中美数学问题解决案例比较
赵小云
( 杭州师范学院数学系, 浙江杭州 310036)
[ 摘要]近年来, 中美两国的数学教育都十分重视"问题解决", 把它作为数学教学目标之
一.在此, 通过对两国同一数学内容的问题解决教学案例进行比较, 分析各自在教学目标、教学引入、教学内容、教学方法及教学效果方面的优势与不足, 对指导我国新一轮课程改革和教学改革具有参考意义.[ 关键词] 教学案例; 数学问题解决
中图分类号: G633.6 文献标识码: A 文章编号: 1003-7667( 2007) 05-0079-04
作者简介: 赵小云( 1962-) , 男, 浙江东阳人, 杭州师范学院数学系副教授、硕士.
一、问题的提出
从80 年代美国提出问题解决至今, 我国学者对数学问题解决的研究已经相当深入, 包括理论探讨、实施细节、方法策略、评价标准, 等等, 但对其跨文化比较研究还十分欠缺.对数学问题解决教学的个性与共性进行比较研究, 能使我们认识到自身的不足与问题的所在.同时, 通过比较研究, 突现出我国在数学问题解决教育中的特点、长处及所取得的成就, 向国外介绍我国的数学教育成就和经验, 共同提高国际数学教育水平.本文以相似三角形为教学案例进行分析.
二、两国数学问题解决教学案例及其比较分析
( 一) 教学目标的比较与分析
我国的教学目标:( 1) 掌握相似三角形的判定定理和性质定理的直接、间接以及综合运用方法;( 2) 了解相似三角形在实际生活中运用的意义, 初步掌握这类应用问题的类型及问题解决的过程和方法.[1]
美国的教学目标:( 1) 使学生能够在问题解决过程中建立新的数学知识———掌握相似三角形的判定和性质定理;( 2) 针对课堂上的问题建立公式、表示、抽象和推广;( 3) 运用各种不同的策略解决问题并能够迁移到其他情境当中.[2]
两国在教学中都把课题所学的知识与生活中的实际问题及所连带出的相关问题联系起来, 都注重把实际问题抽象成数学问题的过程的教学,使学生掌握分析和解决实际问题的策略与方法.相比之下, 我国对学生要求更高, 因为教学目标不仅要求学生解决实际问题, 而且要求学生熟练掌握复杂证明题的解答, 培养学生抽象概括能力、辩证思维能力、数学表达 能力等;美国的教学目标注重发展学生学习数学的思维方法、情感, 没有给学生增加抽象证明题, 一般通过解决课堂知识的实际应用所连带出的相关问题, 拓宽学生的认知领域.( 二) 教学引入的比较与分析
我国的教学引入是比较传统的方法, 即通过几道证明题来回顾相似三角形的一般证明方法,从中先复习判定和性质定理, 而后再引出实际问中美数学问题的解决。
美国的教学课中教师引入了测距仪, 因为它的原理就是相似三角形的性质.课中, 美国教师先出示了一个自己制作的构造简单的测距仪, 这种呈现无疑吸引了学生的兴趣.接着, 教师与学生共同回顾相似三角形的性质, 尤其是怎样把相似三角形的性质运用于简单的测距仪中, 一旦学生开始了解测距仪的构造及工作原理, 教师就允许他们使用测距仪测量距离.
美国的教育注重对学生能力的培养, 注重启发学生的学习兴趣, 注重培养学生成为一个好的学习者.美国大多数学生不喜欢数学, 认为数学只不过就是一些空洞的符号和推理,
毫无实用价值,因此学习数学毫无意义.[3]
在这种情况下, 如何激发学生的学习兴趣, 如何把学生吸引到学习的过程中来, 如何使学生认识到他们所学的知识和现实世界的联系, 如何提高他们的学习能力和问题解决的能力, 就是教师努力的方向.在这个教学案例中, 美国教师就通过直观教学, 即介绍测距仪的工作原理来回顾相似三角形的性质, 教师并没有给出典型的相似三角形判定和利用其性质定理的例子, 与我国直接给出若干证明问题的引出大相径庭.美国的教学擅长让学生明确数学来源于生活, 数学知识的学习具有实际的意义, 这激发了广大学生的兴趣, 促进了他们学习抽象数学的积极性.
( 三) 教学内容的比较与分析
1.中美两国教学内容简介
我国问题解决教学的内容来源于课本, 首先给出了若干证明题, [4]让学生们独立思考, 然后进行小组合作, 交流解法, 找出最佳的证明方法和规律; 接着给出两道实际问题.学生根据问题解决一般步骤, 在老师指导下运用定理对上述两题进行解答.美国则通过活动教学, 即在实际操作中体会相似三角形的性质.学生在室外进行活动操作时的步骤是: 学生来到草地, 先把一根 2 米高的旗杆放在远处, 杆顶挂一面小红旗, 学生通过调整测距仪, 从测距仪上有 2 厘米高的小狭缝中看到小旗顶端, 再测出眼睛到小狭缝的距离, 利用相似三角形的性质就能计算出旗杆离学生的未知距离.学生们根据相似三角形的性质可以得出以下结论:
眼睛到小缝的距离
小缝的高度眼睛到旗杆的距离（未旗杆的高度知）
教师向学生提问,"等式在任何情况下都准确吗? "一些学生意识到如果使用者并不是在地平面观察, 那么图 1 中两个讨论的相似三角形并不绝对相似.这样, 给出的等式左右两边就不相等, 只是一个近似值而已.
