小学数学教学论
第一章 小学数学课程目标
内容提要：恩格斯“数学是主要研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学” 第一节 数学发展简史概述
五个时期:萌芽时期，初等数学时期，变量数学时期，近代数学时期，现代数学时期
（一）萌芽时期 逐步产生自然数、分数及四则运算；形成常见的几何概念 特点：仍是片断的、零碎的、缺乏逻辑的，没有严密的体系
（二）初等数学时期 希腊：1.塔利斯，开始尝试对命题的证明；2.欧几里得，《几何原本》
特点：数学从具体的实验阶段过渡到抽象的理论阶段，数学逐步成为独立的、演绎的学科 中国：1.公元前1世纪，《周髀算经》有勾股定理的记载；2.在1世纪，《九章算术》有一元方程组的解法和正负数加减法的内容，标志着中国古代数学体系的形成；3.在3世纪，刘徽“割圆术”、5世纪，祖冲之把圆周率精确到小数点后七位，誉满数坛。
特点：算术、初等代数、初等几何、三角逐步成为独立学科
（三）变量数学时期 恩格斯《反杜林轮》中数学的转折点：笛卡尔的变量 变量数学是以笛卡尔的解析几何的建立为起点的
（四）近代数学时期 俄罗斯：罗巴契夫斯，非欧几何；
阿贝耳、伽罗瓦，近世代数的研究；古典代数以讨论方程解法为中心，近世代数的回想扩大为向量、矩形，转向对代数结构本身的研究
（五）现代数学时期
一，原子能的利用（1945年美国原子弹的爆炸）；二，计算机的发明（1945年第一台电子计算机产生）；三，空间技术的兴起（1957年苏联人造卫星上天）
综上看出：数学的发展从来是和生产实践和科学技术水平密切相关联。数学的发生和发展归根结蒂是生产实践决定。
第二节 数学在小学教育中的地位与作用
地位：数学是科学技术的基础；数学看作科学和技术的语言。“三位一体”基础课，工具课，文化课 作用：基础课，工具课和文化课。1）小学是义务教育的初级阶段，小学教育是基础的基础。2）数学是学习现代科学技术必不可少的基础和工具。3）数学是现在文化的重要组成部分，是一种文化。 第三节 制定小学数学课程标准的依据
课程目标是一定教育阶段中，学生学习某一门课程在德、智、体等方面应该达到的程度。 依据：小学教育的培养目标、数学学科的特点、小学生的认知发展水平
一、小学阶段的培养目标：初步具有爱祖国、爱人民、爱劳动、爱科学、爱社会主义的思想感情，初步养成关心他人、关系集体、认真负责、诚实、勤俭、勇敢、正直、合群、活泼向上等良好品德和个性品质，养成讲文明、讲礼貌、守纪律的行为习惯，初步具有自我管理以及分辨是非的能力。具有阅读、书写、表达、计算的基本知识和基本技能，了解一些生活、自然和社会常识，初步具有观察、思维、动手操作和自学的能力，养成良好的学习习惯。初步养成锻炼身体和讲究卫生的习惯，拥有健康的身体。具有较广泛的兴趣和健康的暧昧情操。初步学会生活自理，会试用简单的劳动工具，养成爱劳动的习惯。
二、数学学科的特点：（1）抽象性（2）逻辑性（3）应用的广泛性
三、小学生的认知发展水平：决定着小学数学教学中基础知识的广度、深度和学生的数学能力 儿童思维基本特点：以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，（但是很大程度上仍然是直接与感性经验相联系，仍然具有很大成分的具体形象性） 小学阶段适合学习直观几何（实验几何）。 第四节 小学数学课程目标
掌握数学的基础知识，培养初步的数学能力，培养良好的思想品德
一、掌握数学的基础知识，是小学数学课程的主要任务。
小学数学基础知识的范围：算术知识，代数知识，几何初步知识，计量初步知识，统计初步知识 小学数学基础知识的内容：概念、性质、法则、公式、方法
