数学分析课程教学大纲
课程名称：数学分析/ Mathematical Analysis
学时/学分：264学时/18学分 （其中课内学时264学时，实验上机0学时） 先修课程：初等数学
适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学 开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院
一、课程的性质与任务
数学分析是数学与应用数学专业一门重要的基础课。学好本课程为进一步学习微分方程、复变函数、数值计算方法以及概率论等后继课程必将打下坚实的基础。通过本课程的学习有助于学生树立辩证唯物主义思想和观点，有助于培养学生严密的逻辑思维能力和较强的抽象思维能力。本课程以极限为工具，研究函数的微分和积分的一门学科，其主要内容包括极限论、一元微积分理论、多元微积分和级数等四大部分。理论学时共264学时，分三学期完成：《数学分析I*》88学时；《数学分析II*》88学时；《数学分析III*》88学时。
其任务是：通过本课程的学习，使学生达到：
1、对极限思想和极限方法有深刻的认识，从而树立辩证唯物主义观点。
2、掌握数学分析的基本知识和基本理论，能熟练地进行基本运算（如求极限、导数、微分和积分等），并具有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以及分析论证能力。
3、能应用微积分方法解决一定的实际问题。
二、《数学分析I*》课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学时88）
（一）函数 6学时
1、熟练掌握函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等概念。
2、会求函数的定义域。
3、了解函数的各种表示法，掌握分析（或解析）表示法特别对分段表示的函数要很好地理解。
4、熟悉基本初等函数，初等函数。
重点：函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等概念。 难点：反函数、复合函数的概念。
（二）极限 28学时
1、掌握数列极限、函数极限、无穷小量、无穷大量及确界概念，对极限的否定形式要有所了解。
2、会用“ε-N”，“ε-δ”，“ε-A”方法处理极限问题。
3、对下述性质与定理，如唯一性、有界性、保号性、柯西收敛定理和海涅定理等，能准确地叙述并会证明。
4、会运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理及两个重要极限熟练地求极限。
5、理解无穷小量、无穷大量的概念，并会用无穷小量、无穷大量的性质处理极限问题。 重点：极限的相关概念及其相关理论。
难点：极限的概念，柯西收敛定理和海涅定理。
（三）连续函数 8学时
1、理解一点连续、单侧连续与区间上连续的定义；理解间断点及其分类概念。理解保号性，有界性，四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性。
2、会准确叙述并会证明闭区间上连续函数的介值性，有界性，最值定理；一致连续定理（一致连续性定理的证明可不作要求），并进行相关证明。
3、了解初等函数的连续性。
重点：函数连续的概念及其相关性质。
难点：一点处连续、左右连续的概念和性质。
（四）实数的连续性 9学时
1、准确地叙述并会证明实数系的几个基本定理
区间套定理，确界概念，确界存在定理，单调有界数列极限存在定理，聚点原理，收敛准则，有限覆盖定理。
2、会用上述定理处理某些证明问题。
重点：用实数的连续性的几个定理处理有关证明问题。 难点：实数的连续性几个定理的证明及其等价性。
（五）导数与微分 14学时
1、掌握导数（包括单侧导数与导函数）的概念，熟悉它的几何意义，掌握可导与连续的关系。
2、能熟练地应用导数定义与四则运算，复合函数的导数，反函数的导数，基本公式表，隐函数求导法，参数方程求导法求函数的导数。
3、会求一些函数的高阶导数。
4、理解微分的定义，微分的几何意义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式的不变法，会用微分进行近似计算。
重点：导数（包括单侧导数与导函数）微分的概念，导数微分的计算。 难点：导数（包括单侧导数函数）微分的概念
（六）微分中值定理及泰勒公式，导数的应用 23学时
1、能正确叙述并证明费尔马引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。
2、会用中值定理证明一些恒等式与不等式。
3、会求一些简单函数的泰勒展开式。
4、能熟练地应用洛毕大法则求不定型的极限。
0""型与""型(型不证),其它形式的不定型转化成以上两种形式的不定型。 0
