b都垂直，且按a,b, ab的顺序构成右手标架{O;a,b, ab} 由平行四边形面积公式，我们有

定理1.8.1 两不共线矢量a与b的矢性积的模等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积。这个定理刻画了矢性积的饿几何意义。定理1.8.2 两矢量共线的充要条件是ab=0 该定理的应用也相当广泛，需重视。

定理1.8.3 矢性积是反交换的，即

ab=-(ba)

(1.8-2) 定理1.8.4 矢性积满足关于数因子的结合律，即

(ab)(a)ba(b)

(1.8-3) 推论设,为任意实数，那么

(a)(b)()(ab)

(1.8-4)

定理1.8.5 矢性积满足分配律，即

(ab)cacbc

(1.8-5)

推论

c(ab)cacb

(1.8-6) 值得注意的是，矢性积在运算过程中，如果顺序发生改变，一定要变号下面用分量来表示矢性积

定理1.8.6 如果aX1iY1jZ1k,bX2iY2jZ2k，那么

Y1Y2iabZ1Z2ijY1Y2Z1Z2kX1X2jX1X2Y1Y2k

(1.8-7) 或abX1X2Z1

(1.8-8) Z2总结：本节重点掌握矢性积的定义，几何意义和分量表示形式。作业：P54，5题例题见书上。

1.9 三矢量的混合积

教学要求：掌握混合积的定义，几何含义，三矢量共面的充要条件，分量表示。引言

我们在前面两节学习的是两个矢量的乘积运算，但三个矢量的乘积运算还未涉及，总的来说有下面几种情况，矢量a,b作数性积再与c作积，即(ab)c，此时结论为与c共线的矢量，没必要讨论，另外一种是，矢量a,b作矢量积再与c作数性积，即(ab)c，此时为一个数，还有一种是，a,b作矢性积再与c作矢性积，即(ab)c，我们在这一节只讨论第二种情况，首先给出

定义1.9.1 给定空间的三个矢量a,b,c,如果先做前两个矢量a与b的矢性积，再做所得矢量与第三个矢量c的数性积，最后所得的这个数叫三矢量a,b,c的混合积，记做(ab)c，或(a,b,c)，或(abc) 定理1.9.1 三个不共面矢量a,b,c的混合积的绝对值等于以a,b,c为棱的平面六面体的体积V，并且当a,b,c构成右手系时混合积是正数；当a,b,c构成左手系时，混合积是负数，也就是有 (abc )=εV

(1.9-1) 当a,b,c是右手系时ε=1，反之ε=-1 定理1.9.2 三矢量a,b,c共面的充要条件是(a,b,c)=0 定理1.9.3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变符号，即 (abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

(1.9-2) 推论

(ab)ca(bc)

(1.9-3) 下面用分量表示矢性积

定理1.9.4 如果aX1iY1jZ1k,bX2iY2jZ2k,cX3iY3jZ3k，则

X1(abc)X2X3Y1Y2Y3Z1Z2

(1.9-4) Z3三矢量a,b,c共面的充要条件是 X1X2X3Y1Y2Y3Z1Z20 Z3总结：本节重点掌握混合积的定义，几何意义，三矢量共面的充要条件，混合积的特点，分量表示。

作业：P60，5题

例题参见书上。

第二章

轨迹与方程

教学目的：

1、理解曲面与空间曲线方程的意义；

2、掌握求轨迹方程（矢量式与坐标式参数方程及普通方程）的方法；

3、会判断已知方程所表示的轨迹名称。教学重点：曲面和空间曲线的方程求法。

教学难点：判断已知的参数方程或普通方程所表示的图形。教学时数：6学时

2.1 平面曲线的方程

这一节的内容不在课堂上讲，由学生在课后自学，因为后面要讲的空间曲线的方程包含了这一节内容。

2.2 曲面的方程

教学要求：掌握曲面方程的定义，求曲面方程的方法，曲面参数方程的定义、形式。引言

曲面方程的意义与平面曲线一样，即点所满足的式子，曲面方程通常由下列形式来表示： F(x,y,z)=0或z=f(x,y) 求曲面方程的方法通常是：利用轨迹的性质，列出曲面上的点所满足的条件建立等式，再把坐标代入化简即可得曲面方程，举例如书上曲面的矢量式参数方程为