二、培养初步的数学能力，是小学数学课程的重要任务。
（初步数学思维能力的培养是核心，解决实际问题的能力是最终目的） 正确的四则计算能力（估算）
初步的数学思维能力（逻辑思维能力，形象思维能力，直觉思维能力）
1、初步的逻辑思维能力（是一种确定的、前后一贯的、有条理的、有根据的思维）
2、初步的形象思维能力（依托于形象材料的意会，从而对事物作出相关的理解和思考）基本形式：表象
3、初步的直觉思维能力（是一种整体的、高度简约的、跳跃式的思维）
初步的空间观念（是物体的大小、形状及其位置关系保留在人脑中的表象）
要求：一，要求学生听到某一图形的名称，就能在头脑中正确的再现它的形象；二，能够独立的看懂画出学过的图形，并掌握其名称；三，能在各种几何形体或模型中，正确的找出自己所需要的图形，并恰当的分类。
运用所学知识解决简单的实际问题的能力
三、培养良好的思想品德p15 第五节 从教学大纲看我国小学数学课程目标的演变
一、教学大纲是由国家教育主管部门制定或批准的，根据课程计划以纲要形式规定的，有关学科的教学目的、教学要求和教学内容的指导性文件。
二、教学大纲的指导作用：是教学质量评估的依据，是教材编写的依据，是教师进行教学的依据，是考试命题的依据。
三、建国前的小学算术课程标准：
1903年算术作为小学的一门课程，1923年改名算术，1978年改名数学 1903年清政府颁布《奏定学堂章程》，我国第一个以法令形式颁布的。并在全国推行的学制。 1912年公布《小学校训则及课程表》
这一时期，以“自谋生计”为主的功利主义目标，兼“精细心思”
《小学算术课程标准》1920，1929，1932，1948修改。内容：
1、增进儿童日常生活中关于数量的常识和观念。
2、培养儿童日程生活的计算能力。
3、养成计算敏捷和准确的习惯。未曾提出思维方面的要求。
四、建国后的小学数学课程目标： 第一阶段：百废待兴
1950年《小学算术课程暂行标准（草案）》
1、增进儿童关于新社会日常生活中数量的正确观念和常识。
2、指导儿童具有正确和敏捷的计算技术和能力。
3、训练儿童善于运用思考、推理、分析、总和和钻研问题的方法和习惯。
4、培养儿童爱国主义思想，并加强爱科学、爱护公共财务等国民公德。 第二阶段：全面学习苏联
1952年《小学算术教学大纲（草案）》 更名为教学大纲，提出“直观几何” 1956年《小学算术教学大纲（修订草案）》 第一次提出全面教育
缺点：不顾国情过低估计儿童智力发展水平第三阶段：改革后的“精雕细刻”
1963年《全日制小学算术教学大纲（草案）》
切合我国国情，
1、正式提出“牢固地掌握算术和珠算的基础知识”，把算术内容在小学讲完。
2、明确提出“空间观念”
3、照顾到既有利于升入高一级学校学习，又有利于直接参加生产劳动的需要；不足之处：没有提出思想教育的要求。
第四阶段：拨乱反正，适应四个现代化的建设。
1978年《全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）》
增加了代数的初步知识，注意渗透数学思考方法，把算术更名为数学，第一次从知识，能力，思想教育三方面明确数学教学的目标。
1986年《全日制小学数学教学大纲》
删去了“出不了解现代数学中的某些最简单的思想”，将“空间形式”改为“几何图形”，“思想政治教育”改为“思想品德教育” 第五阶段：实施义务教育
1992年《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》
教学目的包括：
1、使学生理解掌握数量关系和几何图形的最基础的知识。