5、函数单调性判别法。理解函数单调的充要条件，函数严格单调的充要条件，应用函数的单调性证明不等式。
6、理解极值概念，极值判别法，最大值与最小值概念，能熟练地求函数的极值和最大（小）值。
7、理解函数的凹凸性，拐点，渐近线等概念，会用有关的知识讨论函数的凹凸性及拐点，能应用导数较正确地作出函数的图像。
重点：中值定理的相关应用。 难点：中值定理的证明。
三、《数学分析II*》课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学时88）
（一）不定积分 18学时
1、掌握原函数与不定积分的概念，熟记基本积分表，理解线性运算法则。
2、熟练掌握换元积分法与分部积分法。
3、掌握有理函数积分法，三角函数有理式的积分。
4、掌握简单无理函数的积分。 重点：不定积分计算
难点：原函数与不定积分的概念，无理函数的积分。
（二）定积分 18学时
1、掌握定积分概念。
2、可积的必要条件。理解大和与小和及其性质，可积的充要条件。
3、理解可积的充要条件，并能应用它判断或证明函数的可积性（包括可积函数类）。
4、定积分的性质。熟悉定积分的线性，有限可加性，单调性，绝对可积性，积分中值定理。
5、理解可变上限的定积分的性质并能熟练的处理相关问题。
6、能熟练应用牛顿——莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法计算定积分。
7、了解定积分的近似计算方法。
重点：可积理论，定积分的性质与计算。 难点：大小和的性质，可积准则。
（三）定积分的应用 10学时
1、会用微元法解决几何、物理中的一些问题。
2、掌握平面图形的面积，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的侧面积，曲线的弧长与曲率。
3、定积分在物理上的应用：会求压力、功、静力矩、重心。 重点：几何与物理上的应用。 难点：微元法思想。
（四）级数 42学时
1、数项级数
（1）掌握无穷级数的收敛、发散、和、绝对收敛及条件收敛等概念。 （2）掌握收敛级数的性质（包括绝对收敛与条件收敛的性质）。 （3）熟练掌握正项级数的敛散性判别法。
（4）掌握交错级数的莱布尼兹判别法，理解任意项级数的狄利克雷、阿贝耳判别法。 （5）了解级数的重排性质（黎曼定理不证明）。 重点：级数收敛的性质，正项级数收敛判别法。
难点：级数收敛的定义，绝对收敛及条件收敛等概念及其判别。
2、数项级数
（1）理解收敛域、极限函数、和函数和一致收敛等概念。
（2）熟练掌握优级数判别法；理解狄利克雷判别法、阿贝耳判别法。
（3）理解函数列的极限函数的连续性、可积性、可微性、函数项级数的和函数的连续性、可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分）。会用性质处理一些相关问题。
重点：函数项级数一致收敛的性质、和函数的分析性质。 难点：函数项级数一致收敛的概念。
3、幂级数
（1）理解幂级数、函数的泰勒级数的概念，了解函数可展成泰勒级数的条件。
（2）掌握幂级数的内闭一致收敛性，和函数的连续性，可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分）。
（3）熟练掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求法。 （4）能用幂级数做某些近似计算。
重点：幂级数收敛的性质，和函数的性质和计算。 难点：和函数的计算。
4、傅里叶哀级数
（1）掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念。 （2）能正确叙述傅里叶级数收敛性判别法。 （3）能将一些函数展成傅里叶级数。
重点：傅里叶级数收敛定理及函数的傅里叶级数的展开。 难点：傅里叶级数收敛定理的证明（可不做要求）。
四、《数学分析III*》课程的教学内容、基本要求与学时分配（总学时88学时）
（一）多元函数及其连续性 10学时
1、掌握平面点集的有关概念，多元函数的极限，累次极限以及连续性等概念。
2、了解闭区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理以及多元连续函数的性质。 重点：多元函数的极限、累次极限以及连续性等概念，多元函数的性质 难点：平面点集的概念，多元函数极限的概念。
（二）多元函数微分学 14学时
1、掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数等概念。
2、掌握全微分、偏导数、连续三者之间的关系。
3、会求函数的偏导数、全微分、方向导数。
4、了解多元函数的泰勒公式。
5、理解极值和最值的概念，掌握极值的必要条件，充分条件，会求多员函数的极值和某些函数的最大（小）值。