r(u.v)x(u,v)e1y(u,v)e2z(u,v)e3

其中u,v(aub,cvd)为参数，e1,e2,e3为空间矢量的基底。曲面的坐标式参数方程为 xx(u,v)yy(u,v) zz(u,v)这里u,v同上。

总结：这一节重点掌握曲面方程的形式，参数方程的形式。作业：P88， 5题例题见书上

2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程

这类方程比较特殊，分别有下面三种形式 F(x,y)=0,

母线平行于z轴 F(x,z)=0,

母线平行于y轴 F(y,z)=0,

母线平行于x轴例如：xya, 圆柱面（轴为z轴） 2.4 空间曲线的方程

教学要求：掌握空间曲线方程的定义，了解它的求法，掌握曲线射影柱面的求法。引言

空间曲线方程的意义与曲面一样，我们把空间曲线看作是两个曲面的交线，于是方程为 222F1(x,y,z)0

(2.4-1) L:F(x,y,z)02具体举例见书上。

对于空间曲线L(2.4-1)的射影柱面，就是以L为准线，作母线分别平行于三坐标的柱面，在代数上就是在方程(2.4-1)中分别消去三个坐标x,y,z，

就可得L对于yoz面，xoz面，xoy面三坐标面的射影柱面例子见书上

作业：P97，3题，8题

第三章

平面与空间直线教学目的：

1、深刻理解在空间直角坐标系下平面方程是一个关于x,y,z的三元一次方程；反过来任何一个关于x,y,z的三元一次方程都表示一个平面。直线可以看成两个平面的交线，它可以用两个相交平面的方程构成的方程组来表示；

2、掌握平面与空间直线的各种形式的方程，明确方程中常数（参数）的几何意义，能根据决定平面或决定直线的各种导出它们的方程，并熟悉平面方程的各种形式的互化与直线各种方程形式的互化；

3、能熟练地根据平面和直线的方程以及点的坐标判别有关点、平面、直线之间的位置关系与计算它们之间的距离和交角。

教学重点：平面与空间直线的方程求法及点、平面、直线之间的相关位置。教学难点：平面与空间直线各种形式方程的互化。教学时数：10学时 3.1平面的方程

教学要求：掌握平面方程的几种形式，包括参数方程，点位式方程，截距式方程，法式方程以及一般方程，平面的一般方程的法式化。

引言

我们知道，平面可以由一个点和不共线的两方向矢量决定，于是可得如下的矢量式参数方程。

rr0a

其中,为参数，a,b为两不共线矢量，r0为定值

(3.1-1) 变形又可得坐标式参数方程

xx0x1x2yy0y1y2

(3.1-2) zzzz012消参可得点位式方程 xx0X1X2yy0Y1Y2zz0Z1Z20

(3.1-4) 或(rr0,a,b)0，共面三矢量的条件

(3.1-3)平面也可由三点决定，于是有下面的三点式方程

rr1(r2r1)(r3r1)

(3.1-5) xx1(x2x1)(xx1)yy1u(y2y1)v(y3y1)