2、是学生具有进行整数小数分数四则计算的能力，培养初步的逻辑思维能力和空间观念，能够运用所学的知识解决简单的实际问题。
3、使学生受到思想品得教育。
将三项目的分项提出，尤其是把思想品德教育单列出来，放在与知识，能力同等的重要位置。 知识部分“知道、理解、掌握、应用”；技能部分“会、比较熟练、熟练”
五、对我国小学数学课程目标演变的分析 课程名称：小学堂算学，小学算术，小学数学 指导思想：“自谋生计之需”→“适应进一步学习和直接参加生产劳动的需要”→“提高民族素质” 目标一次比一次明确，一次比一次充实，有继承有发展有借鉴有创新，反映历史时期政治经济对教育的要求，反映科学技术对数学教育的要求。
第二章 小学数学课程内容
教材是课程内容的载体，即教学材料。
广义：包括教科书、练习册、教学挂图、教学软件、音像等一切教师用于指导学生学习的教学材料。 狭义：只指教科书
作用：是小学数学教学目的的直接体现；是教师进行教学的凭借；是学生学习和认识的对象，是学生获取数学基础知识和基本技能的重要来源。 第一节 学科数学与科学数学的区别与联系
一、联系：科学数学是只考虑数学本身的内容、结构、特点及其理论意义、应用价值。
学科数学是在对学生教学时，依据一定的教育教学目的，把数学内容加以处理，即把数学的内容作为教学过程中的认识对象。
二、区别：
1、作为科学数学，可以不考虑人们是否理解，只要能完备而精确的阐明某些数学理论即可，一般从原理出发。作为学科数学，必须遵循儿童的认识规律和心理特征，所以往往要通过对结构化的物质材料进行操作，或者从日常生活、生产中的实例出发，然后由学生自己去发现其间的联系。
2、作为科学数学，对所有的定理。法则等都必须进行严格的论证和推导。作为学科数学，限于学生的接受水平，往往通过列举一些事例用不完全归纳得出结论。
3、作为科学数学，完全按照数学理论的逻辑系统进行安排，作为学科数学，在布影响科学性的前提下，兼顾儿童的认知规律，某些内容可以做适当调整，例如小数的编排
4、作为科学数学以完全揭示数量关系和空间形式为目的，作为学科数学，还要考虑如何有利于儿童学懂、学会、学活。
综上所述，科学数学是为作为人类认识的结果而呈现的，学科数学可视为认识对象而存在的。 第二节 小学数学教学内容的选取
一，选取的依据：
1、选择现代生活和进一步学习锁必需的最基础的数学知识。
2、适合小学生的接受能力。
3、根据九年义务教育的学制和小学课程计划设置教学内容
二，选取的四个兼顾：
1、兼顾当今与未来。
2、兼顾幼小与小中的衔接。
3、兼顾必要与可能。
4、兼顾统一与灵活。
三，教学内容的七个部分：数与计算，量与计量，比与比例，代数初步知识，几何初步知识，统计初步知识，应用题。
第三节 小学数学教材体系、结构和编排原则
一、小学数学教材的体系（单一式和综合式）
单一式：以正整数、正小数、正分数以及四则运算为主要内容。1949年以前为单一式 综合式：以算术为主，包括初步的代数和几何知识。1978年，正式构成。
二、小学数学教材的结构（布鲁纳）
教材结构指本门学科的基本原理和基本知识。
三、小学数学教材的编排原则
（一）以整数、小数、分数的基础知识以及四则运算为主线，以数形结合为重点，把各部分内容按其彼此的内在联系进行编排。
为什么以数形结合为重点？数缺形时少直观，形少数时难入微。
（二）由浅入深、循序渐进，适当分散、螺旋上升
1、教材内容编排分直线式和圆周式（又称螺旋式）
2、直线式是每一内容的编排由低到高，环环相扣，直线推进，不予重复
3、圆周式是针对学生的接受能力，按照深浅、难易的程度，使某些概念和原理重复出现，逐步扩展，螺旋上升。
4、数学内容的抽象性和小学生思维具有一定的具体形象性，这就决定着教材编排必须采用螺旋式。
