数 列 有 关 证 明
一、证明数列是等差数列和等比数列
方法:⑴ 定义法:用 等差数列和等比数列的定义;⑵中项法:等差中项和等比中项.
1.已知数列{an}中,a11,an12an+2(nN).
(1)求证数列nan是等差数列;(2)求数列{an}的前n项和为Sn. n12
2.已知数列{an}中,a12,an14an-3n+1(nN).
(1)证明:数列{an-n}是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)证明:对任意 nN,都有Sn14Sn.
3.已知数列{an}中,a1
(1)证明:数列
数 列 有 关 证 明第1页 2an2,an1(nN). 3an11n1是等比数列;(2)求数列的前n项和为Sn. anan
4.数列{an}中,a11,an1112,bn(nN). 4an2an
1 (1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求证:数列{an}中对任意nN,都有an1﹤an;
(3)设cn(2)n,问数列{cn}中是否存在三项,它们可以构成等差数列?存在求出这三项,不存在说明理由.
5.已知数列{an}中,a11,a23,an23an1-2an.
(1)证明:数列{an1-an}是等比数列;(2))求an;
(3)若数列{bn}满足
4b11b4b21…4bn1(an1)bn,证明:数列{bn}是等差数列.
6.已知数列{an}的前n项和为Sn
n(a1an),求证:数列{an}是等差数列.
2数 列 有 关 证 明第2页
7.等差数列{an}中,a26,a518,数列{bn}的前n项和为Sn=1bn1. 2
(1)求an;(2)求证:数列{bn}是等比数列;(3)求证:an1bn1anbn.
8.数列{an2
n}前n项和为Sn,a11,an1nSn.
证明:(1)数列{Sn
n}是等比数列;(2)Sn14an.
9.数列{aban
n}的前n项和为Sn,n2(b-1)Sn.
(1)证明:当b=2时,数列{a1
nn2n}是等比数列;
10.数列{an}的前n项和Sn=2an2n(nN).
(1)求证:数列an12an是等比数列;(2)求an.
数 列 有 关 证 明第3页 2)求an.(
11.数列{an}前n项和为Sn,a11,a26,a311,且(5n8)Sn1(5n2)Sncnd.
(1)求c、d的值;(2)证明:数列{an}是等差数列;
(3)证明:不等式amnaman1对任意m、nN都成立.
12.正项数列{an}、{bn}满足:a11,a22,bn=anan1,且{bn}是公比为q的等比数列.
(1)证明:an2anq2;(2)记cna2n12a2n,证明:数列{cn}是等比数列;
(3)求和:Tn111111. …a1a2a3a4a2n1a2n
二、证明数列中的等式和不等式
1.数列{an} 满足:an=n,n2k1,(kN). a,n2k,k
(1)求值:a2a4a6…a14a16;
(2)若S2na1a2a3…a2n1a2n,求证:S2n4n1S2n1(n2).
数 列 有 关 证 明第4页
2.已知点(1,1)是函数f(x)ax(a0,且a1)的图象上一点,等比数列{an}的前n项和为 3
. f(n)c,数列{bn}(bn0)的首项为c,且前n项和Sn满足Sn-Sn1=Sn+Sn1(n2)
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{10001的最小正整数n是多少? }前n项和为Tn,问Tn>2009bnbn1
xy1恒成立. 3.实数集R上的函数f(x)对任意x,y满足f(xy)f(x)f(y)
(1)求f(0),f(1)的值;(2)设an=f(n),bn1,求证:b1b2…bn4. 1an
4.数列{an}的前n项和Sn,a12,Sn14an2(nN).
求证:(1)数列{an1-2an}是常数列;(2)
数 列 有 关 证 明第5页 a1na11a21…n. a21a31an112
5.已知数列{an}中,an=aan(n1),记bnnn1, 证明: 2an1an2nb1b2b3…bn2n3(nN).
6.已知数列{an}中,a1a,an1
(1)判断数列2(2n3)an4n10(nN). 2n1an2是否是等比数列; 2n1
1111…(n3). S3S4Sn10(2)数列{an}的前n项和Sn,a11,证明:
a(an1)(a0,a1). a1
2Sn (1)求an;(2)记bn1,若数列{bn}是等比数列,求a的值; an
111(3)在(2)中求得a值下,设cn,数列{cn}前n项和Tn,求证:Tn2n. 31an1an17.数列{an}的前n项和Sn
数 列 有 关 证 明第6页