(3.1-6) zz1u(z2z1)v(z3z1)(rr1,r2r1,r3r1)0

(3.1-7) xx1x2xx3x1xx1x2x3xayy1y2y1y3y1zz1z2z3zczz1z2z10

(3.8-8) z3z1yy1yy3yb11110

(3.8-8) 特别地，我们还有截距式方程

1

abc0

(3.1-9)平面的一般方程是下面的三元一次方程

AxByCzD0

(3.1-10) 其中，A,B,C不全为0 对于一些特殊情形，必须非常熟悉。

对于平面，还可由一点和垂直于已知非0矢量的矢量决定,平面的方程为下面的点法式方程

n(rr0)0

(3.1-11) 即

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0

(3.1-12) 如果取单位法矢量ncos,cos,cos0，则

nrP0

(3.1-13) 0即

xcosycoszcosP

(3.1-14) 这里的P表示原点到平面的距离P0 对于平面的一般方程(3.1-10)，用1ABC222

可以法式化，符号的造取须使P0 具体的一些例子参见书上。

总结：本节重点掌握平面的几个方程形式和法式化。作业：P109，5，6，7题 3.2平面与点的相关位置 3.3两平面的相关位置

教学要求：掌握离差的定义，点与平面的距离公式，两平面位置关系的判定条件。引言

点与平面只有两种位置关系，点在平面上即点满足平面方程，由前一节可得，于是我们只考虑点在平面外的情形，离差的定义为 =射影n0QM0

(3.2-1) 以及

n0r0Px

(3.2-2,3) 0cosy

0cosz0cosP

点M0(x0,y0,z0)与平面AxByCzD0间的距离为

dAx0By0Cz0D

(3.2-4) A2B2

C2 两平面的关系有相交，平行，重合，具体的条件决定于下述方程组 A1xB1yC1zD10,(1)A2xB2yC2zD 20,(2)的解的情况。

平面(1)与(2)相交的充要条件是

A1:B1:C1A2:B2:C2

(3.3-1)平行的充要条件是 A1B11A

(3.3-2) 2BC12CD2D 2重合的充要条件是 A1AB1C11

(3.3-3) 2B2CD2D

2两平面夹角的余弦

cos(A1A2B1B2C1C21,2)cosn1n2n1n2A2B2222211C1A2B2C2由此可得，两平面垂直的充要条件是

A1A2B1B2C1C20

(3.3-6) 总结：这两节重点掌握点到平面的距离公式，两平面位置关系的判定条件。(3.3-5)

作业：P113，10题，P115，6题

3.4 空间直线的方程

教学要求：掌握直线的几种方程形式，包括参数方程，标准方程，两点式方程，一般方程，射影方程。引言

我们知道，直线可以由一个点和一个方向矢量决定，于是得到直线的参数方程。

rr0t

(3.4-1) 或

xx0tXyy0tY

zz0tZ再消去参数t，即得直线的标准方程 xx0yy0zz0XYZ

直线的两点式方程为 xx1y1x

2xyzz11y2y1z

2z1如果取V0cos,cos,cos，则

trr0MM0

参数t的绝对值是l上两点M0与M间的距离用X:Y:Z表示方向数

直线的一般方程是下面的三元一次方程组

A1xB1yC1zD10xB

A22yC2zD20其中A1:B1:C1A2:B2:C2 它的射影式方程为

xazc

ybzd

其中

aXZ,bYZ,cx0XZz0,dy0YZz0

由(3.4-11)可得直线的标准方程

(3.4-2)

(3.4-3)

(3.4-6)

(3.4-11) (3.3-12)

xx0B1B2C1C2yy0C1C2A1A2zz0A1A2B1B2

其中

B1x0B2A1A2D1D2B1B2,y0D1D2A1A2A1A2B1B2,z01 另外，直线的方向矢量v可取n1n2

具体的例题见书上

总结：本节重点掌握直线的方程形式及求解方法。作业：P123，4题

3.5 直线与平面的相关位置 3.6空间两直线的相关位置 3.7 空间直线与点的相关位置 3.8平面束

教学要求：掌握直线与平面位置关系的判定，两直线相关位置的判定，两直线夹角的余弦，两异面直线间的距离，公垂线方程，点到直线的距离公式，有轴平面束，平行平面束的方程及其应用。引言

直线与平面有相交，平行，直线在平面上三种关系。判定要求是：

(1)相交AXBYCZ0 (2)平行AXBYCZ0

(3)直线在平面上AXBYCZ0，Ax0By0Cz0D0

xx0Xyy0Yzz0Z其中l:,平面:AxByCzD0

直线L与平面的交角为0到nvnv2之间，有

sinAxByCzABCyy1Y1yy2Y2222X2Y2Z2

(3.5-4) 直线L1:xx1X1xx2X2zz1Z1

直线L2:zz2Z2