数列极限的运算

第十九教时

教材：数列极限的运算

目的：继续学习数列极限的运算，要求学生能熟练地解决具体问题。 过程：

一、复习数列极限的运算法则

例

一、先求极限lim

n2n

1n

2n

21

，再用ε—N定义证明。 2解：lim

nn1

1

11

2n

2n21

lim1n

212 n

2

任给0,|n2n112n2n211

2|2(2n2

1) 则

2n12(2n21)2n4n222n2n

2

1

n (当n1时,n21,2n22,4n222n2)

令1

n

n



取N[

]

2

nN时,|

nn1n2

当n12n2

11

2

|恒成立lim

n

2n2

1

1

二、先求和，后求极限：

例

二、求极限

1．lim(1473n

2)n

n2n2n2n2

解：原式=limn(3n1)

1（指出：原式=0+0+0+……+0=0 是错误的）n

2n2

22．lim

1223n(n1)

n

n(n2

3)

n(n1)(2n1)

n(n1)

解：原式=lim

2n36n24n1n

n(n23)limn

6(n

33n)3 3．lim[(11)(11111

n222)(24)(12

2n1)]

11(1解：1

2n1

)1(1

22n1



2n1

)(112

n1

)2

12n

112

2n1

1

2

n1

1

22

n11

111111原式lim[

22212312n1]2n

n

112

11112 n122122212

2n11

24．已知数列{an}中a1

n

n(n1)(n2)，求limSn

n

解：

1n(n1)(n2)12[1n(n1)1(n1)(n2)

]

原式lim

n

2{(1111111223)(2334)[n(n1)(n1)(n2)]}lim

1n

2[1112(n1)(n2)]

4三、先共扼变形，再求极限：

例

三、求极限

1．lim

n(n1n)

n

解：原式=lim

n(n1n)(n1n)

n

n1n

lim

nn

n1n

lim

11n



12n

1

2．limnn1nn2n 7．用数列极限的定义证明：limnn21 23n13解：原式=limn(n1n)(n1n)(n2n)(n2n)(n2n)(n1n) 510155n123n,和,,,,, 8．已知数列,,,,345n2345n

2(1)求证：这两个数列的极限分别是5和1；

(2)作一个无穷数列，使它的各项为这两个数列的对应项的和，

limn2n1

n2(n1n)2

3．lim(23n23(n1))

n

解：原式lim(n(n1)n(n1))n

n22limnn(n1)n(n1)

22

lim12

n1(11)1(112

2n2n)

1．求数列

32,

43,56

4,5,的极限为1

2．lim[111

21]n12334n(n1)

3．lim(11

21

41

n2n)4．lim(1

nn214

n217

n213n2

n21)3

5．lim3n12n1

n3n12n1

6．0.2.7.= 3

11 验证所得数列的极限等于这两个数列的极限的和。

四、作业：

数列极限的运算法则

数列极限的运算性质

数列极限的运算法则

数列极限

数列极限

数列极限

数列极限1

11,12数列极限

122 数列极限

第二章数列极限

《数列极限的运算.doc》

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