数学本科论文

发布时间：2020-03-02 06:31:29 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

渗流方程的门槛结果

周青山

数学与应用数学

2006级

摘要：本文考察一类非退化半线性抛物方程（渗流方程）的初值和Dirichlet边值问题，得到了该问题的门槛结果

关键词：渗流方程；初边值问题；门槛结果；平衡方程

Threshold result for superlinear degenerate parabolic

equations

Qingshan Zhou ,2006grade, Mathematics and Applied Mathematics

Abstract In this paper,we study initial boundary value problem of superlinear degenerate parabolic equations and prove that any positive solution of its steady-state problem is an intinal datum threshold for the existence and non existence of global solution to the above mentioned parabolic problem

Key words Initial boundary value problem; superlinear degenerate parabolic equations;threshold result;steady-state problem

1.引言

设m>0为常数, n2Rn是一个有界区域，>m,

p mn2,QT(0,T).(0,T).考察如下非退化线性抛物线方程n2的初边值问题：

utumup,(x,t)(0,T)u0,(x,t)(0,T)（1.1） u(x,t)u(x),x0我们讨论半线性抛物型方程的初边值问题解的大时间性态——爆破问题和渐进性质。主要有三种基本的方法——上下解方法、凸性方法和能量方法。

1 在问题（I）的研究中一个基本的问题是判断它在什么初值条件下有整体解，在什么条件下解在有限时间内爆破。首先我们按照[3]中的定义给出几个基本的事实。 i）局部存在性：对任给u0(x)存在一个Tmax使得问题（I）的解在所以，我们就可以在这个解的存在区域上(0,Tmax)上存在。讨论，使得这个问题变得有意义。

ii）

limsupu(x,t;u0(x))此时称u在有限时间若Tmax则有：tTmaxx内爆破。若Tmax则称问题（I）存在整体解。

(iii) 问题（1.1）的整体解的存在性和有限爆破问题可以用其相应的平衡方程来刻画：

umup,xu0,x （1.2） u0,x当m=1时，问题（1.1）首先由Fujita在[2]中做了研究。他证明了：

结论1：若m=1,则有

（i）.当1（ii）.当p>1+时，问题（1.1）对小初值存在整体解，而对大初值必在有限时间内爆破。

如果按[3]的定义称pc=1+为问题（1.1）m=1时的爆破指标，而（ii）中的临界初值即为问题（1.1）的门槛。

在[4]中，戴求亿把上述结论推广到更一般的热算子m=1时的情

2n2n2n形，他证明了(这里我们只引用Lt结论2：

uu的结论) t若m=1时，设U(x)为相应平衡方程的Dirichlet问题（1.2）的一个任意解，则：

（i）.如果0u0(x) U(x)，且u0(x)U(x)，问题（1.1）在QT上有一个整体解u(x,t; u0),满足：

tlim u(x,t; u0)=0.（ii）如果u0(x)U(x)且u0(x)U(x)，问题（1.1）的解在有限时间内爆破，也就是存在0

tTxlimsup u(x,t; u0)= .而n=1的情形，Philippe在[1]中也讨论了问题（1.1）的有限爆破也确实发生。

本文主要的目标是通过问题（1.1）的先验估计，用上下解

方法，平衡解的相交性来证明m>1,n>2, 时，问题（1.1）mn2pn2的整体解存在性和有限爆破问题。

2.门槛结果

与戴求亿老师在[4]中的讨论，我们类似地可以得到如下结果：定理1 设U（x）是问题（1.2）的一个任意解，则有：

（i）.当u0(x)U(x)且u0(x)U(x)，问题（1.1）存在整体解，且

tlimu(x,t; u0)=0，

x 

（ii）.当 u0(x)U(x)且u0(x)U(x)，问题（1.1）的解必在有限时间内爆破，这就说明U（x）是一个门槛。

注意：

渗流方程的门槛结果，也就是问题（1.1）的相应平衡方程的Dirichlet问题（1.2）的一个任意解。首先要讨论问题（1.2）的解的存在性问题，而在[5]中我们知道问题（1.2）至少存在一个解的充要条件为下面问题的第一特征值1()>0.umup,x



u0,x3.主要定理的证明

A．我们首先讨论问题（1.1）的整体解的先验估计.定理3.1（[7]）

设u(x,t)是问题（1.1）在QT上的任意一个非负弱解，那么存在一个与t无关的正常数M，使得：

supu(x,t)即u(x,t) M，

（x,t）QT.t0 注意: 问题（1.1）的整体解的先验估计在[4]，[7]和[8]中都有涉及（其中 （n2时，）），但是[7]中提到当n3, 时，mmn2n2pn2pn2问题（1.1）的无界整体解也确实存在。