重点：偏导数、全微分的概念和计算，极值和最值的判别和计算。 难点：全微分的概念，泰勒公式。
（三）隐函数 14学时
1、了解隐函数、函数行列式、条件极值的概念。
2、能用隐函数存在定理判别隐函数的存在性，会求隐函数的导数或偏导数。
3、理解条件极值的概念及Lagrange's乘数法。会求多元函数的条件极值。
4、会求曲线的切线方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程。 重点：隐函数的概念和存在定理的应用。 难点：隐函数存在定理的证明。
（四）反常积分与含有参变量的积分 14学时
1、掌握反常积分（无穷积分、瑕积分）收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。
2、能用收敛性判别法判断一些广义积分的敛散性。
3、理解含有参变量积分的概念和分析性质，了解Г-函数、-函数的性质。
4、能用收敛性判别法判断一些广义含参积分的敛散性。
重点：反常积分与含参积分收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的性质与判别.难点：含参积分的分析性质的证明。
（五）重积分 18学时
1、理解二重积分与三重积分的概念。
2、理解二重积分与三重积分的性质。
3、掌握直角坐标系及极坐标系下二重积分的计算方法，能将三重积分化为累次积分，并利用柱面坐标、球面坐标计算三重积分。
4、会求一些图形的面积、体积以及一些物体的质量和重心。 重点：二重积分与三重积分的计算。 难点：二重积分与三重积分换元积分法。
（六）曲线积分与曲面积分 18学时
1、理解第一型曲线积分及第二型曲线积分的定义、性质，掌握第一型、第二型曲线积分的计算方法，了解第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系；掌握格林公式。
2、理解第一型曲面积分的定义、性质；第二型曲面积分的定义、性质，掌握第一型、第二型曲面积分的计算方法，了解第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系；理解奥——高公式,了解斯托克斯公式。
3、了解场论初步。
重点：第
一、第二曲线积分与曲面积分的计算，格林公式与高斯公式。 难点：第
一、第二曲线积分与曲面积分的概念，斯托克斯公式。
五、推荐教材和主要参考书：
1、推荐教材：
(1)刘玉琏 等编著，《数学分析讲义》（上、下册）北京：高等教育出版，第四版，2003。
2、推荐参考书： (1)谢惠民等，《数学分析讲义》（上、下册），北京： 高等教育出版。 (2)陈纪修等著，《数学分析》（上、下册，北京： 高等教育出版。 (3)华东师范大学数学系 著，《数学分析 》（上、下册），北京：高等教育出版。 (4)裴礼文 著，《数学分析典型问题与方法》，北京：高等教育出版社出版。
大纲制订者：刘学飞
大纲审定者： 组合数学课程教学大纲
课程名称：组合数学/ Combinatory Mathematics 学时/学分： 48学时/3学分 (上机实验0学时）
先修课程：数学分析/高等数学、高等代数/线性代数、离散数学、运筹学。 适用专业：数学与应用数学模块2/数学与应用数学模块1 开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院
一、课程的性质与任务
《组合数学》是数学与应用数学专业的一门选修基础课程本课程的任务是介绍组合分析的基础知识、基本原理和基本方法。目的与任务是为学习算法分析奠定基础。
二、课程内容、基本要求与学时分配
（一）排列与组合
9学时
1 理解加法原理与乘法原理的基本含义。 2 理解排列与组合的定义。
3 掌握排列的生成算法和邻位互换算法。 4 理解组合的生成。
5 能求解允许重复的组合问题。 6 能给出常用等式的组合意义。 7 掌握排列与组合的应用实例。 8 理解Stirling近似公式。
重点：排列的生成算法和邻位互换算法。 难点：Stirling近似公式及其应用。
（二）母函数与递推关系
13学时
1 掌握母函数的概念和它的基本性质及其应用。 2 掌握递推关系及其应用。 3 掌握常系数递推关系的求解。
4 了解整数拆分及相关性质和Ferrers图象。 5 理解指数型母函数。
6 掌握母函数与递推关系的应用实例。
7 掌握错排问题、Stirling数、Catalan数的组合意义及相关结论。 重点：母函数的概念及其基本性质与其应用。
难点：错排问题、Catalan数的组合意义及相关结论。
（三）容斥原理与鸽巢原理
12学时
1 掌握容斥原理及其应用。 2 会解错排问题。
3 会熟练地解决有限制排列。 4 了解Mobius反演。
5 掌握鸽巢原理及其应用。
6 会解决简单的Ramsey问题并记住常见的Ramsey数。 重点：容斥原理、鸽巢原理及其应用。 难点：Ramsey问题。
