上图
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 如上图，已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。 求证：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC 证明：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵PC²=PB×AP ∴PC/AP=PB/PC 又∵∠CPB=∠BPC ∴△CAP∽△BCP ∴∠CAP=∠BCP ∴∠TCB=∠BAC
∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
综上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
衍生问题及其证明
已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧CmA是弦切角∠BAC所夹的弧.
求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半 证明：分三种情况
：
（1）圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径 ∴弧CmA=弧CA ∵弧CA为半圆, ∴弧CmA的度数为180° ∵AB为圆的切线 ∴∠CAB=90°
∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半 （2）圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,在优弧m所对的劣弧上取一点
E，
连接EC、ED、EA。则 ∵弧CD=弧CD ∴∠CED=∠CAD ∵AD是圆O的直径 ∴∠DEA=90° ∵AB为圆的切线 ∴∠BAD=90° ∴∠DEA=∠BAD
∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC 又∠CEA的度数等于弧CmA的度数的一半
∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半
（3）圆心O在∠BAC的外部 过A作直径AD交⊙O于D，连接CD ∵AD是圆的直径 ∴∠ACD=90° ∴∠CDA+∠CAD=90° ∵AB是圆O的切线 ∴∠DAB=90° ∴∠BAC+∠CAD=90° ∴∠BAC=∠CDA
∵∠CDA的度数等于弧CmA的度数的一半。
∴弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
弦切角定理逆定理
定理：以三角形任意一条边为邻边，在三角形外部作一个角等于该边的对角，那么所作角的另一边与三角形外接圆相切，切点为所作角的顶点。 几何描述：设△ABP的外接圆为⊙O，在△ABP外部作∠BAC=∠BPA，则AC切⊙O于A。
注意定理的描述，所作角必须在三角形的外部，且该角与三角形有公共的边。 该定理的等价描述为：角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。 几何描述：设直线AC与圆相交于A，AB是圆的一条弦，P是圆上与A,B不重合的点。若∠BAC=∠BPA，则∠BAC是弦切角，即AC与圆相切于A。
证明：如图，同样分类讨论
（1）当∠BPA=90°时，AB为直径。 ∠BAC=∠BPA=90°，即AB⊥AC
经过直径的一端，并且与直径垂直的直线是圆的切线，∴AC是⊙O的切线，切点为A。
（2）当∠BPA90°时，作直径AD,连接PD,则∠DPA=90° ∵∠BAC=∠BPA,∠BAD=∠BPD ∴∠BAC-∠BAD=∠BPA-∠BPD 即∠DAC=∠DPA=90° 由（1）得AC切⊙O于A