B.在证明定理1之前，我们需要下面的引理（平衡解的相交性）：引理3.2

若u1(x)，u2(x)是问题（1.2）的任意两个不同的解，那么u1(x)和

4 u2(x)必不相交。

证明：

因为u1(x)，u2(x)是问题（1.2）的两个解，所以：

u1mu1p,x u10,x

（3.1） u0,x1

u2mu2p,x u20,x

（3.2） u0,x2因此

mpmp=uudxuudx 1221mpmpuudxuudx 1221=u1mu2pu2mu1pdx

=u1mu2m(u1pmu2pm)dx

=0 由p>m,若u1,u2不相交，不妨设u1u2，则显然矛盾，故引理3.2成立。定理1的证明：（i）若0u0(x)U(x)，u0(x)U(x)那么问题（1.1）存在一个整体解u(x,t;u0)。通过强比较原理。我们有：

u(x,t;0u)U(，x )

(x,t)(0,)

u(x,t;u0)0。如果必要的话，我们可以用u(x,T;u0)代替为了证明tlimu0(x)。对某些T0而言uo(x)U(x)。对某些01

5 记h(x)U。则由pm1,01.

Um(h)mUp(h)p

即：h(x)满足

hmhp,x h0,x

（3.3） h0,x这也就是说h(x)是下面问题的一个严格上解。

wtwmwp,(x,t)(0,T)

（3.4） w0xw(x,0)h,x设w(x,t)是问题（3.4）的一个解。因此，w(x,t)supU(x)存在整体解

x且w(x,t)关于t是严格单调递减的。

因此，根据最大值原理：

w(x,t)0

(x,t)[0,)

因此，我们假设

tlimw(x,t)w(x).

通过能量估计，我们证明w(x)满足

wnwpx

（3.5） w0x21mw(t)pmmE(t)E[w(x)]w2dx

（3.6） 2pm接下来，我们验证下面的能量恒等式

d2wm1(t)p2mp

dxE(t)wt(dx).

（3.7） dtm1mp 6 mwm1wtdx2dE(t).（3.8） dt利用（3.7）和（3.8）我们可以得E(t)0t0

否则

t2wm1(t)dxm10E(t)dt.

反设t00,s..tE(t0)0.则：

tt0

E(t)E(0t )则

4E(t)4E(t0)(tt0)

t0t故

tlimwLm1.

在有限时间内爆破

而

w(x,t)maxU(x) 故矛盾

x mwm1wtdxdtE(0)

（3.9）因此，我们可以选取一列tjj1s.tlimw(tj)L()0

j22把w(tj)乘在问题（3.4）的第一个方程的两端，并在上积分，得：

w(tj)wm(tj)w(tj)p1dxw(tj)wt(tj)dx

c1其中c0且与j无关。由H0()的弱紧性，我们假设

1w(tj)W(x)

在H()内弱收敛 01H0()w(tj)W(x) 在Lp1()内强收敛

1(x)H0()，用(x)乘以问题（3.4）的第一个方程两端，并在区域上积分

7 wt(tj)wm(tj)wp(tj)j1,2,...

