122 数列极限

发布时间：2020-03-03 00:17:48 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

1-2-2 数列极限

题型二求数列的极限

类型1 对概念、性质的理解

例1 数列xn收敛于a等价于（）

A.对0，在(a,a)内有数列的无穷多项

B.对0，在(a,a)内有数列的有穷多项

C.对0，在(a,a)外有数列的无穷多项

D.对0，在(a,a)外有数列的有穷多项

[答案：D]

练习：

①设函数f(x)在(,)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（）

A.若xn收敛，则f(xn)收敛；B.若xn单调，则f(xn)收敛；

C.若f(xn)收敛，则xn收敛； D.若f(xn)单调，则xn收敛；

[答案：B]

类型2 利用函数极限求数列极限

若anf(n)，则limanlimf(n)limf(x) nnx

例1 Ilimtann

[答案：e]

练习： 4n2 4n

①[2008十七] 已知曲线fxn在1,1处的切线与x轴的交点为xn,0，则x

limfx(n)。[答案：e1] n

②曲线ytanx在点(

n2n4,1)处的切线在x轴上的截距为xn，求limy(xn)[答案：e1] n

1③Ilimnsin[答案：e6] nn

11④[北航P19]Ilimntan [答案：e3] nnn21

⑤设xe11nn1，其中n为正整数，求limx1

nn

nn[答案：2]

⑥[2012精解

P4]n1)（a0）[答案：0]

n

a1⑦设f(x)在xa的某邻域内可导且f(a)0，求Ilimnn

f(x)dx

na

f(a) 



f\'(a)

[答案：e

2f(a)

]

类型3 通项是n项和的数列的极限方法一：先求出数列和，再求极限方法二：利用定积分的定义

1n①limfi1

i1n0f(x)dx nn②limbanf

baanibnni1

a

f(x)dx 方法三：两边夹法则

例1 ①[2011二十] lim(11n11211231

12n)

Sol:u11211

n12n12()n2,3,4,n(n1)n(n1)nn1

2原式=lim[11111131

3n(12)(23)(n

n1)lim(n2n1)2

练习： n

①lim

n[答案：1] i1

i(i1)②lim(

1n

2!23!34!n(n1)!

)[答案：1] 例2 两边夹法则

①lim(3n

4n

n

5)[答案：5]

②设u1nn2n12n2n2n

n2nn

，求limnun

[答案：1

] 练习：

1①lim(1n2n

n

10n)n

[答案：10]

②lim

n2[答案：1i1ni

2] ③[2002十二] lim21nn11

[答案：0]

n212n222n2n2

④设u1nn

，求limnu1n[答案：4]

⑤limn



[答案：1] 例2 利用定积分的定义求数列极限

①Ilim(1111nn1n2n3nn

)[答案：ln2]

②Ilim1nn(sin

2nsin22nsin32nsinn2n)[答案：2



] 练习：

①[2012考研数一]Ilim(

nn21nn

n222nn232n

n2n2)[答案：

②lim

n

[答案：] 6n

③[2005十四] 极限lim1

xn

k2nkk1

④Ilim

n

i

22 i1ni

⑤[2002数二研]

Ilim1nn

⑥lim

n

 ⑦lim1p2pnp

nnp1

（

p1）

例3 两边夹法则+定积分定义

①Ilim(

n

3333

)

111n1nnn23n

n2n3nnn

②Ilim练习：

22nni1i1

①[北航P31]Ilim

n



i1

i21n

isin ②Ilimnii1

nn

③[2012精解P5] Ilim(

n

12n

) 222222

n11n22nnn

类型4 通项是n项之积的数列的极限（xnai，求limxn）

i1

n

方法一：求出连乘积，再求极限（分子分母同乘一个因子，使分子、分母可进行化简；拆通

项或因式分解，使之成为两因式之积）

方法二：利用对数恒等式化为n项和的极限方法三：利用两边夹法则

例1 ①[2010第二届全国赛区赛]设xn(1a)(1a)(1a)，其中a1，求limxn

n

②Ilim1练习：

n

111

1122223n

①当x1时，求lim(1x)(1x)(1x)

n

②设xn(1)(1)(1

214

)，求limxn

n

③[2011全国赛区赛]设ancos



22xxx

④设0x，求limsecsecsecn

n242

例2 ①xn1

cos



cos2



，求liman

n

12n

xn 11，求limnnnn

1其它形式：Ilim

I

nnn②设f(x)在[0,1]上连续且f(x)0，则

In练习：

1222n2

①[北航P28]lim1212

12

n

nnn

②Ilim

n

ba

，求n

b]n等分，每点为ax0x1xnb，x

③设对区间[a,

I

n④[2002十二] 设fx是a,b上恒正的可积函数，finfai





ba

，则n

。

ln(f(1)f(2)f(n))

nn3

⑥[2010P11] 函数f(x)a（a0且a1），求Ilim2ln(f(1)f(2)f(n))

nn

⑦[2012精解P5]

In⑤[2011二十] 函数f(x)3x，lim

例5 ①[

北航P30]若an②若an

，求liman n132n1

，求liman

n242n

n

例6求证：若a1

a2ak0，

则limaaa0（10分）

类型5 通项由递推公式给出的数列的极限（xn1f(xn)，求limxn）

n

一般思路：先用单调有界准则证明极限存在，再令limxna，通过递推公式建立关于a的

n

方程，求出a。

例1 设数列xn满足0x1，xn1sinxn（n1,2,3,），（1）证明：limxn存在

n

xn1xn2

并求该极限；（2）计算lim nxn

练习：

①设x1

1，xn

limxn

n

②（本题10分）设u11,u22,n3时，unun1un2。（1）(6分)求证：

31un1un2un1；（2）(4分)求lim。

nu2n

③设x1

10，xn1

，求limxn n1,2,3,）

n

④设0x1

3，xn1例2 设x11，xn

练习：

，求limxn n1,2,3,）

n

xn13

（n1,2,3,），求limxn

nxn11

，求证：极限limfn存

nx2

①[2002十二] 设fx在1,有连续导数，且0fx在（10分）

②[2008十七] 设正值序列xn满足lnxn

1，证明limxn存在，并求其值。

nxn1

（８分）

类型6 通项由积分表示的数列的极限方法一：将积分算出，求极限

方法二：利用积分中值定理去积分号，再求极限

方法三：利用积分估值得出数列通项满足的不等式，再用两边夹法则

例1 设f(x),g(x)在[a,b]上连续，且f(x)0，g(x)0（x[a,b]），

求

Ilim

na

g(x)dx

例2 [北航P41]设f(x)在[0,)上单调减少且为非负连续函数，

anf(i)f(x)dx，求证：an的极限存在。

i1

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