接着, 教师提问学生:"出现的误差是否重要? "学生们在课上通过独立思考与合作交流的方式, 运用所学的相似三角形的性质和判定定理等知识来得出近视距离与实际距离差异的公式.
2.比较与分析
在课堂教学内容方面, 我国喜欢根据数学知识的内在结构发展一节课内各部分内容间的联系.数学题的题量较大, 包括一定的证明题, 以求能提高学生运用性质定理和判定定理熟练解决常规问题的能力及逻辑思维能力等, 解决问题的效率较高; 同时, 也给出了一定量的生活实际问题,需要学生联系实际, 画出图表, 并把这些问题转化为数学问题进行解决.可以看出, 这些实际问题与美国的实践内容是差不多的.但我国的教学过程严格按照问题解决的一般步骤, 学生仍旧是倾向于熟练掌握解答或证明的技巧, 教师忽视了对学生发现问题、提出问题和兴趣的培养等.
美国教师教学内容则更广泛地包括课内外的各种论题, 很少涉及到证明题, 内容要比我国的简单, 学生擅长运用一些实际的问题, 而对抽象的证明题无所适从, 教学过程倾向于两个阶段: 知识的获取和知识的应用.就如美国这个课题教学, 是通过学生亲身操作测距仪测量未知距离, 从中体会相似三角形性质定理的具体运用, 并从实际操作中发现问题, 分析问题, 解决问题.在教学结构的各个环节中更注重向学生展示数学知识的形成过程, 让学生在过程中体验知识的产生、发展和完善, 并通过组织积极有效的数学活动, 发展学生数学构建意识和探索创新能力, 通过观察、实验、尝试等, 发展学生的直觉思维能力、合情推理能力, 为数学知识的逻辑化过程提供了充分的感性认识, 从而降低了抽象的逻辑化过程的难度.并且, 通过解决实际问题培养学生的应用意识, 积累问题解决的经验.另外, 美国学生能够在动手操作中发现新的问题.因为美国学生在亲身实践中发现或受启发而认识到这一点: 若人与旗杆不在一个平面时, 情况会不同, 考虑答案又会怎样? 先前得出的公式仍然成立吗? 若成立, 则算出的结果与实际值有误差吗? 这样的学习完全是主动参与和善于发现问题的, 学生充满了探索热情, 积极地进行误差的计算, 其中又对相似三角形的判定进行了复习与运用.
( 四) 教学方法手段的比较与分析
我国教师在启发学生解典型的相似三角形判
定的证明题时, 一般的步骤是: 若相似三角形不明显, 则先启发学生寻找两个相似三角形, 再由结论引出判定的方法, 让学生选择合适的一种, 接着要求学生写出证题思路, 提出变式训练, 改变条件和结论.在启发学生解决实际问题时, 首先把它转化为数学问题, 学生在老师的启示下找出已知条件和未知条件, 画出图形, 写出已知、所求.接着, 教师要求学生思考解决方法, 小组合作交流解法; 然后, 通过教师的启发, 学生的尝试, 设立未知数, 解决这个问题.美国教师教学中也用了启发式教学, 在操作中启发学生用具体的数学公式来表示怎样计算所要测量的距离; 得出普遍结论后, 又提示是否有特殊情况存在, 启发学生想到如果人与杆不在同一水平地面时的情况; 特别在学生计算误差中又提出了数学公式.比较两国教师的启发方法, 我们可以看出我国教师意图在启发中教会学生解决问题的一般步骤方法, 起引导解题思路的作用.美国教师则更关注让学生在解决问题、得出公式的同时发现问题,在数学的学习中领略数学美, 进行情感教育.两国在问题解决教学过程中都运用了直观教学法, 但美国教师的教学直观性更优于我国教师,直观教具的出示远比让学生画图更形象生动, 更能激发学生的学习兴趣, 化抽象为具体.而且美国的教学中还有活动课部分, 创设一定的情境让学生在动手操作中学会数学的应用, 真正体现了寓教于乐.此外, 两国在教学过程中都用了小组合作交流学习的方法, 拓宽了解题的思路, 增加了解题的方法, 在问题解决的过程中, 提倡学生互相交流、合作, 这样能发现多种解决问题的方法.在合作交流中学生更重要的是自己发现问题, 深入研究, 进行发散性思考, 得出结论, 勇于与他人交流,哪怕这个结论不一定正确或合理.