（四） Polya定理
7学时 1 了解群的有关概念。 2 了解置换群的概念。
3 掌握循环群的基本性质。
4 了解Burnside引理的条件与结论。
5 理解Polya定理的基本内容，掌握Polya定理的应用。 6 了解母函数的Polya定理。 7 掌握图的计数方法。
重点：置换群、循环群的基本性质。 难点：Polya定理及其应用。
（五）区组设计与编码
7学时
1 了解拉丁方的概念。 2 了解域的有关概念。
3 掌握Galois域GF(pn)上的多项式的运算。 4 了解正交拉丁方。
5 掌握均衡不完全的区组设计（BIBD）的基本原理。 6 了解GF(p)域上的射影空间的有关概念。
7 理解Hadamard矩阵，掌握Hadamard矩阵的构成。 8 了解编码理论的基本概念。
9 了解线性码和Hamming码、陪集译码法、BIBD和编码。 重点：均衡不完全的区组设计（BIBD）的基本原理。 难点：陪集译码法、BIBD和编码。
三、推荐教材和主要参考书
1 推荐教材：
（1）卢开澄，组合数学,北京：清华大学出版社,1999。 2 主要参考书：
（1） L.Comet.谭明术等译，高等组合学，大连：大连理工大学出版社，1991。 （2）柯召等，组合论，北京：科学出版社，1981。 （3）柳柏濂，组合矩阵论，北京：科学出版社，1996。 注：对模块1/2的课时分别用/分开。
大纲制订者：刘学飞 大纲审定者：
泛函分析课程教学大纲
课程名称：泛函分析/ Functional Analysis 学时/学分：64学时/4学分 （其中课内学时64学时，实验上机0学时） 先修课程：数学分析，高等代数，复变函数，实变函数 适用专业：数学与应用数学 开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院
一、课程的任务与性质
泛函分析是数学与应用数学本科专业的一门重要的专业必修课程，是数学分析，高等代数，复变函数，实变函数的后续课程，是了解近代数学的一个窗口。它对加强学生的数学修养具有十分重要的意义。其任务是使学生学会和养成使用抽象的分析方法，为学习现代数学打下良好的基础。
二、课程内容、基本要求与学时分配
1、了解集合的对等与基数的概念。
2、理解可数集合及其基本性质。
3、知道不可数集合的存在性以及证明方法。
4、了解一维空间中内点、聚点、界点的概念。
5、理解开集、闭集、完备集的概念以及直线上开集、闭集的构造方法。
6、理解外测度的定义。
7、了解可测集的概念及其基本性质和知道不可测集的存在。
8、了解可测集类。
9、了解可测函数的基本性质。
10、解叶果洛夫定理。
11.、理解可测函数的构造。
12.、知道依测度收敛的概念及其有关的定理。
13、了解勒贝格积分的定义，理解勒贝格积分的性质。
14、熟悉积分的极限定理。
15、理解有界变差函数及其性质。
16、理解不定积分的概念和有关性质、了解斯蒂阶积分。 重点：测度与勒贝格积分。
难点：可数与不可数集的概念和性质。
1、理解度量空间中的极限，稠密集以及可分空间的概念。
2、理解连续映照以及相关定理，特别是压缩映射原理。
3、理解柯西列的概念和懂得一般度量空间完备化方法。
4、掌握线性赋范空间及巴拿赫空间的基本性质。
重点：连续算子、线性赋范空间及巴拿赫空间的基本性质。 难点：度量空间的完备化。
（一）预备知识
24学时
（二）度量空间和线性賦范空间
10学时
（三）线性有界算子和线性连续泛函
8学时
1、理解线性有界算子和线性连续泛函。
2、了解线性算子空间和共轭空间，知道广义函数大意。 重点：线性有界算子和线性连续泛函
难点：现行线性算子空间和共轭空间
（四）内积空间和希尔伯特空间
10学时
1、理解投影定理。
2、了解希尔伯特空间中的规范正交系概念。
3、掌握希尔伯特空间上的连续线性泛函。
4、了解自伴算子、算子和正常算子。
重点：希尔伯特空间上的连续线性泛函的表示理论。 难点：规范正交系及其性质。
1、理解泛函延拓定理和了解C[a,b]的共轭空间。
2、理解共轭算子。
3、熟悉纲定理和一致有界性定理
4、知道强收敛、弱收敛和一致收敛的概念。 重点：泛函延拓定理、一致有界性定理。 难点：共轭算子。
（五）巴拿赫空间中的基本定理
8学时
（六）线性算子的谱
4学时
1、了解谱的概念
2、理解有界线性算子谱的基本性质
3、了解紧集和全连续算子和自伴全连续算子的谱论。 重点：有界线性算子谱的基本性质。 难点：谱的概念与性质。
三、使用教材和主要参考书
1、推荐教材：
（1）程其襄等编著，实变函数与泛函分析基础，北京：高等教育出版社。
2、推荐参考书：
（1）薛昌兴，实变函数与泛函分析基础，北京：高教出版社。
（2）夏道行等著，实变函数与泛函分析基础，北京：高教出版社（第二版）。 （3）周民强 著，实变函数论，北京大学出版社。
（4）郑维行、王声望 著，实变函数与泛函分析概要（第
