《数学分析I》第1次习题课教案
第一次习题课(数列极限)
一、内容提要
2n2121.数列极限定义,验证limn3n22n13.2.极限性质(唯一性、有界性、保号性、保不等式).
3.极限四则运算.求limn1nn
2n(n),limn(1nn2)
4.收敛准则(迫敛准则、单调有界准则、柯西收敛准则).二、客观题
1.设f(x)1,x
1x1 ,则ff(x)___________.0,
2.若数列{xx
n}与{yn}发散,问数列{xnyn},{xnyn},{n
y}是否一定发散?
n
3.若数列xn收敛,列yn发散,则数列xnyn是否存在?
4、若单调数列{an}含有一个收敛的子数列,则数列{an}必收敛().
5、若数列{an}发散,则{an}必为无界数列().6.当()时,有lim(k
n1n)ne.
三、计算题
1.一些重要结论:
lim(n1n
nn)e,limn(n1n)ne1,limnqn0,(|q|1),limna1,(a0),limnn21.2.计算下列极限
(1)limsinn
nn0(M).
(2)lim
1n(2n1n2n2n2)2(求和法).
(3)lim(1
nn21
2n2n
2n2n)(夹逼).
(4)limn(113n1nn2),(4)limn(1n2).
(5).设f(x)axa0,a1,求lim1
nn2lnf(1)f(2)f(n).
1limnn1,
《数学分析I》第1次习题课教案 xn1ann!(6)设xn,求极限.limnnnxn
四、证明题
1.已知limana,证明极限limn[nan]a.nn1
cos1cos2cosn2n,(n1,2,,)是收敛数列.2222..应用柯西收敛准则,证明an
3.设x1a0,xn112(xn),证明:数列{xn}收敛并求其极限(单调有界原理).2xn
n4.按数列极限的N定义证明limn22n210.
anbnn1,2,,试证明数列{an} ,bn1anbn,25.给定两个正数a1与b1(a1b1),我们令an1
与{bn}的极限皆存在,并且limanlimbn.nn
6.设an0,limana0,证明limn1.nn