第二章数列极限

发布时间：2020-03-03 00:19:14 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

第二章数列极限

第1节数列极限概念

一、教学目标：

1.了解数列极限的具体概念

2.掌握数列极限的计算方法

二、教学重点：

1.数列极限的定义

2.数列极限的计算

3.证明数列的敛散性

三、教学难点：

1.数列极限的—N定义

2.证明数列的敛散性

四、教学过程：

1.创设问题情景，引入课题

（1）知识回顾：

若函数f的定义域为全体正整数集合N,则称

f:NR或f(n), nN

为数列。因正整数N的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写成

a,a,...,a,...,12n

或简单地记为｛an｝，其中an称为该数列的通项。

（2）关于数列极限，先举一个我国古代有关的例子。

例1 古代哲学家庄周所著《庄子*天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制的持续下去。

把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：

1第一天截下，第二天截下

2个数列

，......，第n天截下

，......这样就得到一

1111,,...,,...或｛｝ 222211

不难看出，数列｛｝的通项随着n的无限增大而无限接近于0.一

般的说，对于数列｛a｝,若当n无限增大时 a能无限的接近某一个常数a,则

称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限。

下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义。

2.具体教学内容及例题

定义1设｛an｝为数列，a为定数。若对任意的正数，总存在正整数N，使得当n>N时有

|an-a|

则称数列｛an｝收敛于a，定数a称为数列｛an｝的极限，记作

limaa或aa(n)

n

读作“当n趋于无穷大时，｛an｝的极限等于a或an趋于a”。

若数列｛an｝没有极限，则称｛an｝不收敛，或称｛an｝为发散数列。

定义1常称为数列极限的—N定义

例2证明lim0，这里为正数。

n

证分析：这一题运用定义1来解决。由于

11|0| nn1

]1,当n>N时，便有故对任给的>0，只要取N[

111

即 |0| nNn1

这就证明了0 

n

例3证明

3 lim

n

3n

分析由于

3n99|3|(n3)（1） n3n3n

9因此，对任给的>0，只要，便有

n3n

||（2）

n3

222

即当n





时，（2）式成立。又由于（1）式是在n3时成立，所以应该取

Nmax{3,（3）



证任给

学生思考：1.为什么（1）中要求n3？

q0，这里|q|1。

0，取Nmax{3,，当n>N时有（2）式成立。

2.N一定要求是正整数？

例4证明lim

n

证若q0，则结果是显然的。现在设0|q|1。记

1h1，则h0我们有

|q|

|q0||q|

(1h)

并由(1h)

1nh得到

|q|（4）

1nhnh

对任给0，只要取N，则当nN时，由（4）式得

h

|q0|。这就证明了limq0

n

学生思考：本例还有其他的解题方法？

（提示：可以运用对数函数y讨论）

lgx的严格增性来证明，留给同学们课下

3.对于定义的深入探讨

关于数列极限的

N定义，通过上面的几个例子，我们已经有了初步的

认识。但是，我们还需注意下面的几个重要的性质：

i .的任意性定义1中正数的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，愈小，表示接近的愈好；而正数可以任意小，说明an与a可以接近到任何程度。然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时被确定下来，依



靠它求出N.又 既是任意小的正数，那么，3或 有事任意小正数。所



以|aa| 中可用，3或来代替。同时，正因为是任意小

的正数，我们可以限定小雨一个确定的正数。

ii.N的相应性一般来说，N随的变小而变大，由此，我们常把N写成N()，来强调N是依赖的。但这并不是意味着N是由唯一确定的，因为给定的，比如当N=100时，当n>N时有|aa|，则当N=101或者更大，

此不等式均成立。这里注重的是N的存在性，而不是它值的大小

iii.从几何意义上看，“当n>N时有|an

N的项都落在U(a;

a|”意味着：所有下标大于

)内。而在U(a;)之外，数列{a}中的项最多只有有

限个。由此，我们可写出数列极限的一种等价定义：

定义1任给

0，若在U(a;)之外数列{a}中的项至多只有有限

项，则称数列{an}收敛于极限a

例5证明{n

}和{(1)}都是发散数列

证对任何aR，取0

1，则数列{n}中所有满足na1的无

穷多项显然都落在U(a;)之外，故{n}不以任何数a为极限，即{n}为发散数列。

{(1)}为发散数列，给学生自己证明。

五、课堂小结与评价

1.这节课我们主要讲解了数列极限的定义，同学们要掌握定义的内容，同时能够解决极限的计算问题。

2.能够证明一个数列的敛散性。

六、作业

学号：09020124 班级：09数本（2）班姓名：徐洋

将本文的Word文档下载到电脑，方便编辑。

推荐度：

点击下载文档

相关专题第二章数列极限1 数列

相关范文推荐