一、二册），高教出版社 。
大纲制订者：刘学飞 大纲审定者：
运筹与优化课程教学大纲
课程名称：运筹与优化/ Operations and Optimization
学时/学分：48学时/3学分 （其中课内学时48学时，实验上机0学时）
先修课程：高等代数或线性代数，概率论与数理统计，数值计算方法，算法语言等 适用专业：数学与应用数学 开课院（系、部、室）：数学与计算机科学学院
一、课程的性质、目的与任务
本课程是数学与应用数学专业基础课程之一。其任务是使学生从理论和实践上掌握数学优化的基本原理和基本方法，培养学生对典型的数学优化模型及基本算法的理解与应用能力。
二、课程内容、基本要求与学时分配
（一）绪论
了解运筹与优化这门科学的产生、发展、现状、应用及相关知识;介绍开设本课程的背景意义、注意之处、与其它课程的相互联系、教学安排、学习方法、相关参考书;介绍本课程的主要内容；介绍相关软件；对学生提出要求等。
（二）线性规划（LP）
4学时
1.理解LP建模及实际背景。
2.掌握LP(二维)的图解法、LP的标准型、LP解的相关基本概念（可行解、可行域、基、基可行解、可行基）。了解LP问题解的几种情况。
3.了解LP的几何意义（可选择其中的结论证明），掌握可行域顶点与基可行解的重要对应关系。
重点：LP(二维)的图解法，LP解的相关基本概念。 难点：可行域顶点与基可行解的重要对应关系。
（三）LP的单纯形法 6学时
1．了解单纯形法原理及运算过程中的基本概念。 2．熟练掌握单纯形法计算方法（特别是表上运算）。
3．掌握LP问题的大M法、两阶段法，了解LP问题的退化情况。 重点：单纯形法计算方法。 难点: 大M法、两阶段法。
（四）LP问题的应用举例 2学时
列举几个典型的LP问题数学模型，培养学生建立LP模型的基本能力。 重点：数学建模思想。 难点：建模方法。
（五）对偶理论 4学时
1．了解单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法。
2．了解LP对偶问题提出的背景，会写出一个LP问题的对偶问题。 3．掌握对偶理论的基本性质（特别是互补松驰条件的应用）。 4．了解对偶单纯形法及灵敏度分析。 重点：对偶问题的性质。 难点：互补松驰性。
（六）运输问题
4学时 掌握产销平衡的运输问题的数学模型及表上运算方法，了解产销不平衡情形。 重点：产销平衡的运输问题。 难点：产销不平衡问题。
（七）整数规划 4学时
1．掌握整数规划的常用两种算法之一（分支定界法与割平面法）。 2．掌握0-1规划的隐枚举法。掌握指派问题的解法。 重点：整数规划的分支定界法、指派问题。 难点: 整数规划的割平面法。
（八）非线性规划
8学时
1．了解非线性规划问题提出的意义及一般数学模型与相关概念。
2．掌握多元无约束极值问题的2-3个常用算法（如最速下降法、共轭梯度法、变尺度法、牛顿法等），了解这些算法各自的优缺点。
3．了解约束条件下的极值问题有关基本概念及算法。 重点：无约束极值问题的几种算法。 难点：变尺度法。
（九）动态规划初步 4学时
1.了解动态规划的基本原理（多阶段决策的动态规划方法）。 2.通过举例（典型问题）要求学生掌握应用本原理的基本方法。 重点：动态规划的基本原理。 难点：动态规划方法求解方法。
（十）网络优化 4学时
1．掌握最小生成树、最短路、网络最大流算法。了解最小费用最大流问题的算法。了解一些著名网络优化问题。
2．会求关键路线（CPM）。了解GERT（图解评审法）。 重点：最短路、网络最大流算法。 难点：最小费用最大流问题算法。
（十一）排队论 6学时
1．了解排队系统模型及基本概念。
2．了解顾客到达时间和服务时间的分布。
3．掌握几个常用排队模型（M/M/
1、M/M/1/N/、M/M/1/ /m）中相关参数的计算。重点是M/M/1模型。
4．了解多服务台排队模型。 重点：重点是M/M/1模型。 难点：模型的有关指标。
（十二）机动与总复习 2学时
三、推荐教材和主要参考书
1．推荐教材：
（1）运筹学教材编写组, 运筹学，北京：清华大学出版社，1998。 2．主要参考书：
（1）张莹，运筹学基础，北京：清华大学出版社，1995。
（2）罗荣桂，新编运筹学题解，武汉：华中科技大学出版社，2002。
（3）胡运权，运筹学基础及应用，哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1988。
（4）M S Bazarra , J Jarvis .Linear programming and network flows.New York: John Wiley & Sons , Inc.，1977。
（5）S Bradley，应用数学规划， 瞿立林等译，北京：机械工业出版社，1986。 （6）胡运权，运筹学习题集， 北京：清华大学出版社，1995。
大纲制订者：刘学飞
大纲审定者：