5、四个循环圈：20以内的数，100以内的数，10000以内的数，多位数
（三）把基本概念、基本规律、基本方法置于教材的中心地位注意突出重点、分散难点
数突出整数、小数、分数的意义和性质。计算突出运算定律。应用题要抓住和差倍分四种基本数量关系。几何方面着重空间观念的培养。
重点：广义：数学知识中的飞跃，学生认识中的转折；狭义：某部分知识中能起到承上启下作用的知识点，也就是学生认识中的生长点p36案例
难点：指学生在学习中普遍感到困难的知识点，也就是说，完全是依据学生的接受能力来确定的。
（四）寓教学方法于教学编写之中，促进学生的智能发展
（五）把数学知识和数学应用结合起来 第四节 国内外小学数学教材的改革
一、我国小学数学教材的演进
1903年数学作为一门课程列入我国中小学的教学计划，清末
（一）清末民初到1949年以前
1892年狄考文和邵立文同写《笔算数学》是我国学校里的第一部算术教科书
1898年戊戌变法后，光绪下令将各书院改名为学堂，并设算学，自此以后小学有了算学课，但当下还没有专供小学使用的教科书。
由商务印书馆依蔡元培先生的计划编了一套《最新教科书》，其中包括《最新初小算术教科书》，小学算术课本正式问世。
20世纪30年代我国广为采用的是商务印书馆出版的《复兴初小算术课本》（9册）及《复兴高小算术课本》（4册），并配有《复兴算术教学法》供教师教学时参考
（二）新中国成立后
北方：以刘松涛等编的老解放区教材作为算术课本 南方：以俞子夷编的教材作为课本 1978年根据颁布的《全日制十年制小学数学教学大纲（试行草案）》编写了全国小学通用教材《数学》（试用本）10册：采取精选（精选传统算术内容）、增加（适当增加代数、几何初步知识）、参透（适当参透集合、函数、统计等数学思想）的方针
二、我国义务教育教材改革的决策
1985年开始，对义务教育的教材改革和建设做出一系列的决策 提倡“一纲多本” 实行“编审分开”
逐步建立一支相对稳定的三结合教材编写队伍 大力加强教育科学研究，开展教材评价工作
三、国外小学数学内容的改革趋势
1、精选传统的四则运算，增加近代、现代数学知识，提倡广而浅
2、重视现代数学思想方法的渗透 变换思想，模型方法，坐标方法
3、提倡“问题解决”和数学应用
4、重视运用计算机进行辅助教学
第三章 小学数学学习概论
（一）
第一节
数学学习的含义
一、学习的本质
广义的学习：人类与动物所共有的，是指经验的获得以及行为倾向较持久的变化过程。
1.学习的主体必须产生某种变化；2.这种变化是相对持久的；3.主体的变化是在主体与环境的相互作用中产生的。
狭义的学习：指学生在教育情境中的学习，是学生凭借经验产生的，按照教育目标有目的、有组织的进行较持久的行为倾向的变化过程。
1.学生获得的经验是前人所积累的科学文化知识，即间接经验 2.学习是教师有目的、有计划、有组织的指导下进行的 3.用前人的间接经验武装自己，不必事事实践 4.以明确的教育目标为标准
二、数学学习的含义
数学学习的本质是学生获取数学知识，形成数学技能和能力的一种思维活动过程
三、数学学习的特点
1、小学生的学学学习是个逐步抽象的、具体形象思维与抽象逻辑思维相互促进的过程。
2、小学生数学学习是一种符号化形式与生活实际相结合的学习。 第二节
认知学习理论对数学学习的启示
一、皮亚杰的发生认识论
皮亚杰，瑞士，创立了发生认识论的理论体系，最早研究儿童认识的发展。 皮亚杰的基本观点：
① 发生认识论：
1、人类的认识起因于主体与客体之间的相互作用。
2、认知结构的发展是经过不断的同化、顺应而适应平衡的。
3、当外界刺激与原来的认知结构相一致时，则同化于原认知结构之中，即类化新经验。
