几何证明选讲
第二讲 圆周角与弦切角
一．考纲要求
掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解圆周角定理及其推论；理解弦切角定理及其推论；
二．知识梳理
1.圆周定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
2.圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3.弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
4.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
5.三角形的五心
(1)内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。
(2)外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。
(3)重心：三条中线的交点。性质：三条中线三等分点，到顶点距离为到对边中点距离2倍
(4)垂心：三条高所在直线的交点。
(5)旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。 性质：到三边的距离相等。
三．诊断练习
1、下列命题中错误的是()
（A）过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行
（B）直线AB与⊙O相切于点A，过O作AB的垂线，垂足必是A
（C）若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径
（D）圆的切线垂直于半径
2、图1中圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的直径为．
3、如图2，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=3，PB=1，则⊙O的半径为．
4、如图3，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC=60°，则∠ADB的度数为
O · B A P O
图3 C 图
2- 1 -
四．范例导析
例1 AE是半圆的一条弦，C是弧AE的中点，
，弦AE交PC、CB于D、F。
A
CPAB于P求证：AD
例
2AP2CDAB是⊙O的直径，MN 切⊙O的直径与P，ADMN于D,求证：ADAB
N
例3如图所示，AB是圆O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交圆O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）若
ACAB25，求AFDF的值．
五.巩固练习
1.(2011年高考广东卷理科15)（几何证明选讲选做题）如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B。且PB
得BC57，C是圆上一点使，BACAPB，则AB.2.(2011年高考湖南卷理科11)如图，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则的AF长为.3.如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的两点．如果E460，DCF320，则A的大小为_________．
4.（2009·辽宁卷）已知ABC中，ABACAC上的，D是ABC外接圆劣弧点（不与点A，C重合），延长BD至E（如图所示）．
（1）求证：AD的延长线平分CDE；
（2）若BAC30，ABC中BC边上的高为23，求ABC外接圆的面积