( 五) 教学最终效果的比较与分析
我国数学问题解决教学的最后总结回顾了本章节所用到的方法和规律, 如证明角相等的方法、证明边相等的方法、证明线段等积式和比例式的方法、求线段长的方法、平移思想和实际问题抽象成数学问题的方法等, 并要求撰写课题学习报告,提出了若干要求.
美国教学只是总结影响误差的因素.首先, 误差与观察者眼睛离地面的高度和所测的真实距离的比率成正比, 这个比率越小越好; 其次, 误差是与观察者眼睛的高度和旗杆的高度的差成正比,如果它们相等, 那么误差就为零.通过教学与总结, 我国教师的教学使学生熟练地掌握了运用相似三角形的判定定理和性质定理证明常规问题, 并会解决与之相关的实际问题, 从而对于问题解决的一般步骤比较了解,常规策略能运用自如, 并培养了抽象概括能力、逻辑思维能力, 形成了个人独立思考与小组合作交流相结合的良好方法.在这方面, 我国学生解决问题的能力的确强于美国学生.但从另一方面来看, 美国教师的教学全面调动了学生的积极性,把源于生活娱乐的问题搬进了课堂, 在愉快教育的同时, 学生又获得了能力的培养, 掌握了一样现实生活中的操作技能, 同时, 对几何这一课时的内容有了基本的了解, 能够解决常规的计算题,虽然对证明类型的题目并不擅长, 但培养了发现问题, 提出问题的能力.这样, 使他们感受到"生活中处处有数学, 处处要用到数学", 激发他们对日常生活问题探讨的兴趣, 真正体现了数学的应用价值.
三、结论与思考
通过上面的比较分析我们可以看到, 我国注重学生问题解决的一般步骤和方法, 从而培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力的优点值得我们继续发扬; 而美国那种把源于生活
和娱乐的问题搬进课堂, 全面调动学生的积极性, 在愉快教育的同时, 帮助学生获得了能力, 掌握了现实生活中的操作技能, 这都是值得我们今后学习和借鉴的.培养学生发现问题, 提出问题的能力, 使他们感受到"生活中处处有数学, 处处要用到数学", 从而激发学生对日常生活问题探讨的兴趣, 真正体现数学的应用价值, 这是我国数学教育中的弱点.
1.提供有吸引力的学习背景, 注重学生兴趣和个性的发展
教师在教学中, 应该根据学生、教学内容、教学环境的具体情况, 注重数学与现实世界的联系,营造一种现实而有吸引力的学习背景, 激发学生学习数学的兴趣与动机, 让学生在自然的情境中,在教师的帮助下自己动手、动脑"做数学", 用观察、模仿、实验、猜想等手段收集资料, 获得体验,从而学会运用数学解决生活中的问题.
2.注重自主探索与合作交流, 使学生多方面的能力得到培养
问题解决教学方式要体现教学以发展学生的能力为主的教育观念.教学方式要提供给学生这样一种学习环境: 学生要进行调查探索运用数学方法去思考、判断和推理.学生们要进行交流与合作, 要面对各种各样的挑战.问题解决的过程是对学生多方面能力培养的过程, 特别是数学思维和运用数学的能力的培养.数学目标是借助数学问题引进的, 需要进行一系列的主题活动和问题解决活动, 学生通过小组合作或独立作业进行, 每部分结束时要进行问题的总结, 旨在综合和巩固学生所学过的知识和技能.
3.重视对学生提出问题、发现问题能力的培养
问题提出的本质是让学生经历"补充数学, 而不仅仅是吸收数学, 并且新观点新思想的产生是数学思维的一个重要的令人激动的方面".只有让学生真正地认识到"发现———提出问题"的重要性, 才能使学生自觉地去注意世界、观察世界, 以探究的眼光去看待问题, 提出有质量的问题, 进而使学生产生强烈的兴趣, 达到教学的目的.故在问题解决教学中, 教师要重视培养学生发现问题、提出问题的能力, 保护学生提出问题的积极性; 教师也要讲究提问的艺术, 要合乎情理, 力求自然.
4.重视对学生情感态度、价值观的培养
问题解决教学应重视培养学生的情感态度与价值观, 提高学生学习数学的信心.学习数学的过程应当成为积极的、愉快的和富于想象的过程, 教学中让学生形成积极的情感体验, 如教学中穿插一些体现数学美、揭示数学发展史的小篇章等, 使学生学习数学时不再望而生畏, 促进学生主动学习与探索.
参考文献:
[ 1][ 4] 李红婷.数学"问题解决教学"课堂教学纪实与评析
[ J] .山东教育, 2001,( 3) : 50- 55.
[ 2][ 5] Paul M.Cuicchi and Paul S.Hutchison.Using a Simple
Optical Rangefinder to Teach Similar Triangles.Mathemat-
ics Teacher, Vol.96, No.3, 2003, 3: 166- 168.
[ 3] 史炳星.美国数学教育中的问题解决[ J] .北京教育学院
学报, 1998,( 1) : 33- 37.