4、当外界刺激与原认知结构不相一致时，在适应中受阻，就发生了不平衡，产生顺应的过程，即要通过改组，重建新的认知结构。
（同化是认知内容的扩大，即量的增加，属于认知结构过度的增加。顺应是认知内容的改变，即质的不同，属于认知深度的增长）
② 认知发展阶段论：
1、数学思维实质上是一种动作。
2、运算是他的思维逻辑分析中的核心概念，是划分儿童认知发展的主要标志。 感知运动阶段（0~2），前运算阶段（2~7），具体运算阶段（7~
11、12），形式运算阶段（
11、12~
14、15） 发生认知论对小学数学学习的启示：
1、强调活动、操作对认知发展的价值
2、揭示同化、顺应、平衡的构建过程，重视认知结构的作用
3、在数学中要不断设计“不平衡”的问题情境。“学贵知疑”
二、布鲁纳的认知-发现学习理论
（美国） 认知-发现理论的基本观点：
1、强调儿童的认知发展序列
2、强调学科的基本结构
3、提倡发现法
对数学学习的启示：
1、突出学习的认知过程，明确知识结构的含义
2、发现法对小学数学教学的作用
三、奥苏泊尔的认知—接受学习理论 认知-接受学习理论基本观点：
1、对学习进行两个维度的分类：按学习内容：有意义学习和机械学习；按学习方式：发现学习和机械学习
2、有意义的接受学习所需具备的两个条件：一是学习材料对原认知结构必须有潜在的意义；二是学习者必须具有这种有意义学习的心向。 对小学数学学习的启示：
1、学习的分类比较科学合理，避免随意偏废一方
2、影响学习的唯一重要的因素是学习者已经知道了什么 第三节 小学数学学习的基本形式与过程
一、数学学习的两种基本形式：
按学习深度：机械学习和有意义学习 按学习方式：接受学习和发现学习
发现学习适合于低年级学生，用于学习内容比较简单 接受学习适合于高年级学生，用于学习内容比较复杂
二、小学数学学习的基本过程 学习过程的几种模式
我国传统的学习模式：知行相结合的过程
环状模式：列昂节夫，把学习过程的开始与终结联系起来，是整个过程不断发展深化，强调反馈环节对学习起检查、评价、核对和调节的作用。
阶梯模式：加涅，作为一个信息加工的流程。
学习的基本过程：动机的激发，知识的感知，知识的理解，知识的巩固，知识的应用
三、影响小学生学习数学的因素
学习动机和兴趣（学习动机是直接推动学生进行学习的内部力量；学习兴趣是学习动机中表现最活跃、最现实、带有强烈情绪色彩的因素） 数学认知结构的组织水平 思维水平
学习策略指学生完成学习任务的过程中对自己所采纳的程序、途径、方法和手段进行选择、运用和调整。
1、把新知识转化为旧知识的学习策略
2、“不仅知其然，而知其所以然”的学习策略
3、“举一得三”和“得一反三”的学习策略
4、适时形成知识网络的学习策略
5、从陈述性知识转化成程序性知识的学习策略 第四节 小学数学学习迁移
迁移是指一种学习对另一种学习的影响，这种影响包括知识、技能方面，还包括方法、态度方面。
一、迁移的种类
顺向迁移：先前学习对后继学习的影响 逆向迁移：后继学习对先前学习的影响
正迁移：一种学习对另一种学习起积极作用（促进作用） 负迁移：一种学习对另一种学习起消极作用（干扰作用）
垂直迁移：是纵向延伸，指两种学习在不同水平上的迁移，由下而上的上升性和由上而下的演绎性 水平迁移：指同一层次的学习内容的相互影响，其学习内容的逻辑关系是并列的，如锐角和钝角
二、影响学习迁移的主要因素 学习材料之间的共同因素 已有知识的概化程度
已有知识的可辨性和稳定性 学生的智力水平
心理定势：是指学习过程中思维活动所具有的心理准备状态，往往表现为一种思维趋势
三、小学生数学学习迁移的特点 实现知识、技能的迁移较易 实现数学思考方法的迁移较难 易受狭隘的思维定式的干扰