（3.12）

2在（3.12）两端对于j取极限，并利用wt(tj)L()0，我们得到：

wm(x)dxwp(x)dx

这也就是说w(x)是问题（3.5）的一个弱解.通过标准的椭圆方程的正则值理论，W（x）也是问题（3.5）的一个古典解，而

一方面，利用强极值原理，若W（x）0,则：W（x）>0;

另一方面，利用强比较原理，可得：

W（x）

t是严格递减的。

故

(t,)Wx()wx(,0)h

limwxtx()U.x而W（x）和U（x）都是问题（1.2）的两个解且不相交，这与引理3.2矛盾。

因此，我们有：

limw(x,t)=0.t因为0w(x,t)h(x)，由比较原理，可得：

0u(x,t;u0)w(x,t).由夹逼定理，我们得到：

limu(x,t;u0)0 .t这就完成了定理1的（i）部分的证明。

最后，我们利用反正法证明定理1的（ii）部分，不妨假设u0(x)U(x),u0(x)U(x).且问题（1.1）由一个整体解u(x,t;u0).通过强比 8 较原理，我们有：

u(x,t;0u)U(x)(x,t)(0.,)所以，我们假设存在某些1，s.t.u0(x)U(x).记H(x)U(x)，由p>m>1, 1,我们可以验证：

HmHpxH0,x

（3.13） H0,x由

UmUp

；

得

(Hm)m(H)p；

HmpHpHp；

这也就是说H(x)是下述问题的一个严格下解：

GtGmGp(x,t)(0,T)

G0(x,t)[0,T]

（3.14）

G(x,0)Hx设G(x,t)为问题（3.14）的一个解。那么，利用比较原理可知：由于H(x)u0(x)G(x,t)u(x,t;u0

因此，G(x,t)是问题（3.14）的一个整体解，且关于t是严格递增的。利用定理3.1这里存在一个（与t无关）正常数M0,使得:

G(x,t)M(x,t)QT

所以:

G(x,t)g(x )

当t时

与（i）进行类似的讨论可以证明g(x)时问题（1.2）的一个解。通过强比较原理，由H(x)U(x)得G(x,t)U(x) (x,t)QT

9 因此这与引理3.2矛盾

参考文献：

[1]P.Souplet,Infinite time blow-up for superlinear parabolic problems with localized

reactim,American.Mathematical

Society

Volume 133,Number 2,pages 431 436.[2]Fujita U.On the Blowing-ap of Salutions of the lauchy problem for the utuu.J.Fac.Sci.Univ.Tokyo Sect.I ,1966,13:119 124.[3]Lavine H.The Role of Critical Exponents in Blow-uo Theorems.SIAU kew,1990,32:262 288.[4]Qiuyi Dai,Threshold

result

for

semilinear

parabolic equations.NNSFC(10971061) [5]Qiuyi Dai,Yuxia Fu and Yonggeng Gu,Existence and uniquene of positive solutions of semilinear elliptic equations,Science iu China A,50(2007)1141-1156.[6]Philippe.S,A priori and universal estimates for global solutions of superlinear degenerate parabolic equations.Annali di Matematica 427-436(2002) [7]Ni.W.-M.,Sack.P.E.,Tavantzis,J.:On the asymptotic behavior of solutions of

certain

quasilinear

parabolic equations.J.Differ.Equations54,97-120(1984).[8]Fila,M.:Boundedne of global solutions of nonlinear diffusion equations.J.Differ.Equations 98,226-240(1992).

10 [9]叶其孝，李正元，反应扩散方程引论，科学出版社。 [10]王明新，非线性抛物型方程，科学出版社

[11]Victor A.G and Juan L.V, The problem of Blow-up in nonliuear parabolic equations.1991 Mathematics Subject Claification.35k55, 35k65.

毕业论文感谢信

四年的大学生活即将结束，回顾四年的数学学习生活，感受颇深，收获丰厚。在论文的写作过程中，有很多困难，无论是在理论学习阶段，还是在论文的选题、资料查四询、开题、研究和撰写的每一个环节，无不得到戴求亿导师的悉心指导和帮助。借此机会我向戴老师表示衷心的感谢！同时，我要感谢湖南师范大学数计院授课的各位老师，在四年中对我的栽培和教导。我也要感谢我的同学（特别是肖芳芳同学）给予我的帮助，他们为我撰写论文提供了不少建议和帮助。在这里，非常感谢我的论文指导老师戴求亿老师。无论是在数学物理方程的授课期间，还是关于偏微分方程相关问题的讨论阶段，给了我莫大的鼓舞和点拨。在本论文的构思和撰写阶段，戴老师认真负责地给予我深刻而细致地指导，帮助我开拓研究思路。在此，衷心感谢戴老师的悉心教导！

总之，在论文的完成过程中，使我受益匪浅。

2010-5-13